细看《研究之美》
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在第 5 章接近尾声的地方，两位主人公带着胜利的喜悦，一举推导出了好几个定理。前面所述的定理 T3（此处 T 表示定理 theorem，下同）就是自反性。T2 是 X.L <= x 且 x <= x.R，前面用自反性已证得。再进一步就得到 T4 即两个数不可能在异次元空间。T5 和 T6 是两条加强了的传递律——这两条可以从第 4 章的传递律 T1 和本章的 T4 共同得出。
“Alice，今天我看到了你的另一面。你可真是打破“女性不宜搞数学”的神话了啊。”
“怎么了嘛，谢谢你哟，我的骑士小嘴真甜！”
这个翻译嘛，实在是让人砰然心动……
好，继续，第 6 章。首先，由前一章的研究结果，我们可以把第 3 日的 20 个数里面的 7 个拿出来排列一下。它们分别是：([]|[-1]) < -1 < ([-1]|[0]) < 0 < ([0]|[1]) < 1 < ([1]|[])。注意 1、0 和 -1 只是简写，它们实际还是由两个集合构成的。剩下一些别的数，但是由 Alice 的推导（也包括之前的第 4 章里谈到的，X.L 中最大元素和 X.R 中的最小元素是具代表性的这段话，书中第 31 到 33 页），我们可以得到：([-1]|[]) ([]|[1]) ([-1]|[1]) 这三个具代表性的数。其中 ([-1]|[1]) 经讨论已与 0 相似。
先回头看看 Alice 的推导是怎样进行的：她用到了 x，YL 和 YR 三者，它们之间满足一定的关系（详请见书）。然后得到的结论是 x 与 z 相似（T7）。再回头来看第 4 章，第 4 章那个只是讲了一小半，是说对于两个数 x 和 y，如果 max(y.L) 与 max(x.L) 相似，min(y.R) 与 min(x.R) 相似，那么这两个数相似。并且当时还没有得到证明。而第 6 章这里的结论则明显加强了：对于 x 和 YL、YR，如果 YL < x < YR，则 z = (YL union X.L | YR union X.R) 相似于 x。其中不要求 max(X.L) .=. max(YL) （此处 .=. 表示“相似于”，下同）。那么她是如何证明的呢？首先，要让 z <= x，则必须 1. YL union X.L 中没有一个大于等于 x；2. X.R 中没有一个小于等于 z。对于 1，YL 是可以保证的，X.L 可由 T3（自反性）得出：因为 x <= x，因此 X.L !>= x，即 X.L < x。对于 2，由于 z 的自反性，z <= z 成立，能得到 z.R = YR union X.R !<= z，从而 X.R !<= z。类似地，我们可以对称地证明 x <= z，从而得到 x .=. z。
之后，为了把剩下的数放进去，两位主人公反复应用 T7，发现 ([-1]|[]) 和 ([]|[1]) 都相似于 0。这样一来，就前述 7 个数最具有代表性了。
然后，他们猜想如果前 n 天的数是 x[1], x[2], ..., x[m - 1], x[m]，那么第 n + 1 天的数就是 ([]|[x[1］), ([x[1］|[x[2］), ..., ([x[m - 1］, [x[m］), ([x[m］|[])。我们先来看看前 3 天的对不对：第一天 1 个，第二天 2 个（1 + 1 = 2），前二天共 3 个，第三天 4 个（总共 7 个）。的确满足规律。那么如何证明呢？
首先，由第 4 章 Alice 的结论，数的左集和右集都只要选其中的一个代表即可（左集选最大的，右集选最小的）。因此下一天的数只可能是 ([x[i］|[x[j］)、([]|[x[i］)、([x[i］|[]) 这三种形式之一，而且由于 Conway 的数的定义规则 1，以及前面的数的顺序关系，i < j 必须成立。因此，他们开始了证明。思路也是反证法。
Bill 首先提出了一种特殊情况，就是 ([x[i-1］|[x[i+1］)。对于这个数，Alice 会怎么办呢？她发现这个很容易解决：把它和 x[i] 比较吧，由于 X[i].L !>= x[i-1]，且 X[i].R !<= x[i+1]，根据 T7，把它们加到 ([x[i-1］|[x[i+1］) 的左右两边去之后，与这个数是相似的，即 ([x[i-1］ union X[i].L|[x[i+1］ union X[i].R) .=. ([x[i-1］|[x[i+1］)。然后呢，另一方面，x[i-1] < x < x[i+1]。因此，把 x[i-1] 和 x[i+1] 加到 x 的两边之后的数根据 T7 也相似于 x，而这个数正是前面与 ([x[i-1］|[x[i+1］) 相似的那个数，根据传递性，它也相似于 x。
Bill 再次提出了另一种可能性：([x[i-1］|[x[j+1］)，其中 j > i。这下 Alice 一时给问住了。此时，Bill 却有了想法：在 x[i], x[i+1], ..., x[j-1], x[j] 这些数里面，只要找到一个数 xea 它的左集小于等于 x[i-1] 或左集为空，右集大于等于 x[j+1] 或右集为空，即可根据 T7 推出 xea 相似于 ([x[i-1］|[x[j+1］)（提示：对任意一个数 x，X.L < x 且 x < X.R，这是由 Conway 规则 2 和 T3 推出来的，因此 x[i-1] < ([x[i-1］|[x[j+1］) 且 ([x[i-1］|[x[j+1］) < x[j+1]；然后把 xea.L 和 xea.R 分别附加到 ([x[i-1］|[x[j+1］) 之左右集，即可根据 T7 推导）。Bill 发现在 x[i] .. x[j] 之中必有一个数是在最早的日子里产生的，这个数的左集必小于 x[i] 且小于等于 x[i-1]，右集必大于 x[j] 且大于等于 x[j+1]，因此它就是相似于 ([x[i-1］|[x[j+1］) 的那个数，于是 ([x[i-1］|[x[j+1］) 也可以被代表掉了。
接下来考虑边缘情况。说到边缘情况，做过编程的人晓得，有时候是比较搞的。对于不做编程的人来说，这是什么概念呢，就是好比你用资源管理器往 U 盘上拷文件，把一个文件夹的文件全都拷过去，U 盘空间不是很够，拷到某一个文件时，空间不够了，报了个错误消息之后就停止了。这时候你要去确认哪个文件是拷贝成功的最后一个文件，以及哪些文件没有被拷。编程里面的边缘情况也是类似，就是遍历一个数组或别的什么有范围的东西时，在边界上如何处理的问题。这里我们书中的边缘情况是这样的：([]|[x[j+1］) 和 ([x[i-1］|[])。Bill 觉得这也是小菜一碟，不就是 x[1] .. x[j] 之中最早被创造的数和 x[i] .. x[m] 之中最早被创造的数嘛。前者的左集是空集；后者的右集是空集。
Alice 还担心如果在 x[i] .. x[j] 这样的数中有多个数是“最早创造的”。Bill 想了一想就明白了：这个情况是不可能发生的，因为这样的多个数互相之间将相似，而这与当初我们的假设相矛盾。这个理论能理解，但是乍想有些奇怪，为什么在相邻的一段数里面不可能有两个数是最早创造的呢？如果你有兴趣的话，看一下书中第 81 页的那些数字的诞生模式就明白为什么了——每两个同日诞生的数之间看上去总是存在一个更早日诞生的数，有点类似二叉树的结构。:-P
当 Bill 正为此洋洋自得时，风中忽然传过来一句话：“胡说八道。想想无限集合再说。”——这风太神了，还能传话……这像是打雷一样，很快就下雨了，貌似已经进入了季风时节。猜想这个无限集合在后面的部分会有用，但是现在先放一下吧。
进入了第 7 章后，两位主人公开始寻找 Conway 岩石的余下部分，以求得对 Conway 理论的更多理解。找到之后，两位开始感慨起大学时候的教育问题了。到底是因为当时太不投入了，才导致上课打瞌睡，还是因为老师的原因？如何才能培养出有创造力的学生？这段位于第 67 页到第 71 页的讨论，非常耐人寻味。
第 8 章，两人开始根据岩石上的内容来研究加法。首先，Alice 解读出 Conway 的话的含义：两个数 x 和 y 相加，就是 ((x.L + y) union (y.L + x)|(x.R + y) union (y.R + x))。然后，Bill 着手计算他的第一个加法式子：1 + 1。这是在有了全部第三日数字的基础之上进行的。我们来看看第三日有哪些数字了：-a，-1，-b，0，b，1，a。其中 a 是 ([1]|[])，b 是 ([0]|[1])，等等。
1 + 1 的计算，新的左集是 1 的左集中的每个元素加上 1，新的右集是 1 的右集中的每个元素加上 1。新的右集显然是空集。新的左集是什么呢？1 的左集是 [0]，那么新的左集就是 [1 + 0]。进一步计算 1 + 0，它的左集是 [0]，右集是空集，那么它就是 1。此前 Conway 岩石上也讲过，任何数加 0，其和还是原来这个数，果不虚言。于是 1 + 1 就是左集为 [1]，右集为空集的这个数。它就是 a。
Bill 进一步假定，a 就是 2；Alice 笑称这是最长的 1 + 1 = 2 的证明。不过作为读者的我读到这里倒有个疑问，为什么能把 Conway 的加法和实数的加法相对应呢？万一这个加法有点什么特殊的性质怎么办？且看 Bill 和 Alice 之后的讨论，有没有任何不符合实数加法的现象出现。暂且认为到目前为止，Conway 加法和实数加法是一致的。
Alice 算了个 1 + 2，得到 ([2]|[])，它是第四日的数，Bill 把它叫做 3。那么 b 是几呢？Bill 猜想它是 1/2。如果这种加法与实数加法真的相对应的话，那么自然地，b + b 将会等于 1。看看 b + b 到底等于多少：左集是 [b]，右集是 [b + 1]。那么 [b + 1] 又是多少？左集是 [1, b]，可以简化为 [1]，因为 b < 1 的缘故。右集是 [1 + 1]。也就是说 [b + 1] 就是 [([1]|[2])]。这个数一定大于 1 而小于 2，而 [b] 则是大于 0 而小于 1。在一个大于 0 而小于 1 和一个大于 1 而小于 2 的数之间的那个数是什么？根据前面的那个理论，应该是之间的创造日最早的数，就是 1。所以 b + b 就是 1，那么 b 应该就是 1/2。
第 9 章，Bill 得到的第三天的所有数是：-2，-1，-1/2，0，1/2，1，2。其中 2 是正推的，1/2 是从 0、1 和 2 反推得到的。第四天的所有的非负数是：0，1/4，1/2，3/4，1，3/2，2，3。其中 3/2 可以从它自已加自己，位于 2 以上而得出；3/4 可以从它自己加自己，位于 1 与 2 之间而得出。第五天得到的所有非负数是：0，1/8，1/4，3/8，1/2，5/8，3/4，7/8，1，5/4，3/2，7/4，2，5/2，3，4。但是，Bill 发现这里面的某些数有点“异样”：7/4，它可以和它自己相加，然后是一个位于 3 和 4 之间的数，但是这个数在第五天还不存在。它实际上是 7/2，但需要提前“发现”。
主人公们先是用形式化的语言证明了 T8，就是之前第 8 章已经讲过的一个特性的扩展。有了前面的基础，这个证明应该不难看懂。
Alice 说第 5 日的数“一点不假”——但是是为什么呢？Bill 发现为了计算这些数，必须“预先发现”某些后面日子里才会出现的数，比如 7/4。但是 Bill 对这个模式很有信心。为了证明它，Alice 首先提出了一个设想：第四日所有的正数加了 1 以后的数在第五日里都存在，并且就是第五日最大的那些数。试试看加 1 会怎么样吧。x + 1 = ((X.L + 1) union [x]|X.R + 1)。首先可以说明这些数在新的一日都存在（我现在还不敢说“证明”，因为加法的特性都还没完全被证明出来）。
我是这样想的：假设对第 i 日的 x，要想说明 x + 1 是第 i + 1 日的数。那么假设对第 i - 1 日的数 y，y + 1 是第 i 日的数成立，存在 y.L + 1 >= y，若 Y.R 不为空，存在 y + 1 >= y.R，而 x + 1 = ((X.L + 1) union [x]|X.R + 1)，进一步相似于 ([x.L + 1]|[x.R + 1])（因为 x.L + 1 >= x）或相似于 ([x.L + 1]|[])，那么由于 x.L + 1 和 x.R + 1 都是第 i 日的数，它肯定是第 i + 1 日的数。
但是反方向上如果要说明第 i + 1 日里大于 1 的数都是第 i 日里的正数加 1 而得，也就是不存在某个大于 1 的数 x，它不是前一天的正数加 1 的结果。这个我想了好一会儿：从规律看，第 2 日所有正数有 1 个，大于 1 的数有 0 个，第 3 日所有正数 3 个（等于 2 ^ (n - 1) - 1），大于 1 的数 1 个，第 4 日所有正数 7 个，大于 1 的数 3 个（等于 2 ^ (n - 2) - 1），而且第 n + 1 天的大于 1 的数的个数等于第 n 天的正数个数，其余的正数个数是 2 ^ (n - 2)，而这个可以通过前面第 6 章讲的每日的不同的数的个数得到：第 n 日有 2 ^ n - 1 个数，包括正数、负数和 0，那么正数必然是 2 ^ (n - 1) - 1 个。这样一来，结论就得到了说明。
回到书上第 91 页，对于小于 1 的数怎么办？很简单，把它们做个自相加，结果必然小于 2，比如 ([x.L]|[x.R]) 这样的数，其中 x.L 和 x.R 是前一天相邻的数，这两者之间的距离也是有规律的，对于第 3 天的小于 1 的 x，这距离是 1，第 4 天是 1/2，而 1 和 2 之间的数，其之间的间距也是有规律的，由于都是前一天 0 和 1 之间的数加 1 而得，因此是前一天 0 到 1 之间的数的间距。因此不难想到，对于 x + x，假设前一天的 0 到 1 之间的间距是 y，x + x 的范围就被限制在 x.L + x.L 和 x.R + x.R 之间了，而这两者之间的间距是 2y，而 1 到 2 之间的数的间距是 y，x.L + x.L 和 x.R + x.R 之间（不含两端）创造日最早的数就是那个位于两者正中间的数，因此小于 1 的数也很容易地能被确定了。
Bill 接下来证明了 x + 0 .=. x。这个证明比较简单易懂。但是 Alice 的吹毛求疵精神也让我们看到了 Knuth 教授笔下的人物形象生动有趣，活泼可爱。
接下来还有一长段路要走，让我们慢慢品味。
“Alice，今天我看到了你的另一面。你可真是打破“女性不宜搞数学”的神话了啊。”
“怎么了嘛，谢谢你哟，我的骑士小嘴真甜！”
这个翻译嘛，实在是让人砰然心动……
好，继续，第 6 章。首先，由前一章的研究结果，我们可以把第 3 日的 20 个数里面的 7 个拿出来排列一下。它们分别是：([]|[-1]) < -1 < ([-1]|[0]) < 0 < ([0]|[1]) < 1 < ([1]|[])。注意 1、0 和 -1 只是简写，它们实际还是由两个集合构成的。剩下一些别的数，但是由 Alice 的推导（也包括之前的第 4 章里谈到的，X.L 中最大元素和 X.R 中的最小元素是具代表性的这段话，书中第 31 到 33 页），我们可以得到：([-1]|[]) ([]|[1]) ([-1]|[1]) 这三个具代表性的数。其中 ([-1]|[1]) 经讨论已与 0 相似。
先回头看看 Alice 的推导是怎样进行的：她用到了 x，YL 和 YR 三者，它们之间满足一定的关系（详请见书）。然后得到的结论是 x 与 z 相似（T7）。再回头来看第 4 章，第 4 章那个只是讲了一小半，是说对于两个数 x 和 y，如果 max(y.L) 与 max(x.L) 相似，min(y.R) 与 min(x.R) 相似，那么这两个数相似。并且当时还没有得到证明。而第 6 章这里的结论则明显加强了：对于 x 和 YL、YR，如果 YL < x < YR，则 z = (YL union X.L | YR union X.R) 相似于 x。其中不要求 max(X.L) .=. max(YL) （此处 .=. 表示“相似于”，下同）。那么她是如何证明的呢？首先，要让 z <= x，则必须 1. YL union X.L 中没有一个大于等于 x；2. X.R 中没有一个小于等于 z。对于 1，YL 是可以保证的，X.L 可由 T3（自反性）得出：因为 x <= x，因此 X.L !>= x，即 X.L < x。对于 2，由于 z 的自反性，z <= z 成立，能得到 z.R = YR union X.R !<= z，从而 X.R !<= z。类似地，我们可以对称地证明 x <= z，从而得到 x .=. z。
之后，为了把剩下的数放进去，两位主人公反复应用 T7，发现 ([-1]|[]) 和 ([]|[1]) 都相似于 0。这样一来，就前述 7 个数最具有代表性了。
然后，他们猜想如果前 n 天的数是 x[1], x[2], ..., x[m - 1], x[m]，那么第 n + 1 天的数就是 ([]|[x[1］), ([x[1］|[x[2］), ..., ([x[m - 1］, [x[m］), ([x[m］|[])。我们先来看看前 3 天的对不对：第一天 1 个，第二天 2 个（1 + 1 = 2），前二天共 3 个，第三天 4 个（总共 7 个）。的确满足规律。那么如何证明呢？
首先，由第 4 章 Alice 的结论，数的左集和右集都只要选其中的一个代表即可（左集选最大的，右集选最小的）。因此下一天的数只可能是 ([x[i］|[x[j］)、([]|[x[i］)、([x[i］|[]) 这三种形式之一，而且由于 Conway 的数的定义规则 1，以及前面的数的顺序关系，i < j 必须成立。因此，他们开始了证明。思路也是反证法。
Bill 首先提出了一种特殊情况，就是 ([x[i-1］|[x[i+1］)。对于这个数，Alice 会怎么办呢？她发现这个很容易解决：把它和 x[i] 比较吧，由于 X[i].L !>= x[i-1]，且 X[i].R !<= x[i+1]，根据 T7，把它们加到 ([x[i-1］|[x[i+1］) 的左右两边去之后，与这个数是相似的，即 ([x[i-1］ union X[i].L|[x[i+1］ union X[i].R) .=. ([x[i-1］|[x[i+1］)。然后呢，另一方面，x[i-1] < x < x[i+1]。因此，把 x[i-1] 和 x[i+1] 加到 x 的两边之后的数根据 T7 也相似于 x，而这个数正是前面与 ([x[i-1］|[x[i+1］) 相似的那个数，根据传递性，它也相似于 x。
Bill 再次提出了另一种可能性：([x[i-1］|[x[j+1］)，其中 j > i。这下 Alice 一时给问住了。此时，Bill 却有了想法：在 x[i], x[i+1], ..., x[j-1], x[j] 这些数里面，只要找到一个数 xea 它的左集小于等于 x[i-1] 或左集为空，右集大于等于 x[j+1] 或右集为空，即可根据 T7 推出 xea 相似于 ([x[i-1］|[x[j+1］)（提示：对任意一个数 x，X.L < x 且 x < X.R，这是由 Conway 规则 2 和 T3 推出来的，因此 x[i-1] < ([x[i-1］|[x[j+1］) 且 ([x[i-1］|[x[j+1］) < x[j+1]；然后把 xea.L 和 xea.R 分别附加到 ([x[i-1］|[x[j+1］) 之左右集，即可根据 T7 推导）。Bill 发现在 x[i] .. x[j] 之中必有一个数是在最早的日子里产生的，这个数的左集必小于 x[i] 且小于等于 x[i-1]，右集必大于 x[j] 且大于等于 x[j+1]，因此它就是相似于 ([x[i-1］|[x[j+1］) 的那个数，于是 ([x[i-1］|[x[j+1］) 也可以被代表掉了。
接下来考虑边缘情况。说到边缘情况，做过编程的人晓得，有时候是比较搞的。对于不做编程的人来说，这是什么概念呢，就是好比你用资源管理器往 U 盘上拷文件，把一个文件夹的文件全都拷过去，U 盘空间不是很够，拷到某一个文件时，空间不够了，报了个错误消息之后就停止了。这时候你要去确认哪个文件是拷贝成功的最后一个文件，以及哪些文件没有被拷。编程里面的边缘情况也是类似，就是遍历一个数组或别的什么有范围的东西时，在边界上如何处理的问题。这里我们书中的边缘情况是这样的：([]|[x[j+1］) 和 ([x[i-1］|[])。Bill 觉得这也是小菜一碟，不就是 x[1] .. x[j] 之中最早被创造的数和 x[i] .. x[m] 之中最早被创造的数嘛。前者的左集是空集；后者的右集是空集。
Alice 还担心如果在 x[i] .. x[j] 这样的数中有多个数是“最早创造的”。Bill 想了一想就明白了：这个情况是不可能发生的，因为这样的多个数互相之间将相似，而这与当初我们的假设相矛盾。这个理论能理解，但是乍想有些奇怪，为什么在相邻的一段数里面不可能有两个数是最早创造的呢？如果你有兴趣的话，看一下书中第 81 页的那些数字的诞生模式就明白为什么了——每两个同日诞生的数之间看上去总是存在一个更早日诞生的数，有点类似二叉树的结构。:-P
当 Bill 正为此洋洋自得时，风中忽然传过来一句话：“胡说八道。想想无限集合再说。”——这风太神了，还能传话……这像是打雷一样，很快就下雨了，貌似已经进入了季风时节。猜想这个无限集合在后面的部分会有用，但是现在先放一下吧。
进入了第 7 章后，两位主人公开始寻找 Conway 岩石的余下部分，以求得对 Conway 理论的更多理解。找到之后，两位开始感慨起大学时候的教育问题了。到底是因为当时太不投入了，才导致上课打瞌睡，还是因为老师的原因？如何才能培养出有创造力的学生？这段位于第 67 页到第 71 页的讨论，非常耐人寻味。
第 8 章，两人开始根据岩石上的内容来研究加法。首先，Alice 解读出 Conway 的话的含义：两个数 x 和 y 相加，就是 ((x.L + y) union (y.L + x)|(x.R + y) union (y.R + x))。然后，Bill 着手计算他的第一个加法式子：1 + 1。这是在有了全部第三日数字的基础之上进行的。我们来看看第三日有哪些数字了：-a，-1，-b，0，b，1，a。其中 a 是 ([1]|[])，b 是 ([0]|[1])，等等。
1 + 1 的计算，新的左集是 1 的左集中的每个元素加上 1，新的右集是 1 的右集中的每个元素加上 1。新的右集显然是空集。新的左集是什么呢？1 的左集是 [0]，那么新的左集就是 [1 + 0]。进一步计算 1 + 0，它的左集是 [0]，右集是空集，那么它就是 1。此前 Conway 岩石上也讲过，任何数加 0，其和还是原来这个数，果不虚言。于是 1 + 1 就是左集为 [1]，右集为空集的这个数。它就是 a。
Bill 进一步假定，a 就是 2；Alice 笑称这是最长的 1 + 1 = 2 的证明。不过作为读者的我读到这里倒有个疑问，为什么能把 Conway 的加法和实数的加法相对应呢？万一这个加法有点什么特殊的性质怎么办？且看 Bill 和 Alice 之后的讨论，有没有任何不符合实数加法的现象出现。暂且认为到目前为止，Conway 加法和实数加法是一致的。
Alice 算了个 1 + 2，得到 ([2]|[])，它是第四日的数，Bill 把它叫做 3。那么 b 是几呢？Bill 猜想它是 1/2。如果这种加法与实数加法真的相对应的话，那么自然地，b + b 将会等于 1。看看 b + b 到底等于多少：左集是 [b]，右集是 [b + 1]。那么 [b + 1] 又是多少？左集是 [1, b]，可以简化为 [1]，因为 b < 1 的缘故。右集是 [1 + 1]。也就是说 [b + 1] 就是 [([1]|[2])]。这个数一定大于 1 而小于 2，而 [b] 则是大于 0 而小于 1。在一个大于 0 而小于 1 和一个大于 1 而小于 2 的数之间的那个数是什么？根据前面的那个理论，应该是之间的创造日最早的数，就是 1。所以 b + b 就是 1，那么 b 应该就是 1/2。
第 9 章，Bill 得到的第三天的所有数是：-2，-1，-1/2，0，1/2，1，2。其中 2 是正推的，1/2 是从 0、1 和 2 反推得到的。第四天的所有的非负数是：0，1/4，1/2，3/4，1，3/2，2，3。其中 3/2 可以从它自已加自己，位于 2 以上而得出；3/4 可以从它自己加自己，位于 1 与 2 之间而得出。第五天得到的所有非负数是：0，1/8，1/4，3/8，1/2，5/8，3/4，7/8，1，5/4，3/2，7/4，2，5/2，3，4。但是，Bill 发现这里面的某些数有点“异样”：7/4，它可以和它自己相加，然后是一个位于 3 和 4 之间的数，但是这个数在第五天还不存在。它实际上是 7/2，但需要提前“发现”。
主人公们先是用形式化的语言证明了 T8，就是之前第 8 章已经讲过的一个特性的扩展。有了前面的基础，这个证明应该不难看懂。
Alice 说第 5 日的数“一点不假”——但是是为什么呢？Bill 发现为了计算这些数，必须“预先发现”某些后面日子里才会出现的数，比如 7/4。但是 Bill 对这个模式很有信心。为了证明它，Alice 首先提出了一个设想：第四日所有的正数加了 1 以后的数在第五日里都存在，并且就是第五日最大的那些数。试试看加 1 会怎么样吧。x + 1 = ((X.L + 1) union [x]|X.R + 1)。首先可以说明这些数在新的一日都存在（我现在还不敢说“证明”，因为加法的特性都还没完全被证明出来）。
我是这样想的：假设对第 i 日的 x，要想说明 x + 1 是第 i + 1 日的数。那么假设对第 i - 1 日的数 y，y + 1 是第 i 日的数成立，存在 y.L + 1 >= y，若 Y.R 不为空，存在 y + 1 >= y.R，而 x + 1 = ((X.L + 1) union [x]|X.R + 1)，进一步相似于 ([x.L + 1]|[x.R + 1])（因为 x.L + 1 >= x）或相似于 ([x.L + 1]|[])，那么由于 x.L + 1 和 x.R + 1 都是第 i 日的数，它肯定是第 i + 1 日的数。
但是反方向上如果要说明第 i + 1 日里大于 1 的数都是第 i 日里的正数加 1 而得，也就是不存在某个大于 1 的数 x，它不是前一天的正数加 1 的结果。这个我想了好一会儿：从规律看，第 2 日所有正数有 1 个，大于 1 的数有 0 个，第 3 日所有正数 3 个（等于 2 ^ (n - 1) - 1），大于 1 的数 1 个，第 4 日所有正数 7 个，大于 1 的数 3 个（等于 2 ^ (n - 2) - 1），而且第 n + 1 天的大于 1 的数的个数等于第 n 天的正数个数，其余的正数个数是 2 ^ (n - 2)，而这个可以通过前面第 6 章讲的每日的不同的数的个数得到：第 n 日有 2 ^ n - 1 个数，包括正数、负数和 0，那么正数必然是 2 ^ (n - 1) - 1 个。这样一来，结论就得到了说明。
回到书上第 91 页，对于小于 1 的数怎么办？很简单，把它们做个自相加，结果必然小于 2，比如 ([x.L]|[x.R]) 这样的数，其中 x.L 和 x.R 是前一天相邻的数，这两者之间的距离也是有规律的，对于第 3 天的小于 1 的 x，这距离是 1，第 4 天是 1/2，而 1 和 2 之间的数，其之间的间距也是有规律的，由于都是前一天 0 和 1 之间的数加 1 而得，因此是前一天 0 到 1 之间的数的间距。因此不难想到，对于 x + x，假设前一天的 0 到 1 之间的间距是 y，x + x 的范围就被限制在 x.L + x.L 和 x.R + x.R 之间了，而这两者之间的间距是 2y，而 1 到 2 之间的数的间距是 y，x.L + x.L 和 x.R + x.R 之间（不含两端）创造日最早的数就是那个位于两者正中间的数，因此小于 1 的数也很容易地能被确定了。
Bill 接下来证明了 x + 0 .=. x。这个证明比较简单易懂。但是 Alice 的吹毛求疵精神也让我们看到了 Knuth 教授笔下的人物形象生动有趣，活泼可爱。
接下来还有一长段路要走，让我们慢慢品味。
