读书笔记：无言的宇宙
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书名：无言的宇宙—隐藏在24个数学公式背后的故事
作者：（美）达纳.麦肯齐（Dana Mackenzie）
译者：李永学
出版者：北京联合出版公司
版次：2015年5月第一版，2015年6月第三次印刷
读书笔记（开始时间：20150715）
1.是哪类书：科普书
2.主要内容：介绍数学史上重要的24个公式的历史（包括一些物理公式）
3.主要观点：数学具有两重性，首先，它是因其本身而存在的一个知识体系；其次，它是表达宇宙知识的一种语言。
4.要问的问题：数学与物理的不同之处？数学为什么能够通过逻辑推理创造的知识体系来描述现实世界？
5.书的结构：分为四个部分，分别对应数学史上的四个时期，介绍各个时期中的重要的公式的历史。
6.重要的单字：公式
7.重要的句子：数学并不仅仅与我们生活于其中的这个宇宙有关，这是物理与数学的一个主要差别。物理学应该是有关我们这个宇宙的，物理学的理论最终必须在某种程度上立足于实验。而数学是有关一切可能有的宇宙的，即我们生活于其中的这一宇宙，以及那些我们并不生活于其中的宇宙。
8.作者的论述：
序言
入选公式的标准：①令人惊讶；②简洁；③能够产生重大效果；④具有普遍意义。
数学的两重性：它是因其本身而存在的一个知识体系；它也是表达宇宙知识的一种语言。
数学的四大支流：①算术或代数；②几何；③应用数学；④无限的科学，即对无限大与无限小数量的分析。
引言
公式是数学与科学的命脉。本书是在理解公式的人和不理解公式的人之间的鸿沟上架设桥梁的一次尝试。本书的阅读对象是那些愿意理解数学本身的意义、也愿意把数学作为一种艺术来欣赏的读者。
由于计算机的发展，当代的学生正在逐步丢失对数字的感觉。如果情况持续，将有比今天多得多的人发现：对于他们来说，通往科学与高等数学的桥梁将无异于可望而不可即的天梯。
第一部分 古代的定理
在这一时期内，数学逐步进化，脱离了孕育它的学科，变成一门独立的科学。
一.我们为什么信赖算术：世界上最简单的公式（1+1=2）
古代数学充斥着乘法和除法表的讨论，却鲜有加法表的讨论。现代形式的等式概念直到16世纪后期才出现。19世纪晚期，数学家和哲学家开始检查数学的基础。他们以集合为基础证明了“1+1=2”。20世纪哥德尔证明了永远无法证明任何足以推导算术规则的集合论规则是自洽的。只要我们把我们的算术建立在集合论的基础上，就永远无法绝对保证我们使用的算术是自洽的。
大多数数学家并没有因此担心，他们认为数字，以及我们研究的大量其他数学创造物，都代表了超越人类思维的客观现实。出现能够证明1+1既等于2又等于3这类矛盾的陈述可能性就微乎其微，这叫“柏拉图主义者”的观点。当我们必须做出正式陈述时，我们将不得不承认，我们无法断言数学中不存在矛盾；但我们不会因此而中断我们的数学工作。
我们知道1+1=2，是因为我么可以通过普遍接受的集合论原理证明这一点，或者因为我们是柏拉图主义者。但我们无法证明集合论是自洽的。
（证明1+1=2：http://www.guokr.com/article/6556/
公理1. 0是一个自然数。
公理2. 如果n是自然数，则S(n)也是自然数。（S(n)代表n的“后继”，即n+1)
公理3. 0不是任何一个数的后继。
公理4. 若n与m均为自然数且n≠m，则S(n)≠S(m)。
公理5. 设P(n)为关于自然数n的一个性质。如果P(0)正确，且假设P(n)正确，则P(S(n))亦真实。那么P(n)对一切自然数n都正确。（数学归纳法）
存在一个自然数系N，称其元素为自然数，当且仅当这些元素满足上述公理。
定义加法：为满足以下两种规则的运算。1.对于任意自然数m, 0+m=m;2.对于任意自然数m和n，S(n)+m=S(n+m).
证明1+1=2：
1+1
= S(0)+1（自然数的公理）
＝S(0+1) （加法定义2）
=S(1) (加法定义1）
=2 (自然数公理）
公理1-5即为皮亚诺公理。
哥德尔不完备定理：https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%A4%87%E5%AE%9A%E7%90%86
第一定理：任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就可以在其中构造在体系中不能被证明的真命题，因此通过推演不能得到的所有真命题（即体系是不完备的）。
第二定理：任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，它就不能用于证明它本身的相容性。
哥德尔所揭示的是在多数情况下，例如在数论或实分析中，你永远不能找出公理的完整集合。每一次你将一个命题作为公理加入，将总有另一个命题出现在你的所有能形式证明的范围之外。你可以加入无穷条公理（如，所有真命题）到公理列表中，确保所有命题都可证明为真或假，但你得到的公理列表将不再是递归集。给出任意一条命题，将没有机械的方法判定它是否是系统的一条公理。如果给出一个证明，一般来说也无法检查它是否正确。）
二.抗拒新概念：零的发现（1-1=0）
零的第一个概念：用来表示空置数位的符号。从古埃及、古罗马或巴比伦的情况来看，这一功能并非必须。
零的第二个更为微妙的概念出现在印度，即把它作为实际存在的实体对待。这一概念首次出现于628年再婆罗摩笈多的一本书中，其定义为零是通过两个数量相等（绝对值相等）的正数与负数相加得来。例如1+（-1）。进一步的，任何数加0都不改变其符号，0+0=0。任何数乘以0都得0。
数学家们把0成为单元元素，因为把它加到任何数字上都不会改变那个数字。在19和20世纪所发现的多种新的运算，其共同特点，就是大家都有一个单位元素。因此，婆罗摩笈多对数学的贡献，即他关于数字零的想法至今还有着鲜活的生命力。
三.斜边的平方：毕达哥拉斯定理（a²+b²=c²，a,b为直角三角形两条直角边，c为斜边）
毕达哥拉斯大约在公元前569年生于遥望爱奥尼亚海岸的萨摩斯岛上。人们认为毕达哥拉斯学派扮演了希腊的传统数学和哲学创始人的角色。毕达哥拉斯认为，世界万物都是由数字统治的。
现在认为毕达哥拉斯定理不是毕达哥拉斯发现的，巴比伦人已经发现了，但是其对推导没有兴趣，而古希腊人发展了推导的数学传统。
毕达哥拉斯定理导致了无理数的发现，其证明方法是用归谬法（反证法），而这似乎也不是毕达哥拉斯学派的发明。非毕达哥拉斯学派的古希腊数学家在数学取得的进展有大量史料证实，研究他们的成果要比一味神化毕达哥拉斯学派无法证实的传说更合乎情理。当科学成果能够公开传播时，科学的进步速度远比它被裹在隐秘的外罩内时迅捷得多。
几乎每一个古代文化都有独立发现毕达哥拉斯公式的经历，从某种意义上说，任何对数学有兴趣的文明都不可避免地会发现这一定理。（“外星智慧生命”也如此喽？）中国的勾股定理出现在《九章算术》中，但并没有导致无理数的发现。作者认为这是语言的影响，导致中国古代很难产生归谬法的产生。这类差别表明并不存在研究数学的唯一正确途径。
四.圆的游戏：π的发现（π=3.1415926535...)
除了计算直角三角形的斜边之外，另外两个几何难题似乎也不可避免地出现于任何计算文明之中：计算圆的周长与面积。关于圆周率的第一个奇妙事实是：为什么求周长公式中的圆周率和求面积公式中的圆周率是同一个数值？古人并不认为如此，直到阿基米德给出了证明。
计算圆周率的近似值，阿基米德和中国的刘徽不约而同的采用了用圆的内接正多边形和外切正多边形来逼近的方法，得出了大致相似的近似值。随后出现了求圆周率的各种公式。1882年费迪南德.林德曼证明了圆周率是一个超越数——无法以任何系数为有理数的多项式方程的解的形式表达的数，这也就证明了化圆为方的问题无解。
（没提祖冲之？ https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%93%E5%91%A8%E7%8E%87https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%93%E5%91%A8%E7%8E%87
一块产生于公元前1900年的古巴比伦石碑清楚地记载了圆周率=25/8=3.125。同一时期埃及的文物表明圆周率为3.16。
求π近似值的过程分为实验时期（阿基米德前，靠实物测量）、几何法时期——反复割圆（公元466年，祖冲之算到7位，领先1000年）、分析法时期（利用无穷级数或无穷连乘积）、计算机时代（通常利用高斯-勒让德算法或波温算法，另外也是用萨拉明-布伦算法）
尚未解决的问题：它是否是一个正规数，即π的十进制运算式是否包含所有的有限数列。0，...,9是否以完全随机的形态出现在π的十进制运算式中。究竟是否所有0，...,9都会无穷地在π的小数运算式中出现。π^sqrt(2)，ln（π），π+e等是否为无理数。)
五.从芝诺悖论谈起：无穷的概念（1+1/2+1/4+...=2）
芝诺成名于诡辩术，使用这种辩论方法时，你攻击你的对手的论点，而不是为你自己的论点辩护。
其有两个悖论：①从A点去B点，必须首先完成路程一半，而完成这一半必须完成一半的一半，即四分之一，如此无穷，完成A到B的路程必须完成数目无穷的运动，因而是不可能的。②阿喀巯斯与龟：希腊跑得最快的人追不上一只提前出发一米的龟，因为当你追了一定距离时，龟也向前爬了一段距离，你要追上这段距离，龟又向前爬更短的一段距离，如此反复，永远也追不上。
芝诺搞错的地方：①开始把问题数学化了，但数学方法并不完整：在此过程中流逝的时间没有包括进去。②没有极限的概念，没有取极限。
阿基米德更进一步，用几何级数的方法求出了抛物线所包含的面积。但他用的不是直接计算，而是用归谬法来证明自己的结论。在经过漫长的道路之后，阿基米德正走向对无穷过程的理解。他正在运用无穷大这一武器来发现新的真理，这是一次大跃进，让古希腊数学家走到掌握无穷大概念的边缘。
（我的理解，就是1+1/2+1/4+1/8+...的值，他以为是无穷大，其实是2嘛。）
六.杠杆作用的重要性：杠杆原理（d1w1=d2w2，在杠杆上，距离支点d1的重物(重量为w1）将与距离支点d2的重物(重量为w2）平衡。）
阿基米德的名声更多的源于其物理发现和机械发明，而不是他的数学，但他肯定认为自己是一位数学家。
阿基米德发现了浮力原理（阿基米德原理）：物体（无论漂浮或完全沉在水中）排开水的重量等于水对该物体的浮力。
阿基米德发现杠杆原理，不仅经常在实际装置中使用杠杆原理，也同样将之用于数学研究。
第二部分 探索时代的定理
七.口吃者的秘密：卡尔达诺公式
对于求解二次方程，巴比伦等数学文化都知道二次方程公式，或者求解二次方程的其它等效方法。但对三次方程则不然。直到16世纪，才有数学家发现了求解的方法，但是却被保密。最后被卡尔达诺公布。数学的繁荣来自公开的交流，仅仅发现了美洲新大陆还不够，发现者还必须让这一发现为世人所知。只有卡尔达诺采取了这最后一步，并因此取得了这一光荣。
卡尔诺当公式具有长期的影响：它是首次吸引人们在数学中使用虚数和复数的事物之一。
卡尔诺当公式向前发展的下一步是求解更高阶的方程，但这一步却迟迟未能踏下，直到19世纪证明对于五次方程，不存在任何卡尔诺当式的求解公式。
八.九重天上的秩序：开普勒行星运动定律。
开普勒是全心全意接受哥白尼学说的第一批科学家之一。开普勒基于对第谷.布拉赫的行星运动观测数据的分析，发现了三大定律。这些定律是叙述性的，但其精确度极高，实际上在呼唤一项数学证明。四分之三世纪后，牛顿给出了证明。（即从牛顿定律推导出开普勒定律，具体过程见维基百科“开普勒定律”词条）
第一定律：行星并非以圆形轨道环绕太阳运行，他们的轨道是椭圆形，其中太阳位于椭圆形的一个焦点。
第二定律：行星在靠近太阳时速度加快，相同时间内行星扫过的面积相等。
第三定律：行星公转周期的平方与它与太阳间的平均距离的立方成正比。
九.书写永恒：费马最后定理（x^n + y^n = z^n）
数论是研究有整数解的方程的理论，费马是对数论产生浓厚兴趣的第一位现代欧洲数学家。费马最后定理为：方程x^n + y^n = z^n，对于n>2都没有任何整数解。欧拉解决了n=3和n=4时的问题，到1857年，证明了n<=100的情况。对费马最后定理的证明开拓了数学的新领域，今天人们称这一领域为代数数论。
20世纪80年代证明了如果谷山-志村猜想证实为真，则费马最后定理成立。于是问题转化为证明谷山-志村猜想为真。
1993年，怀尔斯宣布他证明了费马最后定理。在费马和怀尔斯之间，350年光阴让数学家学到了深刻的一课：一项没有已发表证明的“定理”根本就算不上一项定理。
现在认为费马当时也许只是找到了n=3和n=4时的证明，但对普遍情况的证明需要用到当时还没有的工具，他并没有发现。
（维基百科：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%A4%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
在冲击费马最后定理的过程中，无论是不完全的还是最后完整的证明，都给数学界带来很大的影响，很多的数学结果，甚至数学分支在这个过程中诞生了，包括几何代数中的椭圆曲线和模形式，以及迦罗瓦理论和赫克代数等。这也令人怀疑当初费马是否真能找到了正确证明。
同名纪录片：http://www.tudou.com/programs/view/HolrFnZhhH8/）
十.一片未曾探索过的大陆：微积分基本定理
自从微积分问世，数学家和科学家讨论连续变化的数量时便有了科学依据。
欧洲数学家在整个17世纪都一直在摸索着走向微积分的发现。他们的尝试源于两个不同的方向，第一个方向是求积问题，即计算不规则区域的面积；第二个方向是对任意曲线画切线的问题。
牛顿和莱布尼茨引入两个新的数学概念：解决求切线问题的微分，和解决求积问题的积分。之前也有人进行微分和积分运算，但是从来没有人意识到微分与积分互为逆运算。今天称这一逆运算关系为微积分基本定理。它最终让数学彻底掌握了连续变化的概念。整个现代科学都是关于变化的科学，数学家在微积分中找到了他们投身现代科学的工具。
由于牛顿不愿公开其发现，导致牛顿与莱布尼茨产生了发明微积分的优先权之争。发表而不是秘藏成果，这才是最能让数学进步的必由之路。现在的共识是，两人各自独立发明了微积分，牛顿时间较早，莱布尼茨最先发表，且形式较简单。
十一.关于苹果、传说......以及彗星：牛顿定律（F=ma， F=GMm/r²）
关于苹果的事情只是传说而已。牛顿面临的问题是月球、太阳和行星是否需要某种外部力量让它们运动？亚里士多德认为，构成天体的物质与地球不同，而且他们的自然运动轨迹是圆形的。开普勒认为需要一种推动力才能让行星保持在轨道上。笛卡尔认为宇宙是由旋流组成的；是这些旋流扫过了在轨道上运行的行星。在牛顿的体系中，苹果与行星受到了同样的力作用。行星也始终在自由下落，它们并不需要推动力。开普勒第一定律或许就是牛顿写作《原理》的主要原因。
牛顿第一定律说运动物体将永远保持匀速直线运动，除非有外力将其停止或改变其运动方向。
牛顿第二定律，作用在物体上的力等于其动量的变化率。F=d(mv)/dt.
牛顿第三定律：对于任何一个作用力，都存在着一个与它大小相等方向相反的反作用力。
这三大定律共同解释了所有的力是如何影响一切固体的运动的。
牛顿引力定律：F=-（GMm）/r²
牛顿真正独树一帜的成就是他运用微积分，把引力定律和他的运动定律结合，从而建立并随之解决了描述行星轨道的方程和能力。
十二.伟大的探索者：欧拉定理（e^ix = cos(x) + isin(x))
e^iπ+1=0无疑是数学上最为矛盾的命题之一：这一等式让数学上5个最重要的常数齐聚一堂：0,1,e，π和i。一项能让人更好地理解数学的公式比那些只会令人困惑莫名的公式要优美得多。
V-E+F=2，这一公式给出了任何多面体的顶点数(V)、棱数（E）和表面数（F）之间的关系。后来发现也有例外，这一公式是拓扑学的开始，V-E+F现在称为欧拉示性数，它是一个“拓扑不变量”，用以区分不同的二维表面。
质数的无穷范围：ζ(x) = 1/[(1-1/2^x)(1-1/3^x)(1-1/4^x)...]其中分母部分中的乘积囊括了所有质数2,3,5,7，...对于数论学家来说，欧拉乘积或许是人们有史以来发现的最重要的公式。今天我们知道的有关质数分布的大部分知识来自对ζ函数的细心研究。
贝塞尔问题。1+1/4+1/9+1/16+...=π²/6。
有两种数学，一种是纯粹为了它自身的优美而产生的数学，另一种是为解决实际问题而产生的数学。
欧拉对数学最重要的贡献之一完全不是一项等式，他发表了大量著作，他不介意退居二线而把荣誉让给他人，他发表论文的数量和质量经常超出人们的预期。他对数学得以发展到今天的状况作出了贡献：今天的数学是一项职业，有关数学的信息不存在专利，而是公之于众，供大家分享。
（如何理解欧拉公式： http://www.swarma.org/files/jake2012711150510.pdfhttp://www.swarma.org/files/jake2012711150510.pdf
http://v.youku.com/v_show/id_XNDM1MTEyMDU2.html?from=y1.2-1-87.3.6-2.1-1-1-5-0
e,π,i,1,0：数学中五个重要的数字。
数学分支：算术，代数，几何，解析几何，三角几何，微积分，复变函数。
数学概念：三角函数，对数与指数，幂级数，导数，虚数，复平面。
http://ryancheunggit.gitbooks.io/calculus-with-python/content/03EulerFormula.html
用Python验证。
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%8E%E6%9B%BC%CE%B6%E5%87%BD%E6%95%B8
ζ函数条目。)
第三部分 普罗米修斯时代的定理
十三.新的代数：汉密尔顿与四元数（i²=j²=k²=ijk=-1）
复数代表平面上的操作，但在三维客观世界内便乏善可陈。汉密尔顿确信，必然存在某种三维代数，它会如同复数的二维代数一样威力强大。最后他意识到，向三数组内引入第四个数会让除法与乘法同时成为可能。
i²=j²=k²=ijk=-1
ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j
然后人们就可以在任意两个四元数（a+bi+cj+dk)和(w+xi+yj+zk)之间遵照代数的正常规则进行加减乘除四则运算了。
1/(a+bi+cj+dk) = (a-bi-cj-dk)/(a²+b²+c²+d²）
哈密尔顿认为四元数的第四维可以代表时间，为此他成为了将时间与空间合并，使之成为单一“时空”的第一位科学家。但物理学还未成熟到需要这一概念的地步。
另外矢量分析的发展也对四元数的应用提出了挑战。四元数代表的是空间的转动与放大，因此它们并非矢量，矢量是转动在其上操作的平台。四元数是转动本身。这一点哈密尔顿也没有真正理解。
四元数确实是代表任何在三维空间中自旋的事物的最好方式。这中间包括质子、中子和电子等微观粒子，他在人们需要它之前差不多一个世纪就发现了这种数学。
四元数的一个直接效果就是解放了数学家的思想，让他们敢于思索其他种类的代数。其他数学家陆续找出其他代数结构，如环、群等进行研究。人们有着这么多可供选择的代数结构，现在的问题不再是那些结构是可能的，而是哪些结构值得研究。一个新结构会有助于解决已经存在的问题吗？它会有深刻的、富有挑战性的、有其固有美感的理论吗？
（https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B8
四元数代表四维空间，相对复数代表二维空间。对于i，j，k本身的几何意义可以理解为一种旋转，其中i旋转代表X轴与Y轴相交平面中X轴正向向Y轴正向旋转，j旋转代表Z轴与X轴相交平面中Z轴正向向X轴正向旋转，k旋转代表Y轴与Z轴相交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转，-i，-j，-k分别代表i,j,k旋转的反向旋转。)
十四.两颗流星：群论
群论的两位创始人阿贝尔和迦罗瓦均早逝。
群论产生的原因是高次多项式方程的求解。要想求证某项任务不可能确实很困难，为完成这一任务你得到一些工具：你必须发现这些工具本身带有与生俱来的缺陷，这才能证明你的任务是不可能完成的。阿贝尔和迦罗瓦并没有证明五次多项式方程无解，他们证明的是假定这些解存在，加减乘除与任意次开方这五种运算操作不足以表达这些解。
他们发现五次多项式方程的五个根有120种不同的排列方式，因此一个标准的五次多项式有120种对称方式。如果一个多项式方程有根式解，它就会形成一个对应于那些多项式方程的根的中间多项式谱系和一个“数域”谱系。迦罗瓦的论据：由120个根的排列方式组成的整个群不允许出现方程要求的塔形子群。根据证明，最高的高度是20，即一个有根式解的五次多项式方程可允许的最高排列数是20。
迦罗瓦提出的群的概念现在已经变成数学家用以表达对称这一古老想法的主要工具。他所发明的工具——群论，实现并超越了发明者的梦想。在物理化学中都有应用。
（如何直观的理解群：http://www.zhihu.com/question/23091609
如何给高中生解释群论：http://www.zhihu.com/question/27807675 )
十五.鲸鱼几何与蚂蚁几何：非欧几何
欧式几何被奉为演绎推理的登峰造极之作，但是其平行公理有问题。数千年来试图证明这一公理的尝试均失败，到19世纪，人们开始探讨平行假设不存在的情况下的几何学。高斯首先发现非欧几何，但并未公开。亚诺什.波尔约是第二个，但是受到高斯的打击，没有其它成果。罗巴切夫斯基是第三位。
在双曲面几何中，三角形内角和小于180度，最初平行的直线之间的距离会越来越大。
在球面几何中，三角形内角和大于180度，最初平行的直线会越来越接近。
世界上并非只有一个“自然”的几何，而是存在着形形色色的几何，它们有着不同的曲率。
如果没有罗巴切夫斯基、波尔约、高斯和黎曼，爱因斯坦将永远也无法写下他的理论中的方程。
十六.我们信赖质数：质数定理
高斯解决了正十七边形尺规作图的问题。并推广为一个普遍定理：如果n的所有奇质因子都比2的某次幂多1，且这些奇质因子只在n中出现一次，则正n边形可以用尺规做出。这一实例让我们大致了解了质数在数论中所扮演的核心角色。
如何理解质数的分布方式？高斯猜想质数出现的概率是1/ln(n)。黎曼发现了小于n的质数数目的准确公式，利用了ζ函数。问题是，要计算这一数目，需要知道平面上黎曼ζ函数数值为零的无数多点的位置。后来证明所有零点都位于直线x=0和直线x=1之间的无限长条上。据此证明了质数定理。
对黎曼函数零点位置越准确的知道，对质数的理解就越深刻。黎曼猜想：所有零点恰在上述通道的中央部分。如果猜想被证实，人们能够极为完美地掌握质数的分布。
迄今人们已经发现了十万亿个ζ函数的零点，而且他们全都如黎曼猜测的那样，位于“关键性长条”的中央。但猜想仍未被证明。
（素数定理： https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%B3%AA%E6%95%B8%E5%AE%9A%E7%90%86https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%B3%AA%E6%95%B8%E5%AE%9A%E7%90%86https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%B3%AA%E6%95%B8%E5%AE%9A%E7%90%86
1798年法国数学家勒让德提出，1896年法国数学家雅克.阿达骂和比利时数学家德拉瓦莱普森先后独立给出了证明，证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。
（黎曼函数：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%8E%E6%9B%BC%CE%B6%E5%87%BD%E6%95%B8
1896年，雅克.阿达马和普森几乎同时证明了ζ（s）的所有非平凡零点的实部均小于1，即Re s=1上无非平凡零点，从而完成了素数定理的证明。
黎曼猜想漫谈：http://www.changhai.org/articles/science/mathematics/riemann_hypothesis/index.php
数学思维方式与创新——黎曼猜想（视频）：http://v.ku6.com/show/pQ1PcDHNXD9UmZmYRbVSdA...html ）
十七.关于谱系的想法：傅里叶级数
傅里叶从1802年开始进行固体热扩散方面的实验。同时，他发展了一种解释这些物体状况的数学理论，该理论由两部分组成。他首先建立的是热传导方程，然后用后人称为傅里叶级数的方法求解这一方程。
应用于解决实际问题时，数学是一个二步过程。人们首先要做出问题的模型，即把你的假定或你的经验观察数据翻译成数学语言。建立模型后的下一步就是求解这个模型的方程。
傅里叶三角技术可以用来近似表达任意函数，这在当时并不容易被接受。傅里叶级数可以表达带有跳跃与隅角这些无法用简单的算术公式表达的函数。这标志着，函数从此开始有了更广阔的理念，即我们今天使用的输入-输出模式。函数不过是一种规则，它赋予任何输入值独一无二的输出值。输入值与输出值甚至不需要真的是数字，而那种规则自然也不一定需要能够表达为公式。什么样的函数确实服从傅里叶的逆公式？主要由于这一问题的刺激，促进了19世纪与20世纪的函数理论或“泛函分析”的形成。今天傅里叶级数和傅里叶变换的应用远远超出热传导方程。
（《如果看了此文你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧》 http://blog.jobbole.com/70549/
以时间作为参照来观察动态世界的方法为时域分析。用另一种方法来观察世界的话，世界是永恒不变的，这个世界叫频域。例子：MP3文件里记录的音乐是时域的信息，而演奏音乐所根据的乐谱则是频域信息。
从时域图形的侧面看，就是频域图形。很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。如从某条曲线中去除一些特定的频率成分（滤波）。
从时域侧面看时得到的频谱，并没有包含时域全部的信息，因为其值表现了振幅而没有提到相位。不同的相位决定了波的位置，所以还需要相位谱。相位谱是从下面看。
傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。
而傅里叶变换，则是将一个时域非周期连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。
《戏说傅里叶变换》里面有python里傅里叶变换的用法。http://blog.csdn.net/akonlookie/article/details/8482459 ）
十八.上帝之眼中看到的光：麦克斯韦方程
19世纪牛顿力学获得巨大成功，但物理学中仍然存在着对广大科学家来说完全神秘的三个课题：电现象、磁现象和光的本质。关于这三个现象，科学家积累了很多观察及实验结果。将所有这些令人困惑的线索编织成一项优雅理论的人非苏格兰物理学家麦克斯韦莫属。他严肃看待法拉第对于磁铁形成的“磁力线”的描述。法拉第和麦克斯韦质疑“远程作用”的想法，他们认为在两个电荷或两个磁铁之间的力是它们之间的场造成的。在麦克斯韦的世界中，空旷的空间中到处都是电势和磁势。
麦克斯韦计算出电磁波的速度，与光速极为接近，于是得出结论，光是由引起了电现象与磁现象的同一介质的横波纹组成的。
最后麦克斯韦总结了其他人发现的关于电磁现象的4个偏微分方程，改变了整个世界。
(维基百科：https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E9%BA%A6%E5%85%8B%E6%96%AF%E9%9F%A6%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84
1865年麦克斯韦提出的最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成，他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。现在所使用的数学形式是1884年以矢量分析的形式重新表达的。
概述：①高斯定律：描述电场是怎样由电荷生成。电场线开始于正电荷，终止于负电荷。计算穿过某给定闭曲面的电场线数量，即其电通量，可以得知包含在这闭曲面内的总电荷。定律描述穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷之间的关系。②高斯磁定律：表明不存在磁单极子。③法拉第感应定律：描述含时磁场怎样生成电场。④安培定律：磁场可以用两种方法生成：一种是靠电流，另一种是靠含时电场。
麦克斯韦方程组通常应用于各种场的“宏观平均”，当尺度缩小至围观，以至于接近单独原子大小的时候，这些场的局部波动差异将变得无法忽略，量子现象也会开始出现。
麦克斯韦方程组（彩图完美解释版）： http://blog.sina.com.cn/s/blog_a1b89b82010120sz.html
麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流假说的核心思想是：
变化的磁场可以激发涡旋电场，
变化的电场可以激发涡旋磁场；
电场和磁场不是彼此孤立的，
它们相互联系、相互激发组成一个统一的电磁场
（也是电磁波的形成原理）。
（1）描述了电场的性质。
电荷是如何产生电场的高斯定理。
电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
电场 E （矢量）通过任一闭曲面的通量，即对该曲面的积分等于4π乘以该曲面所包围的总电荷量。
静电场（见电场）的基本方程之一，它给出了电场强度在任意封闭曲面上的面积分和包围在封闭曲面内的总电量之间的关系。
根据库仑定律可以证明电场强度对任意封闭曲面的通量正比于该封闭曲面内电荷的代数和
通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的所有电荷量的代数和与电常数之比。
电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。
在真空的情况下,Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。
当存在介质时,Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。
在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正（或负）电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；
高斯定理反映了静电场是有源场这一特性。
凡是有正电荷的地方，必有电力线发出；凡是有负电荷的地方，必有电力线会聚。
正电荷是电力线的源头，负电荷是电力线的尾闾。
高斯定理是从库仑定律直接导出的，它完全依赖于电荷间作用力的二次方反比律。
把高斯定理应用于处在静电平衡条件下的金属导体，就得到导体内部无净电荷的结论，因而测定导体内部是否有净电荷是检验库仑定律的重要方法。
对于某些对称分布的电场,如均匀带电球的电场,无限大均匀带电面的电场以及无限长均匀带电圆柱的电场，可直接用高斯定理计算它们的电场强度。
电位移对任一面积的能量为电通量，因而电位移亦称电通密度。
（2）描述了变化的磁场激发电场的规律。
磁场是如何产生电场的法拉第电磁感应定律。
在没有自由电荷的空间，由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线。
在一般情况下，电场可以是库仑电场也可以是变化磁场激发的感应电场，而感应电场是涡旋场，它的电位移线是闭合的，对封闭曲面的通量无贡献。
麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变化的磁场可以在空间激发电场，并通过法拉第电磁感应定律得出了二者的关系，上式表明，任何随时间而变化的磁场，都是和涡旋电场联系在一起的。
（3）描述了磁场的性质。
论述了磁单极子的不存在的高斯磁定律
在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，N极和S极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零。
由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。
这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。
（4）描述了变化的电场激发磁场的规律。
电流和变化的电场是怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律。
变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线。因此，磁场的高斯定理仍适用。
在稳恒磁场中，磁感强度H沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和。
磁场可以由传导电流激发，也可以由变化电场的位移电流所激发，它们的磁场都是涡旋场，磁感应线都是闭合线，对封闭曲面的通量无贡献。
麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变化的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了一般形式下的安培环路定理在真空或介质中的表示形式，上式表明，任何随时间而变化的电场，都是和磁场联系在一起的。)
第四部分 我们这个时代的定理
十九.光电效应：量子与相对论（E=mc²）
1905年，26岁的爱因斯坦提出光子解释光电效应，光的量子化意味着，对光能的吸收是一个“或者全部或者全不”的过程。对于爱因斯坦那个时代的物理学家来说，光量子假说不但完全与常识背道而驰，而且也与一个世纪以来的理论完全对立。实际上，爱伊斯坦的光子学说打响了量子革命的第一枪。量子力学以一种完全矛盾的形式解释了“粒子与波动之争”的百年疑案：光既是一种粒子，也是一种波。它看上去“像什么”取决于你如何审视它。在亚原子世界中，数学才是我们唯一的可靠指南。
爱因斯坦的第二项伟大发现是狭义相对论，其来源于牛顿的时空观和麦克斯韦的电磁理论之间的矛盾（光速是否会随运动改变？），最后实验证实光速如麦克斯韦的理论显示的那样不变。按照狭义相对论，光速不变的原因是：长度与时间都是相对的，它们取决于你的参照系。
对于匀速运动的参照系即惯性参照系中观察，物理定律都不变，但是在以非匀速运动的加速参照系中的情况，需要用广义相对论来解释。他的关键性见解是，加速度与引力之间是不可分辨的。正是广义相对论使得爱因斯坦预言了光线在引力场内的弯曲。最终爱因斯坦得到了他最著名的公式：E=mc²。
二十.从劣质雪茄到威斯敏斯特大教堂：狄拉克公式
由爱因斯坦发动的量子革命方兴未艾，但爱因斯坦却基本上没有参与这场革命。对于量子化的粒子来说，对角动量的任何观测都是一种“或者全部或者全不”的事件。通过发射银原子束的实验证实了量子理论的假说。
狄拉克改写了爱因斯坦的质能方程，其形式与80年前汉密尔顿的四元数完全类似。这个公司由两个原因让物理学家感到困惑不解：其一是它有四个成分而不是两个，其中两个成分被认为是电子的自旋向上和自旋向下。其次这一波函数的行为不像矢量。当把空间旋转360度时这一波函数只旋转了180度。狄拉克将方程的另两个成分解释为具有负能量的粒子，他们应该是形如电子的粒子，但是带有正电荷。随后实验中发现了正电子。狄拉克公式导致一个现在也尚未解决的问题：为什么宇宙中的物质多于反物质？为什么宇宙不是空荡荡的？
狄拉克方程也揭示了，我们的宇宙中有两种根本不同的量子粒子，一种是自旋为整数的玻色子，具有矢量波函数，喜欢凑在一起，如光子。一种是自旋为分数的费米子，具有四元数（或者旋量）式的波函数，所有普通物质（如电子、质子、中子）都是费米子，费米子喜欢独来独往。这一模式解释了元素周期表，也使人们更好认识了真空。
（狄拉克方程：https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%8B%84%E6%8B%89%E5%85%8B%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
狄拉克方程是相对论量子力学的一项描述自旋-1/2粒子的波函数方程，不带矛盾地同时遵守了狭义相对论和量子力学两者的原理，实为薛定谔方程的洛伦茨协变式。）
二十.王国缔造者：陈省身-高斯-博内公式
从爱因斯坦开始，物理学家时常惊讶的发现，数学原来早已准备好了他们所需要的工具。反之，数学家也不断意识到，是物理学上的问题和定理带来了有趣、最深刻的数学发展。
与这一趋势有联系的另一个20世纪的趋势是几何学的崛起。黎曼几何（微分几何）变成了数学的一个核心领域。
第三个趋势是它的全球化不断增加，特别在二战后。
为了描述弯曲空间（“流形”），需要在其上建立一套坐标系。微分几何中最重要也最有意思的数值正是那些独立于坐标选择的指标。陈-高斯-博内定理是说，我们可以通过测量流形上每一点的曲率来得到我们的宇宙的一些总体情况。这一定理是古代几何学（三角形内角和是多少度？）和现代几何学（我们如何描述弯曲表面的总体性质）的分水岭。
表面的经典高斯-博内定理的异乎寻常之处：一、它意味着并非只有在表面之外才能检测表面；二、表面的总曲率是量子化的，它永远是2π的整数倍。
陈省身在美国于1946年发表论文，创造了纤维从的概念，来证明高斯-博内定理。它就像一座城堡，而流形M是它的建筑平面图。在流形上发生的一切只不过是在它上面的纤维从上所发生的事情的暗淡反射。曲率积分Ω在纤维从中，位于许多叫做“微分式”的类似积分所组成的宝塔的底部。当曲率积分是在“楼上”的纤维从中进行，而不是在楼下的流形中进行时，陈-高斯-博内定理几乎变成了一目了然的事情。
陈省身的工作完成了一个循环，爱因斯坦和狄拉克证明，你在研究物理学是不能没有几何学，陈反过来证明，你在研究几何学是无法不考虑物理学。为理解空间的形状，你需要知道这些空间中能够建立何种类型的纤维从，或更本质的说：能够建立何种类型的量子场。
数学并不仅仅与我们生活于其中的这个宇宙有关，这是物理与数学的一个主要差别。物理学应该是有关我们这个宇宙的，物理学的理论最终必须在某种程度上立足于实验。而数学是有关一切可能有的宇宙的，即我们生活于其中的这一宇宙，以及那些我们并不生活于其中的宇宙。
陈于文革后回到中国。
（陈省身数学研究所的纪念网页： http://www.nim.nankai.edu.cn/sschern/sschern.htm
1961年入美国籍。
纤维丛理论，没看懂。 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%A4%E7%BB%B4%E4%B8%9B ）
二十二.有一点儿无限：连续统假说
对于不同种类的无限的探索导致了20世纪的一些最深刻的、最矛盾的发现。
在接近19世纪末的时候，数学家们开始形成了一个共识，认为集合，而非数字，才是建筑数学大厦的基本材料。
康托尔提出，如果两个集合A与B之间能够找到一一对应关系，能使A中的每一个元素与B中的某一个元素之间具有独一无二的联系，而且反之亦然，则这两个集合即具有同样的基数性。集合大小的测度称为基数。一个只有一个元素的集合的基数性是1，一个有两个元素的集合的基数性是2，以此类推。最小的无限整数集，记为χ0。 χ0+1=χ0，χ0+χ0=χ0，χ0.χ0=χ0。康托尔证明，所有实数的集合有更大的基数性。可以把数轴想象成是由一个可数集合的砖头（即有理数）组成的，并由无理数、超越数及大部分是完全随机出现的数字作为类似“胶水”似的东西来填充这些砖头之间的缝隙。康托尔论证说明，数轴的绝大部分是胶水而不是砖头。连续统的基数性，记为c。
如果S是一个集合，由S的所有子集组成的集合称为S的幂集。S的基数性是n的话，S的幂集的基数性是2**n。即S的幂集的基数性永远高于S本身，因此不存在最大的无限基数。
χ0之后的下一个基数是什么？会不会有一个“略大于”整数集但又“略小于”实数集的集合？康托尔相信答案是否定的。其连续统假设为： 2**χ0 = χ1。哥德尔证明，连续统假设无法通过策-弗集合论的公理出发证明或证伪。这并不意味着不存在其它公理体系，在其中可以证明或证伪连续统假设。哥德尔的不完备定理相当于量子物理的测不准原理，二者都为人类理解的可能极限划定了疆界。20世纪的人类开始进入了对自己的局限性有所认识的时代。
（连续统假设：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E7%BB%9F%E5%81%87%E8%AE%BE
不存在一个基数绝对大于可列集而绝对小于实数集的集合。
历史上，喜欢一个“丰富”而且“大”的全集的数学家倾向反对连续统假设；而喜欢一个“整齐”而且“可控制”的全集的数学家则倾向支持连续统假设。）
二十三.混沌理论：洛伦兹方程
第一个理解了混沌的数学含义的人并非数学家。
洛伦兹方程描述高度理想化了的大气状况。都是偏微分方程。
真实世界是非线性的，反馈回路把微小的原因放大为巨大的后果。方程的参数强烈地影响着方程的解的形态。非线性并不是一定会出现混沌的保证，它只是创造了这种可能。
数学家最初无视混沌理论的发现，倒是其他学科的科学家不断在其领域内发现了混沌现象。
庞加莱是最早研究过混沌现象的数学家，但数学家们还没做好寻找混沌的准备，也许是因为那时没有计算机。曼德勃罗出于完全不同的理由，让全世界睁开眼睛，看到“分形”在自然界中无所不在。
1975年李天岩和詹姆斯 .约克命名了混沌现象，80年代到90年代混沌跳出科学领域，进入了大众文化。现在研究热潮已经消退，但并未结束。这一概念依然富有生命力，并且将永远如此。
（混沌理论：https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%B7%B7%E6%B2%8C%E7%90%86%E8%AE%BA
是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔（bifurcation）、周期运动与非周期运动相互纠缠，以至于通向某种非周期有序运动的理论。
混沌系统有三种性质：①受初始状态影响的敏感性，初始条件非常微小的变动也可以导致最终状态的巨大差别。②具有拓扑混合性：不严格的说，就是系统会将初始控件的拓扑性质彻底打乱，使得任何初始状态变换到其他任何位置。③周期轨道稠密，即在任何初始值附近都可以找到具有周期轨道的值。
二十四.布莱克-斯科尔斯方程
这个方程让一种名为衍生物的金融产品取得了爆炸式的市场增长。从本质上说，衍生物就是在对某些其他资产例如股票与债券的价格变化方向赌博。他们证明，确实存在着一个公平的市场价格V（S,t）。股价的改变可由两部分组成：上下移动以及随机摇摆。只有摇摆的幅度即波动，才对认股权有重要意义。而这一波动是正态分布的。
与过去把对冲战略视为战胜市场的一种手段的投资者不同，他们认为市场是不可战胜的。进行动态对冲所得到的投资回报率，等于市场的无风险投资回报率（存银行，买国债）。
这一理论推动了期权市场的发展和投机，并间接导致了几次金融风暴。
（布莱克-舒尔斯模型:https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%83%E8%8E%B1%E5%85%8B-%E8%88%92%E5%B0%94%E5%85%B9%E6%A8%A1%E5%9E%8B
布莱克-舒尔斯模型（英语：Black-Scholes Model），简称BS模型，又称布莱克-舒尔斯-墨顿模型（Black–Scholes–Merton model），是一种为期权或权证等金融衍生工具定价的数学模型，由美国经济学家迈伦·舒尔斯（Myron Scholes）与费雪·布莱克（Fischer Black）首先提出，并由罗伯特·墨顿（Robert C. Merton）完善。由此模型可以推导出布莱克-舒尔斯公式，并由此公式估算出欧式期权的理论价格。此公式问世后带来了期权市场的繁荣。该公式被广泛使用，虽然在很多情况下被使用者进行一定的改动和修正。很多经验测试表明这个公式足够贴近市场价格，然而也有会出现差异的时候，如著名的“波动率的微笑”。
B-S模型5个重要假设：①金融资产价格服从对数正态分布，而金融资产收益率服从正态分布；②在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益率变量是恒定的；③市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；④金融资产在期权有效期内无红利及其它所得（该假设后被放弃）；⑤该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。）
结论：数学的进一步发展：首先，在世界范围内，数学与科学的事业看上去依旧非常健康；其次，互联网的发展，使人们能比任何时候能更充分的分享科学理念。另外，数学的行为方式也正在发生变化，计算机为人类带来了了解事物的新途径。最重要的模式可能再也无法以方程的形式表达了。在运用上，数学的应用已经不止于物理了，生物或社会学科上数学的应用也令人兴奋。面对新的应用领域，需要新的数学模型，一定会有新的方程出现的。
9.作者对问题的解答：数学并不仅仅与我们生活于其中的这个宇宙有关，这是物理与数学的一个主要差别。物理学应该是有关我们这个宇宙的，物理学的理论最终必须在某种程度上立足于实验。而数学是有关一切可能有的宇宙的，即我们生活于其中的这一宇宙，以及那些我们并不生活于其中的宇宙。
10.我对作者解答的评论：
①数学为什么能称为描述宇宙的语言，对其他学科（尤其物理）产生那么大的影响？首先数学的最初的研究对象：计数，几何图形等，都是起源于人的实践，存在的问题是，为何逻辑推理产生的结果，能够与现实世界相符合？是因为宇宙的演变也是按照逻辑推理的规律来运行的？那这是巧合，还是必然如此？我相信是必然如此，因为这种巧合的概率太低了。这大概就是科学家心目中的“上帝”吧。由于数学推理能够比较纯粹的进行，从而能够比较深入，所以数学往往能够先于物理学很多年，为其提供所需要的工具。反过来，物理等学科也为数学的进一步发展提出了很多问题。
②对本书的评价：很不错，有很多知识我以前也知道一些，但是了解的不深入，这次都感觉了解的深入多了，比如黎曼猜想，比如连续统假设等。但是也许是篇幅的限制，一些我觉得该入围的公式没有入围，比如正态分布的公式，只是在最后一章提了一下。另外介绍还是简略了一些，没有涉及到一些细节（可以放附录里面，原书的附录里几乎全是人物的介绍），尤其后面涉及到微积分，还有涉及到物理的东西。看完一章要去维基百科等地方找很多补充资料来看，那些地方的资料对业余人士又太专业了一些。
作者：（美）达纳.麦肯齐（Dana Mackenzie）
译者：李永学
出版者：北京联合出版公司
版次：2015年5月第一版，2015年6月第三次印刷
读书笔记（开始时间：20150715）
1.是哪类书：科普书
2.主要内容：介绍数学史上重要的24个公式的历史（包括一些物理公式）
3.主要观点：数学具有两重性，首先，它是因其本身而存在的一个知识体系；其次，它是表达宇宙知识的一种语言。
4.要问的问题：数学与物理的不同之处？数学为什么能够通过逻辑推理创造的知识体系来描述现实世界？
5.书的结构：分为四个部分，分别对应数学史上的四个时期，介绍各个时期中的重要的公式的历史。
6.重要的单字：公式
7.重要的句子：数学并不仅仅与我们生活于其中的这个宇宙有关，这是物理与数学的一个主要差别。物理学应该是有关我们这个宇宙的，物理学的理论最终必须在某种程度上立足于实验。而数学是有关一切可能有的宇宙的，即我们生活于其中的这一宇宙，以及那些我们并不生活于其中的宇宙。
8.作者的论述：
序言
入选公式的标准：①令人惊讶；②简洁；③能够产生重大效果；④具有普遍意义。
数学的两重性：它是因其本身而存在的一个知识体系；它也是表达宇宙知识的一种语言。
数学的四大支流：①算术或代数；②几何；③应用数学；④无限的科学，即对无限大与无限小数量的分析。
引言
公式是数学与科学的命脉。本书是在理解公式的人和不理解公式的人之间的鸿沟上架设桥梁的一次尝试。本书的阅读对象是那些愿意理解数学本身的意义、也愿意把数学作为一种艺术来欣赏的读者。
由于计算机的发展，当代的学生正在逐步丢失对数字的感觉。如果情况持续，将有比今天多得多的人发现：对于他们来说，通往科学与高等数学的桥梁将无异于可望而不可即的天梯。
第一部分 古代的定理
在这一时期内，数学逐步进化，脱离了孕育它的学科，变成一门独立的科学。
一.我们为什么信赖算术：世界上最简单的公式（1+1=2）
古代数学充斥着乘法和除法表的讨论，却鲜有加法表的讨论。现代形式的等式概念直到16世纪后期才出现。19世纪晚期，数学家和哲学家开始检查数学的基础。他们以集合为基础证明了“1+1=2”。20世纪哥德尔证明了永远无法证明任何足以推导算术规则的集合论规则是自洽的。只要我们把我们的算术建立在集合论的基础上，就永远无法绝对保证我们使用的算术是自洽的。
大多数数学家并没有因此担心，他们认为数字，以及我们研究的大量其他数学创造物，都代表了超越人类思维的客观现实。出现能够证明1+1既等于2又等于3这类矛盾的陈述可能性就微乎其微，这叫“柏拉图主义者”的观点。当我们必须做出正式陈述时，我们将不得不承认，我们无法断言数学中不存在矛盾；但我们不会因此而中断我们的数学工作。
我们知道1+1=2，是因为我么可以通过普遍接受的集合论原理证明这一点，或者因为我们是柏拉图主义者。但我们无法证明集合论是自洽的。
（证明1+1=2：http://www.guokr.com/article/6556/
公理1. 0是一个自然数。
公理2. 如果n是自然数，则S(n)也是自然数。（S(n)代表n的“后继”，即n+1)
公理3. 0不是任何一个数的后继。
公理4. 若n与m均为自然数且n≠m，则S(n)≠S(m)。
公理5. 设P(n)为关于自然数n的一个性质。如果P(0)正确，且假设P(n)正确，则P(S(n))亦真实。那么P(n)对一切自然数n都正确。（数学归纳法）
存在一个自然数系N，称其元素为自然数，当且仅当这些元素满足上述公理。
定义加法：为满足以下两种规则的运算。1.对于任意自然数m, 0+m=m;2.对于任意自然数m和n，S(n)+m=S(n+m).
证明1+1=2：
1+1
= S(0)+1（自然数的公理）
＝S(0+1) （加法定义2）
=S(1) (加法定义1）
=2 (自然数公理）
公理1-5即为皮亚诺公理。
哥德尔不完备定理：https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%A4%87%E5%AE%9A%E7%90%86
第一定理：任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就可以在其中构造在体系中不能被证明的真命题，因此通过推演不能得到的所有真命题（即体系是不完备的）。
第二定理：任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，它就不能用于证明它本身的相容性。
哥德尔所揭示的是在多数情况下，例如在数论或实分析中，你永远不能找出公理的完整集合。每一次你将一个命题作为公理加入，将总有另一个命题出现在你的所有能形式证明的范围之外。你可以加入无穷条公理（如，所有真命题）到公理列表中，确保所有命题都可证明为真或假，但你得到的公理列表将不再是递归集。给出任意一条命题，将没有机械的方法判定它是否是系统的一条公理。如果给出一个证明，一般来说也无法检查它是否正确。）
二.抗拒新概念：零的发现（1-1=0）
零的第一个概念：用来表示空置数位的符号。从古埃及、古罗马或巴比伦的情况来看，这一功能并非必须。
零的第二个更为微妙的概念出现在印度，即把它作为实际存在的实体对待。这一概念首次出现于628年再婆罗摩笈多的一本书中，其定义为零是通过两个数量相等（绝对值相等）的正数与负数相加得来。例如1+（-1）。进一步的，任何数加0都不改变其符号，0+0=0。任何数乘以0都得0。
数学家们把0成为单元元素，因为把它加到任何数字上都不会改变那个数字。在19和20世纪所发现的多种新的运算，其共同特点，就是大家都有一个单位元素。因此，婆罗摩笈多对数学的贡献，即他关于数字零的想法至今还有着鲜活的生命力。
三.斜边的平方：毕达哥拉斯定理（a²+b²=c²，a,b为直角三角形两条直角边，c为斜边）
毕达哥拉斯大约在公元前569年生于遥望爱奥尼亚海岸的萨摩斯岛上。人们认为毕达哥拉斯学派扮演了希腊的传统数学和哲学创始人的角色。毕达哥拉斯认为，世界万物都是由数字统治的。
现在认为毕达哥拉斯定理不是毕达哥拉斯发现的，巴比伦人已经发现了，但是其对推导没有兴趣，而古希腊人发展了推导的数学传统。
毕达哥拉斯定理导致了无理数的发现，其证明方法是用归谬法（反证法），而这似乎也不是毕达哥拉斯学派的发明。非毕达哥拉斯学派的古希腊数学家在数学取得的进展有大量史料证实，研究他们的成果要比一味神化毕达哥拉斯学派无法证实的传说更合乎情理。当科学成果能够公开传播时，科学的进步速度远比它被裹在隐秘的外罩内时迅捷得多。
几乎每一个古代文化都有独立发现毕达哥拉斯公式的经历，从某种意义上说，任何对数学有兴趣的文明都不可避免地会发现这一定理。（“外星智慧生命”也如此喽？）中国的勾股定理出现在《九章算术》中，但并没有导致无理数的发现。作者认为这是语言的影响，导致中国古代很难产生归谬法的产生。这类差别表明并不存在研究数学的唯一正确途径。
四.圆的游戏：π的发现（π=3.1415926535...)
除了计算直角三角形的斜边之外，另外两个几何难题似乎也不可避免地出现于任何计算文明之中：计算圆的周长与面积。关于圆周率的第一个奇妙事实是：为什么求周长公式中的圆周率和求面积公式中的圆周率是同一个数值？古人并不认为如此，直到阿基米德给出了证明。
计算圆周率的近似值，阿基米德和中国的刘徽不约而同的采用了用圆的内接正多边形和外切正多边形来逼近的方法，得出了大致相似的近似值。随后出现了求圆周率的各种公式。1882年费迪南德.林德曼证明了圆周率是一个超越数——无法以任何系数为有理数的多项式方程的解的形式表达的数，这也就证明了化圆为方的问题无解。
（没提祖冲之？ https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%93%E5%91%A8%E7%8E%87https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%93%E5%91%A8%E7%8E%87
一块产生于公元前1900年的古巴比伦石碑清楚地记载了圆周率=25/8=3.125。同一时期埃及的文物表明圆周率为3.16。
求π近似值的过程分为实验时期（阿基米德前，靠实物测量）、几何法时期——反复割圆（公元466年，祖冲之算到7位，领先1000年）、分析法时期（利用无穷级数或无穷连乘积）、计算机时代（通常利用高斯-勒让德算法或波温算法，另外也是用萨拉明-布伦算法）
尚未解决的问题：它是否是一个正规数，即π的十进制运算式是否包含所有的有限数列。0，...,9是否以完全随机的形态出现在π的十进制运算式中。究竟是否所有0，...,9都会无穷地在π的小数运算式中出现。π^sqrt(2)，ln（π），π+e等是否为无理数。)
五.从芝诺悖论谈起：无穷的概念（1+1/2+1/4+...=2）
芝诺成名于诡辩术，使用这种辩论方法时，你攻击你的对手的论点，而不是为你自己的论点辩护。
其有两个悖论：①从A点去B点，必须首先完成路程一半，而完成这一半必须完成一半的一半，即四分之一，如此无穷，完成A到B的路程必须完成数目无穷的运动，因而是不可能的。②阿喀巯斯与龟：希腊跑得最快的人追不上一只提前出发一米的龟，因为当你追了一定距离时，龟也向前爬了一段距离，你要追上这段距离，龟又向前爬更短的一段距离，如此反复，永远也追不上。
芝诺搞错的地方：①开始把问题数学化了，但数学方法并不完整：在此过程中流逝的时间没有包括进去。②没有极限的概念，没有取极限。
阿基米德更进一步，用几何级数的方法求出了抛物线所包含的面积。但他用的不是直接计算，而是用归谬法来证明自己的结论。在经过漫长的道路之后，阿基米德正走向对无穷过程的理解。他正在运用无穷大这一武器来发现新的真理，这是一次大跃进，让古希腊数学家走到掌握无穷大概念的边缘。
（我的理解，就是1+1/2+1/4+1/8+...的值，他以为是无穷大，其实是2嘛。）
六.杠杆作用的重要性：杠杆原理（d1w1=d2w2，在杠杆上，距离支点d1的重物(重量为w1）将与距离支点d2的重物(重量为w2）平衡。）
阿基米德的名声更多的源于其物理发现和机械发明，而不是他的数学，但他肯定认为自己是一位数学家。
阿基米德发现了浮力原理（阿基米德原理）：物体（无论漂浮或完全沉在水中）排开水的重量等于水对该物体的浮力。
阿基米德发现杠杆原理，不仅经常在实际装置中使用杠杆原理，也同样将之用于数学研究。
第二部分 探索时代的定理
七.口吃者的秘密：卡尔达诺公式
对于求解二次方程，巴比伦等数学文化都知道二次方程公式，或者求解二次方程的其它等效方法。但对三次方程则不然。直到16世纪，才有数学家发现了求解的方法，但是却被保密。最后被卡尔达诺公布。数学的繁荣来自公开的交流，仅仅发现了美洲新大陆还不够，发现者还必须让这一发现为世人所知。只有卡尔达诺采取了这最后一步，并因此取得了这一光荣。
卡尔诺当公式具有长期的影响：它是首次吸引人们在数学中使用虚数和复数的事物之一。
卡尔诺当公式向前发展的下一步是求解更高阶的方程，但这一步却迟迟未能踏下，直到19世纪证明对于五次方程，不存在任何卡尔诺当式的求解公式。
八.九重天上的秩序：开普勒行星运动定律。
开普勒是全心全意接受哥白尼学说的第一批科学家之一。开普勒基于对第谷.布拉赫的行星运动观测数据的分析，发现了三大定律。这些定律是叙述性的，但其精确度极高，实际上在呼唤一项数学证明。四分之三世纪后，牛顿给出了证明。（即从牛顿定律推导出开普勒定律，具体过程见维基百科“开普勒定律”词条）
第一定律：行星并非以圆形轨道环绕太阳运行，他们的轨道是椭圆形，其中太阳位于椭圆形的一个焦点。
第二定律：行星在靠近太阳时速度加快，相同时间内行星扫过的面积相等。
第三定律：行星公转周期的平方与它与太阳间的平均距离的立方成正比。
九.书写永恒：费马最后定理（x^n + y^n = z^n）
数论是研究有整数解的方程的理论，费马是对数论产生浓厚兴趣的第一位现代欧洲数学家。费马最后定理为：方程x^n + y^n = z^n，对于n>2都没有任何整数解。欧拉解决了n=3和n=4时的问题，到1857年，证明了n<=100的情况。对费马最后定理的证明开拓了数学的新领域，今天人们称这一领域为代数数论。
20世纪80年代证明了如果谷山-志村猜想证实为真，则费马最后定理成立。于是问题转化为证明谷山-志村猜想为真。
1993年，怀尔斯宣布他证明了费马最后定理。在费马和怀尔斯之间，350年光阴让数学家学到了深刻的一课：一项没有已发表证明的“定理”根本就算不上一项定理。
现在认为费马当时也许只是找到了n=3和n=4时的证明，但对普遍情况的证明需要用到当时还没有的工具，他并没有发现。
（维基百科：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%A4%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
在冲击费马最后定理的过程中，无论是不完全的还是最后完整的证明，都给数学界带来很大的影响，很多的数学结果，甚至数学分支在这个过程中诞生了，包括几何代数中的椭圆曲线和模形式，以及迦罗瓦理论和赫克代数等。这也令人怀疑当初费马是否真能找到了正确证明。
同名纪录片：http://www.tudou.com/programs/view/HolrFnZhhH8/）
十.一片未曾探索过的大陆：微积分基本定理
自从微积分问世，数学家和科学家讨论连续变化的数量时便有了科学依据。
欧洲数学家在整个17世纪都一直在摸索着走向微积分的发现。他们的尝试源于两个不同的方向，第一个方向是求积问题，即计算不规则区域的面积；第二个方向是对任意曲线画切线的问题。
牛顿和莱布尼茨引入两个新的数学概念：解决求切线问题的微分，和解决求积问题的积分。之前也有人进行微分和积分运算，但是从来没有人意识到微分与积分互为逆运算。今天称这一逆运算关系为微积分基本定理。它最终让数学彻底掌握了连续变化的概念。整个现代科学都是关于变化的科学，数学家在微积分中找到了他们投身现代科学的工具。
由于牛顿不愿公开其发现，导致牛顿与莱布尼茨产生了发明微积分的优先权之争。发表而不是秘藏成果，这才是最能让数学进步的必由之路。现在的共识是，两人各自独立发明了微积分，牛顿时间较早，莱布尼茨最先发表，且形式较简单。
十一.关于苹果、传说......以及彗星：牛顿定律（F=ma， F=GMm/r²）
关于苹果的事情只是传说而已。牛顿面临的问题是月球、太阳和行星是否需要某种外部力量让它们运动？亚里士多德认为，构成天体的物质与地球不同，而且他们的自然运动轨迹是圆形的。开普勒认为需要一种推动力才能让行星保持在轨道上。笛卡尔认为宇宙是由旋流组成的；是这些旋流扫过了在轨道上运行的行星。在牛顿的体系中，苹果与行星受到了同样的力作用。行星也始终在自由下落，它们并不需要推动力。开普勒第一定律或许就是牛顿写作《原理》的主要原因。
牛顿第一定律说运动物体将永远保持匀速直线运动，除非有外力将其停止或改变其运动方向。
牛顿第二定律，作用在物体上的力等于其动量的变化率。F=d(mv)/dt.
牛顿第三定律：对于任何一个作用力，都存在着一个与它大小相等方向相反的反作用力。
这三大定律共同解释了所有的力是如何影响一切固体的运动的。
牛顿引力定律：F=-（GMm）/r²
牛顿真正独树一帜的成就是他运用微积分，把引力定律和他的运动定律结合，从而建立并随之解决了描述行星轨道的方程和能力。
十二.伟大的探索者：欧拉定理（e^ix = cos(x) + isin(x))
e^iπ+1=0无疑是数学上最为矛盾的命题之一：这一等式让数学上5个最重要的常数齐聚一堂：0,1,e，π和i。一项能让人更好地理解数学的公式比那些只会令人困惑莫名的公式要优美得多。
V-E+F=2，这一公式给出了任何多面体的顶点数(V)、棱数（E）和表面数（F）之间的关系。后来发现也有例外，这一公式是拓扑学的开始，V-E+F现在称为欧拉示性数，它是一个“拓扑不变量”，用以区分不同的二维表面。
质数的无穷范围：ζ(x) = 1/[(1-1/2^x)(1-1/3^x)(1-1/4^x)...]其中分母部分中的乘积囊括了所有质数2,3,5,7，...对于数论学家来说，欧拉乘积或许是人们有史以来发现的最重要的公式。今天我们知道的有关质数分布的大部分知识来自对ζ函数的细心研究。
贝塞尔问题。1+1/4+1/9+1/16+...=π²/6。
有两种数学，一种是纯粹为了它自身的优美而产生的数学，另一种是为解决实际问题而产生的数学。
欧拉对数学最重要的贡献之一完全不是一项等式，他发表了大量著作，他不介意退居二线而把荣誉让给他人，他发表论文的数量和质量经常超出人们的预期。他对数学得以发展到今天的状况作出了贡献：今天的数学是一项职业，有关数学的信息不存在专利，而是公之于众，供大家分享。
（如何理解欧拉公式： http://www.swarma.org/files/jake2012711150510.pdfhttp://www.swarma.org/files/jake2012711150510.pdf
http://v.youku.com/v_show/id_XNDM1MTEyMDU2.html?from=y1.2-1-87.3.6-2.1-1-1-5-0
e,π,i,1,0：数学中五个重要的数字。
数学分支：算术，代数，几何，解析几何，三角几何，微积分，复变函数。
数学概念：三角函数，对数与指数，幂级数，导数，虚数，复平面。
http://ryancheunggit.gitbooks.io/calculus-with-python/content/03EulerFormula.html
用Python验证。
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%8E%E6%9B%BC%CE%B6%E5%87%BD%E6%95%B8
ζ函数条目。)
第三部分 普罗米修斯时代的定理
十三.新的代数：汉密尔顿与四元数（i²=j²=k²=ijk=-1）
复数代表平面上的操作，但在三维客观世界内便乏善可陈。汉密尔顿确信，必然存在某种三维代数，它会如同复数的二维代数一样威力强大。最后他意识到，向三数组内引入第四个数会让除法与乘法同时成为可能。
i²=j²=k²=ijk=-1
ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j
然后人们就可以在任意两个四元数（a+bi+cj+dk)和(w+xi+yj+zk)之间遵照代数的正常规则进行加减乘除四则运算了。
1/(a+bi+cj+dk) = (a-bi-cj-dk)/(a²+b²+c²+d²）
哈密尔顿认为四元数的第四维可以代表时间，为此他成为了将时间与空间合并，使之成为单一“时空”的第一位科学家。但物理学还未成熟到需要这一概念的地步。
另外矢量分析的发展也对四元数的应用提出了挑战。四元数代表的是空间的转动与放大，因此它们并非矢量，矢量是转动在其上操作的平台。四元数是转动本身。这一点哈密尔顿也没有真正理解。
四元数确实是代表任何在三维空间中自旋的事物的最好方式。这中间包括质子、中子和电子等微观粒子，他在人们需要它之前差不多一个世纪就发现了这种数学。
四元数的一个直接效果就是解放了数学家的思想，让他们敢于思索其他种类的代数。其他数学家陆续找出其他代数结构，如环、群等进行研究。人们有着这么多可供选择的代数结构，现在的问题不再是那些结构是可能的，而是哪些结构值得研究。一个新结构会有助于解决已经存在的问题吗？它会有深刻的、富有挑战性的、有其固有美感的理论吗？
（https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B8
四元数代表四维空间，相对复数代表二维空间。对于i，j，k本身的几何意义可以理解为一种旋转，其中i旋转代表X轴与Y轴相交平面中X轴正向向Y轴正向旋转，j旋转代表Z轴与X轴相交平面中Z轴正向向X轴正向旋转，k旋转代表Y轴与Z轴相交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转，-i，-j，-k分别代表i,j,k旋转的反向旋转。)
十四.两颗流星：群论
群论的两位创始人阿贝尔和迦罗瓦均早逝。
群论产生的原因是高次多项式方程的求解。要想求证某项任务不可能确实很困难，为完成这一任务你得到一些工具：你必须发现这些工具本身带有与生俱来的缺陷，这才能证明你的任务是不可能完成的。阿贝尔和迦罗瓦并没有证明五次多项式方程无解，他们证明的是假定这些解存在，加减乘除与任意次开方这五种运算操作不足以表达这些解。
他们发现五次多项式方程的五个根有120种不同的排列方式，因此一个标准的五次多项式有120种对称方式。如果一个多项式方程有根式解，它就会形成一个对应于那些多项式方程的根的中间多项式谱系和一个“数域”谱系。迦罗瓦的论据：由120个根的排列方式组成的整个群不允许出现方程要求的塔形子群。根据证明，最高的高度是20，即一个有根式解的五次多项式方程可允许的最高排列数是20。
迦罗瓦提出的群的概念现在已经变成数学家用以表达对称这一古老想法的主要工具。他所发明的工具——群论，实现并超越了发明者的梦想。在物理化学中都有应用。
（如何直观的理解群：http://www.zhihu.com/question/23091609
如何给高中生解释群论：http://www.zhihu.com/question/27807675 )
十五.鲸鱼几何与蚂蚁几何：非欧几何
欧式几何被奉为演绎推理的登峰造极之作，但是其平行公理有问题。数千年来试图证明这一公理的尝试均失败，到19世纪，人们开始探讨平行假设不存在的情况下的几何学。高斯首先发现非欧几何，但并未公开。亚诺什.波尔约是第二个，但是受到高斯的打击，没有其它成果。罗巴切夫斯基是第三位。
在双曲面几何中，三角形内角和小于180度，最初平行的直线之间的距离会越来越大。
在球面几何中，三角形内角和大于180度，最初平行的直线会越来越接近。
世界上并非只有一个“自然”的几何，而是存在着形形色色的几何，它们有着不同的曲率。
如果没有罗巴切夫斯基、波尔约、高斯和黎曼，爱因斯坦将永远也无法写下他的理论中的方程。
十六.我们信赖质数：质数定理
高斯解决了正十七边形尺规作图的问题。并推广为一个普遍定理：如果n的所有奇质因子都比2的某次幂多1，且这些奇质因子只在n中出现一次，则正n边形可以用尺规做出。这一实例让我们大致了解了质数在数论中所扮演的核心角色。
如何理解质数的分布方式？高斯猜想质数出现的概率是1/ln(n)。黎曼发现了小于n的质数数目的准确公式，利用了ζ函数。问题是，要计算这一数目，需要知道平面上黎曼ζ函数数值为零的无数多点的位置。后来证明所有零点都位于直线x=0和直线x=1之间的无限长条上。据此证明了质数定理。
对黎曼函数零点位置越准确的知道，对质数的理解就越深刻。黎曼猜想：所有零点恰在上述通道的中央部分。如果猜想被证实，人们能够极为完美地掌握质数的分布。
迄今人们已经发现了十万亿个ζ函数的零点，而且他们全都如黎曼猜测的那样，位于“关键性长条”的中央。但猜想仍未被证明。
（素数定理： https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%B3%AA%E6%95%B8%E5%AE%9A%E7%90%86https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%B3%AA%E6%95%B8%E5%AE%9A%E7%90%86https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%B3%AA%E6%95%B8%E5%AE%9A%E7%90%86
1798年法国数学家勒让德提出，1896年法国数学家雅克.阿达骂和比利时数学家德拉瓦莱普森先后独立给出了证明，证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。
（黎曼函数：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%8E%E6%9B%BC%CE%B6%E5%87%BD%E6%95%B8
1896年，雅克.阿达马和普森几乎同时证明了ζ（s）的所有非平凡零点的实部均小于1，即Re s=1上无非平凡零点，从而完成了素数定理的证明。
黎曼猜想漫谈：http://www.changhai.org/articles/science/mathematics/riemann_hypothesis/index.php
数学思维方式与创新——黎曼猜想（视频）：http://v.ku6.com/show/pQ1PcDHNXD9UmZmYRbVSdA...html ）
十七.关于谱系的想法：傅里叶级数
傅里叶从1802年开始进行固体热扩散方面的实验。同时，他发展了一种解释这些物体状况的数学理论，该理论由两部分组成。他首先建立的是热传导方程，然后用后人称为傅里叶级数的方法求解这一方程。
应用于解决实际问题时，数学是一个二步过程。人们首先要做出问题的模型，即把你的假定或你的经验观察数据翻译成数学语言。建立模型后的下一步就是求解这个模型的方程。
傅里叶三角技术可以用来近似表达任意函数，这在当时并不容易被接受。傅里叶级数可以表达带有跳跃与隅角这些无法用简单的算术公式表达的函数。这标志着，函数从此开始有了更广阔的理念，即我们今天使用的输入-输出模式。函数不过是一种规则，它赋予任何输入值独一无二的输出值。输入值与输出值甚至不需要真的是数字，而那种规则自然也不一定需要能够表达为公式。什么样的函数确实服从傅里叶的逆公式？主要由于这一问题的刺激，促进了19世纪与20世纪的函数理论或“泛函分析”的形成。今天傅里叶级数和傅里叶变换的应用远远超出热传导方程。
（《如果看了此文你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧》 http://blog.jobbole.com/70549/
以时间作为参照来观察动态世界的方法为时域分析。用另一种方法来观察世界的话，世界是永恒不变的，这个世界叫频域。例子：MP3文件里记录的音乐是时域的信息，而演奏音乐所根据的乐谱则是频域信息。
从时域图形的侧面看，就是频域图形。很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。如从某条曲线中去除一些特定的频率成分（滤波）。
从时域侧面看时得到的频谱，并没有包含时域全部的信息，因为其值表现了振幅而没有提到相位。不同的相位决定了波的位置，所以还需要相位谱。相位谱是从下面看。
傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。
而傅里叶变换，则是将一个时域非周期连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。
《戏说傅里叶变换》里面有python里傅里叶变换的用法。http://blog.csdn.net/akonlookie/article/details/8482459 ）
十八.上帝之眼中看到的光：麦克斯韦方程
19世纪牛顿力学获得巨大成功，但物理学中仍然存在着对广大科学家来说完全神秘的三个课题：电现象、磁现象和光的本质。关于这三个现象，科学家积累了很多观察及实验结果。将所有这些令人困惑的线索编织成一项优雅理论的人非苏格兰物理学家麦克斯韦莫属。他严肃看待法拉第对于磁铁形成的“磁力线”的描述。法拉第和麦克斯韦质疑“远程作用”的想法，他们认为在两个电荷或两个磁铁之间的力是它们之间的场造成的。在麦克斯韦的世界中，空旷的空间中到处都是电势和磁势。
麦克斯韦计算出电磁波的速度，与光速极为接近，于是得出结论，光是由引起了电现象与磁现象的同一介质的横波纹组成的。
最后麦克斯韦总结了其他人发现的关于电磁现象的4个偏微分方程，改变了整个世界。
(维基百科：https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E9%BA%A6%E5%85%8B%E6%96%AF%E9%9F%A6%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84
1865年麦克斯韦提出的最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成，他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。现在所使用的数学形式是1884年以矢量分析的形式重新表达的。
概述：①高斯定律：描述电场是怎样由电荷生成。电场线开始于正电荷，终止于负电荷。计算穿过某给定闭曲面的电场线数量，即其电通量，可以得知包含在这闭曲面内的总电荷。定律描述穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷之间的关系。②高斯磁定律：表明不存在磁单极子。③法拉第感应定律：描述含时磁场怎样生成电场。④安培定律：磁场可以用两种方法生成：一种是靠电流，另一种是靠含时电场。
麦克斯韦方程组通常应用于各种场的“宏观平均”，当尺度缩小至围观，以至于接近单独原子大小的时候，这些场的局部波动差异将变得无法忽略，量子现象也会开始出现。
麦克斯韦方程组（彩图完美解释版）： http://blog.sina.com.cn/s/blog_a1b89b82010120sz.html
麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流假说的核心思想是：
变化的磁场可以激发涡旋电场，
变化的电场可以激发涡旋磁场；
电场和磁场不是彼此孤立的，
它们相互联系、相互激发组成一个统一的电磁场
（也是电磁波的形成原理）。
（1）描述了电场的性质。
电荷是如何产生电场的高斯定理。
电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比。
电场 E （矢量）通过任一闭曲面的通量，即对该曲面的积分等于4π乘以该曲面所包围的总电荷量。
静电场（见电场）的基本方程之一，它给出了电场强度在任意封闭曲面上的面积分和包围在封闭曲面内的总电量之间的关系。
根据库仑定律可以证明电场强度对任意封闭曲面的通量正比于该封闭曲面内电荷的代数和
通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的所有电荷量的代数和与电常数之比。
电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。
在真空的情况下,Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。
当存在介质时,Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。
在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正（或负）电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；
高斯定理反映了静电场是有源场这一特性。
凡是有正电荷的地方，必有电力线发出；凡是有负电荷的地方，必有电力线会聚。
正电荷是电力线的源头，负电荷是电力线的尾闾。
高斯定理是从库仑定律直接导出的，它完全依赖于电荷间作用力的二次方反比律。
把高斯定理应用于处在静电平衡条件下的金属导体，就得到导体内部无净电荷的结论，因而测定导体内部是否有净电荷是检验库仑定律的重要方法。
对于某些对称分布的电场,如均匀带电球的电场,无限大均匀带电面的电场以及无限长均匀带电圆柱的电场，可直接用高斯定理计算它们的电场强度。
电位移对任一面积的能量为电通量，因而电位移亦称电通密度。
（2）描述了变化的磁场激发电场的规律。
磁场是如何产生电场的法拉第电磁感应定律。
在没有自由电荷的空间，由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线。
在一般情况下，电场可以是库仑电场也可以是变化磁场激发的感应电场，而感应电场是涡旋场，它的电位移线是闭合的，对封闭曲面的通量无贡献。
麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变化的磁场可以在空间激发电场，并通过法拉第电磁感应定律得出了二者的关系，上式表明，任何随时间而变化的磁场，都是和涡旋电场联系在一起的。
（3）描述了磁场的性质。
论述了磁单极子的不存在的高斯磁定律
在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，N极和S极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零。
由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。
这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。
（4）描述了变化的电场激发磁场的规律。
电流和变化的电场是怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律。
变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线。因此，磁场的高斯定理仍适用。
在稳恒磁场中，磁感强度H沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和。
磁场可以由传导电流激发，也可以由变化电场的位移电流所激发，它们的磁场都是涡旋场，磁感应线都是闭合线，对封闭曲面的通量无贡献。
麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变化的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了一般形式下的安培环路定理在真空或介质中的表示形式，上式表明，任何随时间而变化的电场，都是和磁场联系在一起的。)
第四部分 我们这个时代的定理
十九.光电效应：量子与相对论（E=mc²）
1905年，26岁的爱因斯坦提出光子解释光电效应，光的量子化意味着，对光能的吸收是一个“或者全部或者全不”的过程。对于爱因斯坦那个时代的物理学家来说，光量子假说不但完全与常识背道而驰，而且也与一个世纪以来的理论完全对立。实际上，爱伊斯坦的光子学说打响了量子革命的第一枪。量子力学以一种完全矛盾的形式解释了“粒子与波动之争”的百年疑案：光既是一种粒子，也是一种波。它看上去“像什么”取决于你如何审视它。在亚原子世界中，数学才是我们唯一的可靠指南。
爱因斯坦的第二项伟大发现是狭义相对论，其来源于牛顿的时空观和麦克斯韦的电磁理论之间的矛盾（光速是否会随运动改变？），最后实验证实光速如麦克斯韦的理论显示的那样不变。按照狭义相对论，光速不变的原因是：长度与时间都是相对的，它们取决于你的参照系。
对于匀速运动的参照系即惯性参照系中观察，物理定律都不变，但是在以非匀速运动的加速参照系中的情况，需要用广义相对论来解释。他的关键性见解是，加速度与引力之间是不可分辨的。正是广义相对论使得爱因斯坦预言了光线在引力场内的弯曲。最终爱因斯坦得到了他最著名的公式：E=mc²。
二十.从劣质雪茄到威斯敏斯特大教堂：狄拉克公式
由爱因斯坦发动的量子革命方兴未艾，但爱因斯坦却基本上没有参与这场革命。对于量子化的粒子来说，对角动量的任何观测都是一种“或者全部或者全不”的事件。通过发射银原子束的实验证实了量子理论的假说。
狄拉克改写了爱因斯坦的质能方程，其形式与80年前汉密尔顿的四元数完全类似。这个公司由两个原因让物理学家感到困惑不解：其一是它有四个成分而不是两个，其中两个成分被认为是电子的自旋向上和自旋向下。其次这一波函数的行为不像矢量。当把空间旋转360度时这一波函数只旋转了180度。狄拉克将方程的另两个成分解释为具有负能量的粒子，他们应该是形如电子的粒子，但是带有正电荷。随后实验中发现了正电子。狄拉克公式导致一个现在也尚未解决的问题：为什么宇宙中的物质多于反物质？为什么宇宙不是空荡荡的？
狄拉克方程也揭示了，我们的宇宙中有两种根本不同的量子粒子，一种是自旋为整数的玻色子，具有矢量波函数，喜欢凑在一起，如光子。一种是自旋为分数的费米子，具有四元数（或者旋量）式的波函数，所有普通物质（如电子、质子、中子）都是费米子，费米子喜欢独来独往。这一模式解释了元素周期表，也使人们更好认识了真空。
（狄拉克方程：https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%8B%84%E6%8B%89%E5%85%8B%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
狄拉克方程是相对论量子力学的一项描述自旋-1/2粒子的波函数方程，不带矛盾地同时遵守了狭义相对论和量子力学两者的原理，实为薛定谔方程的洛伦茨协变式。）
二十.王国缔造者：陈省身-高斯-博内公式
从爱因斯坦开始，物理学家时常惊讶的发现，数学原来早已准备好了他们所需要的工具。反之，数学家也不断意识到，是物理学上的问题和定理带来了有趣、最深刻的数学发展。
与这一趋势有联系的另一个20世纪的趋势是几何学的崛起。黎曼几何（微分几何）变成了数学的一个核心领域。
第三个趋势是它的全球化不断增加，特别在二战后。
为了描述弯曲空间（“流形”），需要在其上建立一套坐标系。微分几何中最重要也最有意思的数值正是那些独立于坐标选择的指标。陈-高斯-博内定理是说，我们可以通过测量流形上每一点的曲率来得到我们的宇宙的一些总体情况。这一定理是古代几何学（三角形内角和是多少度？）和现代几何学（我们如何描述弯曲表面的总体性质）的分水岭。
表面的经典高斯-博内定理的异乎寻常之处：一、它意味着并非只有在表面之外才能检测表面；二、表面的总曲率是量子化的，它永远是2π的整数倍。
陈省身在美国于1946年发表论文，创造了纤维从的概念，来证明高斯-博内定理。它就像一座城堡，而流形M是它的建筑平面图。在流形上发生的一切只不过是在它上面的纤维从上所发生的事情的暗淡反射。曲率积分Ω在纤维从中，位于许多叫做“微分式”的类似积分所组成的宝塔的底部。当曲率积分是在“楼上”的纤维从中进行，而不是在楼下的流形中进行时，陈-高斯-博内定理几乎变成了一目了然的事情。
陈省身的工作完成了一个循环，爱因斯坦和狄拉克证明，你在研究物理学是不能没有几何学，陈反过来证明，你在研究几何学是无法不考虑物理学。为理解空间的形状，你需要知道这些空间中能够建立何种类型的纤维从，或更本质的说：能够建立何种类型的量子场。
数学并不仅仅与我们生活于其中的这个宇宙有关，这是物理与数学的一个主要差别。物理学应该是有关我们这个宇宙的，物理学的理论最终必须在某种程度上立足于实验。而数学是有关一切可能有的宇宙的，即我们生活于其中的这一宇宙，以及那些我们并不生活于其中的宇宙。
陈于文革后回到中国。
（陈省身数学研究所的纪念网页： http://www.nim.nankai.edu.cn/sschern/sschern.htm
1961年入美国籍。
纤维丛理论，没看懂。 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%A4%E7%BB%B4%E4%B8%9B ）
二十二.有一点儿无限：连续统假说
对于不同种类的无限的探索导致了20世纪的一些最深刻的、最矛盾的发现。
在接近19世纪末的时候，数学家们开始形成了一个共识，认为集合，而非数字，才是建筑数学大厦的基本材料。
康托尔提出，如果两个集合A与B之间能够找到一一对应关系，能使A中的每一个元素与B中的某一个元素之间具有独一无二的联系，而且反之亦然，则这两个集合即具有同样的基数性。集合大小的测度称为基数。一个只有一个元素的集合的基数性是1，一个有两个元素的集合的基数性是2，以此类推。最小的无限整数集，记为χ0。 χ0+1=χ0，χ0+χ0=χ0，χ0.χ0=χ0。康托尔证明，所有实数的集合有更大的基数性。可以把数轴想象成是由一个可数集合的砖头（即有理数）组成的，并由无理数、超越数及大部分是完全随机出现的数字作为类似“胶水”似的东西来填充这些砖头之间的缝隙。康托尔论证说明，数轴的绝大部分是胶水而不是砖头。连续统的基数性，记为c。
如果S是一个集合，由S的所有子集组成的集合称为S的幂集。S的基数性是n的话，S的幂集的基数性是2**n。即S的幂集的基数性永远高于S本身，因此不存在最大的无限基数。
χ0之后的下一个基数是什么？会不会有一个“略大于”整数集但又“略小于”实数集的集合？康托尔相信答案是否定的。其连续统假设为： 2**χ0 = χ1。哥德尔证明，连续统假设无法通过策-弗集合论的公理出发证明或证伪。这并不意味着不存在其它公理体系，在其中可以证明或证伪连续统假设。哥德尔的不完备定理相当于量子物理的测不准原理，二者都为人类理解的可能极限划定了疆界。20世纪的人类开始进入了对自己的局限性有所认识的时代。
（连续统假设：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E7%BB%9F%E5%81%87%E8%AE%BE
不存在一个基数绝对大于可列集而绝对小于实数集的集合。
历史上，喜欢一个“丰富”而且“大”的全集的数学家倾向反对连续统假设；而喜欢一个“整齐”而且“可控制”的全集的数学家则倾向支持连续统假设。）
二十三.混沌理论：洛伦兹方程
第一个理解了混沌的数学含义的人并非数学家。
洛伦兹方程描述高度理想化了的大气状况。都是偏微分方程。
真实世界是非线性的，反馈回路把微小的原因放大为巨大的后果。方程的参数强烈地影响着方程的解的形态。非线性并不是一定会出现混沌的保证，它只是创造了这种可能。
数学家最初无视混沌理论的发现，倒是其他学科的科学家不断在其领域内发现了混沌现象。
庞加莱是最早研究过混沌现象的数学家，但数学家们还没做好寻找混沌的准备，也许是因为那时没有计算机。曼德勃罗出于完全不同的理由，让全世界睁开眼睛，看到“分形”在自然界中无所不在。
1975年李天岩和詹姆斯 .约克命名了混沌现象，80年代到90年代混沌跳出科学领域，进入了大众文化。现在研究热潮已经消退，但并未结束。这一概念依然富有生命力，并且将永远如此。
（混沌理论：https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%B7%B7%E6%B2%8C%E7%90%86%E8%AE%BA
是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔（bifurcation）、周期运动与非周期运动相互纠缠，以至于通向某种非周期有序运动的理论。
混沌系统有三种性质：①受初始状态影响的敏感性，初始条件非常微小的变动也可以导致最终状态的巨大差别。②具有拓扑混合性：不严格的说，就是系统会将初始控件的拓扑性质彻底打乱，使得任何初始状态变换到其他任何位置。③周期轨道稠密，即在任何初始值附近都可以找到具有周期轨道的值。
二十四.布莱克-斯科尔斯方程
这个方程让一种名为衍生物的金融产品取得了爆炸式的市场增长。从本质上说，衍生物就是在对某些其他资产例如股票与债券的价格变化方向赌博。他们证明，确实存在着一个公平的市场价格V（S,t）。股价的改变可由两部分组成：上下移动以及随机摇摆。只有摇摆的幅度即波动，才对认股权有重要意义。而这一波动是正态分布的。
与过去把对冲战略视为战胜市场的一种手段的投资者不同，他们认为市场是不可战胜的。进行动态对冲所得到的投资回报率，等于市场的无风险投资回报率（存银行，买国债）。
这一理论推动了期权市场的发展和投机，并间接导致了几次金融风暴。
（布莱克-舒尔斯模型:https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%83%E8%8E%B1%E5%85%8B-%E8%88%92%E5%B0%94%E5%85%B9%E6%A8%A1%E5%9E%8B
布莱克-舒尔斯模型（英语：Black-Scholes Model），简称BS模型，又称布莱克-舒尔斯-墨顿模型（Black–Scholes–Merton model），是一种为期权或权证等金融衍生工具定价的数学模型，由美国经济学家迈伦·舒尔斯（Myron Scholes）与费雪·布莱克（Fischer Black）首先提出，并由罗伯特·墨顿（Robert C. Merton）完善。由此模型可以推导出布莱克-舒尔斯公式，并由此公式估算出欧式期权的理论价格。此公式问世后带来了期权市场的繁荣。该公式被广泛使用，虽然在很多情况下被使用者进行一定的改动和修正。很多经验测试表明这个公式足够贴近市场价格，然而也有会出现差异的时候，如著名的“波动率的微笑”。
B-S模型5个重要假设：①金融资产价格服从对数正态分布，而金融资产收益率服从正态分布；②在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益率变量是恒定的；③市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；④金融资产在期权有效期内无红利及其它所得（该假设后被放弃）；⑤该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。）
结论：数学的进一步发展：首先，在世界范围内，数学与科学的事业看上去依旧非常健康；其次，互联网的发展，使人们能比任何时候能更充分的分享科学理念。另外，数学的行为方式也正在发生变化，计算机为人类带来了了解事物的新途径。最重要的模式可能再也无法以方程的形式表达了。在运用上，数学的应用已经不止于物理了，生物或社会学科上数学的应用也令人兴奋。面对新的应用领域，需要新的数学模型，一定会有新的方程出现的。
9.作者对问题的解答：数学并不仅仅与我们生活于其中的这个宇宙有关，这是物理与数学的一个主要差别。物理学应该是有关我们这个宇宙的，物理学的理论最终必须在某种程度上立足于实验。而数学是有关一切可能有的宇宙的，即我们生活于其中的这一宇宙，以及那些我们并不生活于其中的宇宙。
10.我对作者解答的评论：
①数学为什么能称为描述宇宙的语言，对其他学科（尤其物理）产生那么大的影响？首先数学的最初的研究对象：计数，几何图形等，都是起源于人的实践，存在的问题是，为何逻辑推理产生的结果，能够与现实世界相符合？是因为宇宙的演变也是按照逻辑推理的规律来运行的？那这是巧合，还是必然如此？我相信是必然如此，因为这种巧合的概率太低了。这大概就是科学家心目中的“上帝”吧。由于数学推理能够比较纯粹的进行，从而能够比较深入，所以数学往往能够先于物理学很多年，为其提供所需要的工具。反过来，物理等学科也为数学的进一步发展提出了很多问题。
②对本书的评价：很不错，有很多知识我以前也知道一些，但是了解的不深入，这次都感觉了解的深入多了，比如黎曼猜想，比如连续统假设等。但是也许是篇幅的限制，一些我觉得该入围的公式没有入围，比如正态分布的公式，只是在最后一章提了一下。另外介绍还是简略了一些，没有涉及到一些细节（可以放附录里面，原书的附录里几乎全是人物的介绍），尤其后面涉及到微积分，还有涉及到物理的东西。看完一章要去维基百科等地方找很多补充资料来看，那些地方的资料对业余人士又太专业了一些。
