对代数学的具有洞察力的提炼

　　高等代数学，或依其主要讲授内容称之为线性代数一直是教学方法难以得到统一的数学领域。就我之前翻阅过的《线性代数（同济）》将行列式作为基本工具首先介绍。引入逆序数概念，容易一开始就学得一头雾水。《代数与几何》作为我们使用的优秀教材，基本思路是通过描述线性映射引入矩阵概念介绍行列式之后对矩阵的性质如特征值，特征多项式进行研究。
　　学着学着总感觉《代数与几何》讲得很繁琐，我想找本参考书，知乎大神zero推荐了UTM中的《Linear Algebra done right》，稚嫩的我就半信半疑地亚马逊上买了这本书的影印版，当时下方评论说这本书略装逼。
　　刚开始读觉得语言挺简单的，稍微有几个数学词汇需要查一下。没有介绍数域的概念，而是把F直接当做R或C。这点挺好的，本来群环域就是抽代研究的内容。之后就挺普通的，向量空间8条，子空间，直和。练习题中规中矩，有一部分计算题，主要还是抽象的空间，难度不算很大。<图片2>

　　第二章是基和维数，这里比较基础，就不细讲了。
　　第三章引入了线性映射，开始变得有趣起来了。range，null，在其他书上记作Image,kernel，维数公式还是比较有趣的。接下来就是这本书的第一个亮点了，线性映射可以被表示为一个矩阵，通过定义矩阵的运算，线性映射的运算也可以得到描述。这里表现出的乘法是那么自然的结果，即刻就下了决心这本书一定要好好看完。第三章的习题开始有一些难度了，有构造性的难题开始出现，核心还是掌握维数公式。
　　第四章补充了一些多项式的内容，比如Ｃ上的代数基本定理，Ｒ上任意多项式一定能被分解成次数不大于２的多项式乘积。正是这个２，本质性地导致了实空间的对角矩阵也是有两个一块的矩阵，也导致了特征值被拓展成特征数对。咳咳，就是这个２让所有实空间上的所有证明都复杂很多，可以说埋下了祸根。
　　第五章离经叛道地把特征值放到这么前面来讲了，我认为是很高明的，这才是Done right嘛，特征值的概念本质是很基础的，就是Ｔｖ＝ｃ＊ｖ对于ｖ向量就是一个伸缩变换。这一章作者开始展现极强的归纳法，前面对于直和的学习得到了回报。一般来说证明是这样的：根据归纳假设一个命题对n-1成立，那就把n维空间分解成两个子空间的直和，当然这里分解的技巧有些是很高超的，十分优雅，学完这一章，当时还有很多的疑问，比如上对角矩阵的对角线元素是特征值，那么，是不是都不相同线性映射就可逆（错），知道特征值有无方法立刻找到特征向量（没有）。一冲动就发邮件问了卢涤明教授，被他教育：年轻人还要学习一个，不要成天想搞个大新闻。顺便提一下从这章开始，习题的噩梦就一直伴随着我。
　　第六章《内积空间》，这一章真的是站在很高的事业来介绍内积。不是说内积是什么，而是满足四条特性的运算就能被成为内积。这四条性质当然是从原有的点乘提炼出来的，又高于原先的定义。当我一直把内积当点乘理解的时候，本书举了个例子http://img4.doubanio.com/view/thing_review/small/public/p42229.jpg
完全打破了我对固有认知的依赖，内容也很精彩，勾股定理，Cauchy-Schwarz不等式，三角不等式，正交基，向量之间的投影。到这里不过是过去知识的抽象版本。但是当作者讲到Linear functional的时候，最黑暗的时刻来临了。一个完全理解不了直观定义，建立于抽象的内积空间上更加抽象的伴随算子，记作*，有段时间看到伴随算子就怕。但是这一章稍稍介绍了一点这个算子就结束了这一章。
　　本书巅峰，第七章：内积空间上的算子。马不停蹄地运用这个伴随算子介绍了normal,self-adjoint, isometry,positive的概念，前两者的性质很多，在实数域和复数域上还很不同，后两者建立在前面的基础上，可以对任何现行映射进行分解。本人觉得本章最重要的就是谱论（Spectral theorem）和极分解（polar decomposition），其他一些定理很多，让我第一次知道记忆力也是数学天赋的一种。这一章我读了3遍，抄了一遍然后花了一天来做习题，还是对着答案才磕磕绊绊做完的……<图片3>

　　后面就顺风顺水了，介绍了推广的特征向量。可以说部分解决了我之前的问题，对特征值和特征多项式的理解提升了。那两天恰逢人生的波折点，我竟然能心平气和地看完两章我真是佩服自己……
　　第十章就自然地通过特征多项式引入了迹和行列式。其中迹比较简单，是特征值乘以multiplicity（不知道怎么翻），同时恒等于对角线元素之和。行列式就比较复杂啦，定义为特征值的乘积*（-1）^dimV。本书充分贯彻done right的原则，为保证学生充分理解，讲了很多的特例让读者对排列先熟悉起来，就可以不突兀地引入逆序数了，不得不吐槽中外教材的思路差距，线性映射的行列式啦，矩阵的行列式，都很好地统一起来了。本书最后一节讲了一点积分时变换变量时行列式的应用。然而菲赫金戈尔兹笑而不语，心想：我那本《微积分学教程》第一卷就讲函数行列式了.

　　读完的感受么，就是很爽，然并卵，这本书某些方面太薄弱了。比如对矩阵的研究太浅了，矩阵的秩我还是其他书才知道的。据说万能的解一元方程方法克莱姆法则是我高中最初学线性代数的动机，当时读了本烂书《欧姆社　线性代数》都讲了克莱姆法则。而学这本书可以说是南辕北辙了吧。还有其他什么矩阵相抵，相似，二次型，对偶空间上课听卢涤明吹逼竟然毫无还手之力……不过总之向想要对数学概念有更高理解的同学强烈推荐哦。
　　假期里想补一补更难的书，基本决定是张贤科的《高等代数学》了。据说这本超难，估计又要体会几十个知识点黑压压得压过来的沉重感了吧。
　　其实我内心一直有声音提醒我：快滚去做最后一章习题！