Strongart教授博文：中学生可以学哪些新数学
最近对中学数学的争议不断，有人叫数学滚出高考，还有说是要降低难度，但也有人指出要让学生了解一点近现代的数学思想。本人自然是赞同后者，只是不能把数学系的课程直接提前下放，而是侧重于中学数学知识的延伸，特别是可以引入所谓的新奇数学（这是由Strongart教授提出的概念，有别于一般的应用数学），既能够开阔视野，又用不着太多的知识预备，下面我就来提一些适合中学生学的新数学。
非欧几何与射影几何：平面几何中的平行共设自然就能引出非欧几何，讲解一点球面的情形，对于学生的视野扩展是很有帮助的。而学完标准的平面几何后，完全可以引入无穷远点，使得原先理论呈现出更优美的形态，相信直线与点的对偶以及一些共线定理，一定能够极大的激发出学生的数学兴趣。等到以后学习微分几何与代数几何，非欧几何与射影几何的直观基础自然是很有帮助的。
单纯形理论：学完立体几何之后，聪明的学生自然会考虑n维几何的情形，这个单纯形理论正是满足了他们的需求。从中看出数学在发展过程中，会逐渐舍弃一些太繁琐的部分，从平面几何到立体几何中，全等形的判定是完全被舍弃的了，只保留最基本的线面关系与简单体积计算，而到了n维单纯形理论中，还必须把几何图形进行规范化处理，从中也可以提现出坐标语言优越性。等到以后学习代数拓扑，单纯形理论无疑就是单纯同调论的基础。
分形几何学：这是由曼德尔勃罗特在上个世纪七十年代创立的新数学分支，属于应用型的新奇数学，其中包含了很多美丽分形图形，可以说是数学中的艺术家。从理论上来说，了解了一般的n维情形，一般学生应该是很满足了，但忽然发现还有分数维的奇特景象，自然是无比美妙的事情。只要掌握简单的极限理论，学生就能够自己计算图形的维数，熟悉计算机的学生还能自己进行绘图，创造更为美丽的数学图形。
直观拓扑与扭结：这个倒是很难找到中学数学的基础，因为它本身就已经非常基础了，具有直观易操作的特性。拓扑学俗称为橡皮几何学，是相当具有趣味性的，中学生完全可以了解其中的基础内容。那个扭结更是拓扑学中非常有趣味的部分，学生完全可以自己用绳子来操作实验，把直观语言翻译成数学语言，通过观察概括小结出其中的规律。等以后学一般拓扑学的时候，这样的拓扑基础也是非常有帮助的。
模糊数学；这是由扎德在上个世纪六十年代创立的新数学分支，属于纲领性的新奇数学，基本思想就是把普通集合推广为模糊集合。然后在此基础上建立整个数学大厦。在学完简易集合理论之后，可以特征函数来判定元素是否属于集合，有些聪明的学生可能会认为取值于0与1来识别的函数太简陋，那么把它完善一下就得到取值于[0,1]的隶属度函数，这就迈进了模糊数学的大门，模糊数学的普遍应用也非常适合中学阶段的半直观数学教学。
复数的超越运算：学完一般复数之后，聪明的学生可能会考虑复数的指数与对数，这个复数的超越元算可以说是呼之欲出的。特别是其中有个异常宝贵的欧拉公式e^iθ=cosθ+isinθ，不仅能够让学生看到指数函数与三角函数的深层联系，而且可以秒杀复杂的三角公式，甚至还可以直接推广到复函数的情形。等到以后学习专门的复分析，这样的基本运算也是一个良好的基础。
四元数：这是在十九世纪中期引入的一类新数，在复数域上再引入复数，同时对交换律进行舍弃。了解了复数之后再学习四元数，可以极大的扩展学生的数学视野，让他们对运算法则与数的构造形成直观的感受，有余力的学生还可以继续尝试构造八元数。等到以后学习抽象代数，这样的思想是相当有帮助的，同时其内在的丰富结构与非交换环、李群等现代数学概念都有密切的联系。
p-adic数：这是在十九世纪由哈密尔顿引入的一类新数，现在已经完成了由新奇数学到纯数学的逆袭，可以说现代数论中必不可少的部分。p-adic数的结构本身就非常美妙，可以说是代数的中分形结构，中学生学一点基础的p-adic数运算，将会更深刻的理解数的构成与计算，同时对距离的概念产生新的思考，其中的二进制运算对于计算机科学则是至关重要的。等到以后学习数论或其他相关知识，p-adic数的结构将是大有帮助的。
交换群入门：这个原本是抽象代数中的内容，但其基本思想就是交换律与结合律，完全可以被聪明的中学生掌握。了解一点初级的群论，可以更深刻的理解四元数与p-adic数，特别是对于交换群的情形，可以不加证明的介绍其基本定理，让学生对于结构的把握产生直观认识，产生初步的大局观。等到以后真正学习抽象代数的时候，学生基本思想上已经有了充分的准备，完全可以把重点放到具体概念的理解之上。
以上就是若干可以被中学生学习的高级数学，主要是侧重于我的个人口味，像排列组合概率之类的都没有列入，实际上应该还有着更多可能性。最后推荐有心的读者读一下下面数学教育名著：
克莱因, 舒湘芹, 陈义章, 等. 高观点下的初等数学[M]. 复旦大学出版社, 2008.
非欧几何与射影几何：平面几何中的平行共设自然就能引出非欧几何，讲解一点球面的情形，对于学生的视野扩展是很有帮助的。而学完标准的平面几何后，完全可以引入无穷远点，使得原先理论呈现出更优美的形态，相信直线与点的对偶以及一些共线定理，一定能够极大的激发出学生的数学兴趣。等到以后学习微分几何与代数几何，非欧几何与射影几何的直观基础自然是很有帮助的。
单纯形理论：学完立体几何之后，聪明的学生自然会考虑n维几何的情形，这个单纯形理论正是满足了他们的需求。从中看出数学在发展过程中，会逐渐舍弃一些太繁琐的部分，从平面几何到立体几何中，全等形的判定是完全被舍弃的了，只保留最基本的线面关系与简单体积计算，而到了n维单纯形理论中，还必须把几何图形进行规范化处理，从中也可以提现出坐标语言优越性。等到以后学习代数拓扑，单纯形理论无疑就是单纯同调论的基础。
分形几何学：这是由曼德尔勃罗特在上个世纪七十年代创立的新数学分支，属于应用型的新奇数学，其中包含了很多美丽分形图形，可以说是数学中的艺术家。从理论上来说，了解了一般的n维情形，一般学生应该是很满足了，但忽然发现还有分数维的奇特景象，自然是无比美妙的事情。只要掌握简单的极限理论，学生就能够自己计算图形的维数，熟悉计算机的学生还能自己进行绘图，创造更为美丽的数学图形。
直观拓扑与扭结：这个倒是很难找到中学数学的基础，因为它本身就已经非常基础了，具有直观易操作的特性。拓扑学俗称为橡皮几何学，是相当具有趣味性的，中学生完全可以了解其中的基础内容。那个扭结更是拓扑学中非常有趣味的部分，学生完全可以自己用绳子来操作实验，把直观语言翻译成数学语言，通过观察概括小结出其中的规律。等以后学一般拓扑学的时候，这样的拓扑基础也是非常有帮助的。
模糊数学；这是由扎德在上个世纪六十年代创立的新数学分支，属于纲领性的新奇数学，基本思想就是把普通集合推广为模糊集合。然后在此基础上建立整个数学大厦。在学完简易集合理论之后，可以特征函数来判定元素是否属于集合，有些聪明的学生可能会认为取值于0与1来识别的函数太简陋，那么把它完善一下就得到取值于[0,1]的隶属度函数，这就迈进了模糊数学的大门，模糊数学的普遍应用也非常适合中学阶段的半直观数学教学。
复数的超越运算：学完一般复数之后，聪明的学生可能会考虑复数的指数与对数，这个复数的超越元算可以说是呼之欲出的。特别是其中有个异常宝贵的欧拉公式e^iθ=cosθ+isinθ，不仅能够让学生看到指数函数与三角函数的深层联系，而且可以秒杀复杂的三角公式，甚至还可以直接推广到复函数的情形。等到以后学习专门的复分析，这样的基本运算也是一个良好的基础。
四元数：这是在十九世纪中期引入的一类新数，在复数域上再引入复数，同时对交换律进行舍弃。了解了复数之后再学习四元数，可以极大的扩展学生的数学视野，让他们对运算法则与数的构造形成直观的感受，有余力的学生还可以继续尝试构造八元数。等到以后学习抽象代数，这样的思想是相当有帮助的，同时其内在的丰富结构与非交换环、李群等现代数学概念都有密切的联系。
p-adic数：这是在十九世纪由哈密尔顿引入的一类新数，现在已经完成了由新奇数学到纯数学的逆袭，可以说现代数论中必不可少的部分。p-adic数的结构本身就非常美妙，可以说是代数的中分形结构，中学生学一点基础的p-adic数运算，将会更深刻的理解数的构成与计算，同时对距离的概念产生新的思考，其中的二进制运算对于计算机科学则是至关重要的。等到以后学习数论或其他相关知识，p-adic数的结构将是大有帮助的。
交换群入门：这个原本是抽象代数中的内容，但其基本思想就是交换律与结合律，完全可以被聪明的中学生掌握。了解一点初级的群论，可以更深刻的理解四元数与p-adic数，特别是对于交换群的情形，可以不加证明的介绍其基本定理，让学生对于结构的把握产生直观认识，产生初步的大局观。等到以后真正学习抽象代数的时候，学生基本思想上已经有了充分的准备，完全可以把重点放到具体概念的理解之上。
以上就是若干可以被中学生学习的高级数学，主要是侧重于我的个人口味，像排列组合概率之类的都没有列入，实际上应该还有着更多可能性。最后推荐有心的读者读一下下面数学教育名著：
克莱因, 舒湘芹, 陈义章, 等. 高观点下的初等数学[M]. 复旦大学出版社, 2008.
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