我的偶像崇拜
我第一次知道埃尔德什，是在初二的暑假。偶然在新华书店遇到了《我的大脑敞开了》，另外一本他的传记。而这本《数字情种》是我在高三读到的。说来也有意思，这本《数》我们当地没得卖，我请学校附近书店的老板出去进货时帮我问也没问到。于是我把钱汇到了出版社才搞到这本书。现在买书都打折，那次买书还多付了钱。当年我也慷慨过啊！想想运气也真好，目前我知道的两部埃尔德什的传记都早早的被翻译了过来，真是一大幸事。 埃尔德什在四岁的某一天成了一名数学家，因为他作出了一项原创的重大发现：他发现了负数。 说起他数学生涯的开端，不能不提他的父亲。在他十岁左右，他父亲教给他两个漂亮的关于素数的定理：素数的个数是无限的以及相邻素数的间隔可以任意大。从此，他迷上了素数的世界，开始了终身不止的探索。有一点很有意思，其中一个定理的证明是使用了反证法的存在性证明，另一个则是最直接的构造性证明。 十八岁那一年，埃尔德什作出了自己生平第一项数学工作：给出了贝特兰猜想的一个初等证明。他因此在数学界里出了名、知道了拉玛努金，从此走上了初等方法这条“不归路”。 没过几年，他又踏进了“拉姆塞理论”。虽然他痴迷于数论，但我感觉他最重要的数学工作还是在图论和概率领域。对于拉姆塞理论，他的影响力是无与伦比的。 1938年埃尔德什在一篇数论文章中将数论和图论联系了起来。这点听起来很有意思，但好像没什么值得称道的后续发展。但是他在文章中解决的那个图论问题却是极值图论的起源。可惜他当时没意识到这点。幸好，肥水没流外人田，他的好友图兰意识到了这类问题的价值，作出了奠基性的工作。埃尔德什虽然后来在这门理论中作出了很多重要的工作，但他一直很自责，他居然看走眼了！历史一再说明，再伟大的英雄也有失手的时候，所以一个新手不要太在乎老前辈的看法。另外，名家的原始文献也不妨看看，说不定会捡到遗珠。 埃尔德什之所以能解决那么多问题，有一个原因是他没有花费大量的时间学习那些系统、庞大的理论，而是把时间花在了那些同时代几乎没人在意的问题上。于是他成了新时代的先驱者和现时代的非主流，这在二十世纪下半叶理论建构蔚然成风的环境下更是显眼。多数研究者都要花很多时间才能在知识储备上达到一个领域的前沿，然后才可能解决一个不错的问题，扬名立万。从这种意义上来说，埃尔德什找到了达到“成名”的捷径。 这里不妨接着谈论几句他的“初等方法”。我不知道他没跟进现代理论和他使用初等方法到底是个怎样的因果关系，但有一点是肯定的，那就是他从刚起步的阶段就特立独行。就我看到的资料，他用初等方法做出的重要的数论结果还真不多。和M. Kac那篇关于素因子的概率分布的文章以及关于素数间隔的研究应该是他最出色的数论成就。他的数论结果里我最喜欢的是：任意多个（至少两个）连续自然数之积不可能是某个自然数的（高于1次）幂。 现在人再玩初等方法，即使是在很多人以为很“初等”的组合学领域，估计得到出色成果的机会也很渺茫。现在组合学发展的那么好，什么代数拓扑、群论、代数几何都可能用到。没有坚实、广博基础的人，在哪个领域都应该走不远。 至于他的提问能力，和他的解题能力一样有口皆碑。他的很多问题刺激了新领域的开拓和发展，这和黎曼、庞加莱、韦依等人相似。许多了不起的问题都是在新领域出现之初被提出来的，所以有人才说“数学的核心是问题”。但那些伟大的人物好像提的小问题不多，一出手就是一个杀手锏，这点和埃尔德什的情况很不一样。他的小问题很多。据说他有一种特别的能力，能根据你的数学能力提出一个恰当的问题。这简直就是天生的导师。 再来说说沃尔夫奖的颁奖词。这一点我一开始没注意到，是维基百科提醒的。许多人的颁奖词里都有“pioneering”、“fundamental”、“outstanding”这样的词，但对他用的却是“numerous”。在这么个顶级群体里，拿“数量”来说事，好像在说他的工作“质量”不怎么样似得。如果积极的看，在所有获奖者中，只有他被强调了工作数量，可见他的工作确实非常多，而且还是涉及多个领域。还有一点比较特别，他被强调了“个人影响”。我觉得这点确实值得称赞。数学无止境，新人换旧人。每个人都该为后辈创造力所能及的条件。 埃尔德什非常崇拜康托，数学史上最勇敢、最具原创性的数学家之一。康托有句名言：数学的本质在于它的自由。埃尔德什用一生的数学追求证明了他不愧是康托的一个合格的崇拜者。而我写了这么多，却没有证明一个定理，这证明我还不是埃尔德什的一个合格的粉丝。不过他已经去看“天书”了，没空管我。 附：埃尔德什最喜欢的神童Posa后来去教书了，发掘和培养天才少年。匈牙利作为当代组合学最强的国度，很大程度上要感谢他们这些热诚的教师，无论是中学的还是大学的。 再附：关于埃尔德什的具体的数学工作，可以参考下列文献： Paul Erdös and His Mathematics I The Mathematics of Paul Erdos I Erdõs Centennial ============ 待补充，待整理
