内容概要
《混沌》读书笔记
（一）．分形
一．概念与性质
1.在不同的尺度上不规则的程度保持恒定；有规则的不规则性
2.在越来越小的尺度上重复结构
3.分形的意义是自相似。自相似是跨越不同尺度的对称性。
4..自相似性的威力要在更高层次的复杂性中才能显示出来。这是一个观察整体的问题
二．研究历程
1.曼德勃罗 【提出分数维数的概念，创造出分形一词】
（1）棉花价格：从正太分布角度产生偏差的数字，从尺度变换的角度却给出了对称。
价格的日变化和月变化曲线完全一致
（2）电子传输：在无误差的期间后又出现误差期间
在任何一群误差中，不论时间如何短，总会存在几段完全无误差的传输。无论是在小时或在秒的尺度上，无误差期间与有误差期间之比总是常数
康托尔集
（3）海岸线 直线距离加起来的方法确实应当收敛。
但曼德勃罗发现，当把所用的测量尺度变小时，所得的海岸线长度无限上升。
（4）分数维数 科克曲线以它的无限长度挤在有限的面积之中，确实是占有空间的。它比线要多，比平面要少。它比一维大，但仍不及二维图。它的维数1.2618
2.卡丹诺夫 研究相变问题 【相变中的分形】
（1）相变研究物质从一种状态到另一种状态的转变点附近的行为。作为两种存在区域之间
的奇异边界，相变问题的数学是高度非线性的。
（2）金属磁化：最好的设想金属的方法就是把它变成类似分形的模型，由各种尺度的小块
组成。体现了尺度变换思想的威力。
3.生物学中的分形
分形—云彩和地震一样可以有尺度变换的现象。在不同的尺度下观察时，它们所特有的不规则性。
从主动脉到微血管，它们分支再分支，直到细得使血球细胞被迫排成单行滑动。它们分支的性质是一种分形。就像科克曲线把无限长的线挤小面积一样，循环系统必须把巨大的表面积挤进有限的体积。
消化道里，组织表现出波纹夹着波纹。
人肺表面展开之后比网球长还大。
分形组织控制着贯穿全身的结构：支气管、泌尿系统、心脏、心跳节律、角蛋白等。
三．应用
1. 分形几何学提供了一种观察材料的方法---无论是观察微观上参差不齐的金属表面，还是
多孔的含油岩石中的细小孔穴和通道，还是地震区里支离破碎的景观。
2.表面的分形几何学一个简单而有力的推论是，相接触的表面不一定处处接触（破镜不能重
圆）
3..分形一词终于成为描述、计算和思考那些不规则的、破碎的、参差不齐的和断裂的形状的方法的代表，这些形状包括雪花的结晶曲线到星系中不连续的尘埃。分形曲线意味着深藏在复杂形状中的有组织的结构。
4.聚合物研究、核反应堆的安全问题、电影特殊效果、鹅绒的人工合成品。
（二）. 拓扑 相空间
一．概念和性质
1. （1）注意数据的定性形状，而不是定量细节。
（2）拓扑学研究几何形状由于扭曲、拉伸或压缩而变形时仍然保持不变的那些性质
（3）它的提法是：如果不去测量，关于整体结构能作出什么结论。
2. （1）相空间给出一种把数字变成图像的方法，它把具有运动部分的系统（机械的或流体的）每一点实质性信息都抽象出来，灵活地为它一切的可能性画出道路图。
（2）在相空间中，关于动力系统在单一给定时刻的信息归结在一个点中。追踪这个点在
相空间中的轨道就可以了解系统的变化规律了。
（3）当科学家观看相空间中的图像时，他可以发挥想象力来回想系统本身。这个圈对应
于哪个周期性，这个扭转对应于哪种变化，这种空白对应于哪种不可能的状态。
二．相空间的构造
1. 有关一个复杂系统的所有信息是怎么存储在一个点里的呢？
（1）如果系统只有两个变量，答案是简单的。
（2）而动力系统的每一个可以独立运动的部分给出另一个变量，另一个自由度。每一个
自由度在相空间中要求新的一维，才能确保单个点包含足够的信息来唯一确定系统
状态。.洛伦兹的对流模型是三维的。获得四维、五维乃至更多维空间的视觉形象，
对于许多最敏锐的拓扑学家也不是轻松之举。这也是动力系统难以研究的原因之一。
2. 如何获得数据流？并从这一数据流回溯到刻画混沌的方程组并得出奇怪吸引子呢？（洛
伦兹和埃农都是已经成功构造出微分方程并画出奇异吸引子的，而利布沙伯则只发现了倍周
期，没有得到湍流的微分方程）
肖发明出的从复杂系统获取数据流的一种方法是，把变量与时间联系起来，它可以运用于任何数据系列。这提供了构造看不见的奇怪吸引子的相空间的方法。
比如滴水龙头数据，x轴代表一对液滴之间的时间间隔，y轴代表下一个时间间隔。如果第一滴与第二滴之间经过150毫秒，第二滴与第三滴之间经过150毫秒，就在150-150的位置上打一个点。
如果时间间隔真是随机的，这些点应当散落在整个图中，一个间隔和下一个间隔之间将找不出任何关系。然而，如果数据里隐藏了一个奇怪吸引子，他可能把模糊的斑点连接成可以辨别的结构，从而使自己亮相。
同一技术很容易推广到画高维图，不是把第n个间隔对应第n+1个间隔，而是把第n个间隔对着第n+1个间隔再对着第n+2个间隔。通常三维图形要求知道三个独立变量，这个花招变一为三。这反映了科学家们的一种信念：有序深深渗透在表面无序当中，它必定以某种方式表现出来。
三．吸引子
1. 吸引子具有稳定性这一重要特征，在实际系统中，各部分的运动会碰到来自外界噪声的冲撞和摇晃，但是运动还倾向于回到吸引子。每个吸引子有自己的吸引域。
就短时间而言，相空间中任何一点都代表动力系统的一种可能行为。就长时间而言，只有吸引子才代表可能的行为，其他类型的运动都是瞬态的。
四．三种吸引子
1.不动点
2.极限环
（1）梅 种群数方程
定态和振荡之间的临界状态
出现倍周期
（2）费根鲍姆
1）再一次研究梅的生物种群方程，并集中注意于有序混沌之间的边界区。他知道这个区域
与流体中层流和湍流之间的神秘边界相像。
2）他发现每一次周期倍增的周期参数值是几何收敛的，第二个与第一个之比也就是第三个
与第二个之比，如此等等。而这个收敛比率是4.669
3）通常几何收敛的出现就提示人们，某种事物在某些地方正在不同的尺度上重复几何收敛
意味着尺度变换的性质.尺度变换意味着一切都变时某些性质保持下来了。
4) 费根鲍姆开始试其它函数，一切可以想到的经过一系列分岔而走向无序的函数，每个函
数都产生同一个数。
5) 翻滚的水流，摆动的摆，电子振荡器---许许多多的物理系统在走向混沌的道路上要经
过一个转变点，而这些转变点分析起来仍然过于复杂。物理学们知道所有的正确方程，
可是却不能从方程发展出对整体的长时间行为的理解。不幸的是，流体的方程，甚至摆
的方程，比那简单的逻辑斯蒂映像（梅）具有大得多的复杂性。
然而，费根鲍姆的发现意味着这些方程是不相干的。当有序出现时，它似乎突然忘记
了原来的方程是什么。 费根鲍姆的发现使他可以预料何时会发生倍周期。
(3) 普适性
1）能够普适的事物是可以作尺度变换的东西。
2）在费根鲍姆研究出普适性之前，非线性系统看起来必须一个一个处理，科学家们试图像
对付线性系统一样找到一种语言来定量化并描述它。普适性意味着对于类中每个成员都
可以找到定量上完全相同的性质。
（4）局限性
1）费根鲍姆的模式和规则性与现实系统并无明显联系。这些模式是从数字计算器里算出来的，物理系统要复杂无穷多倍。在没有更多根据之前，人们只能说费根鲍姆发现了一种像湍流开端的数学类比。
2） 到1979年，人数日多的一群数学家和有数学倾向的物理学家注意到费根鲍姆的新理论。
可是那些熟悉实际物理系统中问题的广大的科学们还相信自己有足够的理由来拒绝对此作出评价。在梅和费根鲍姆的映像这样的一维系统里，复杂性是一回事，而在工程师可以建造的机械器件的二维、三维或思维系统里，复杂性肯定又是另一回事。这些系统要求认真的微分方程，而不只是简单的差分方程。看来还有一个深渊把低维系统与潜在无穷维的流体系统隔开。
（5）利布沙伯 小盒中的氦—建立湍流发生机制的实验。
1)最初人们认为普适性（尺度变换）只存在于自然界中静态的事物中，如树叶的有机形状。
但利布沙伯和其它一些实验家怀疑运动和普适之间也有联系。
2)利布沙伯十分欣赏的一位哲学家施文克以艺术的眼光展示了大量自然界中的流动形状。流动充溢他的全书，密西西比、阿卡雄湾、墨西哥湾流等等。当流动本身已经过去或无法看见时，流动的证据还是留下了：气流之河在沙漠上留下波纹，消退的潮流在海滩上刻下水脉之网。他相信普适的原理。涡流的滚动，蕨类植物的展开、山脉的起伏、动物器官的空腔，在他看来如出一辙。它与任何具体的媒质无关，和特定种类的差异无关。
3)利布沙伯另一位十分尊敬的生物学家名叫汤普森。他是最后一位多年来用精美语言讨论原因的人，特别是物理原因和目的原因的区别。在科学中，就整体而言，物理原因占主导。当天文学和物理学从宗教的阴影下生长出来时，曾蒙受了多少痛苦来拜托那些目的论论证。然而在生物学中，达尔文仍把目的论确立为思考原因的中心模式。凡是在达尔文式的思维已成为习惯的科学领域，最终原因（目的原因）就存在下来—现代人类学家思索人吃人或宗教牺牲时，总是或对或错地只问它的目的何在。而汤普森请求生物学也记住物理原因，他献身于解释那些作用于生命的数学和物理原理。那为什么利布沙伯开始做流体实验时，会想到汤普森的《论生长和形态》呢？因为汤普森有一种对于使生命成形的那些力的直觉，他相信存在一些深藏的生长节律，是它们创造出普适形状。他认为自己所研究的不是事物的物质形式，而是它们的动力学---用力、用能量的操作所得出的解释。他确信目的论不能解释他多年注视大自然而汇集起来的各种形态的惊人普适性，物理定律应当解释这一切。古希腊哲学家柏拉图也有类似观点，在特定的可见的物质形状后面，还应当有鬼魅似的形态作为不可见的模版。4)利布沙伯选定液氦来做实验，是因为液氦黏滞度极低，对加热更加敏感。他仔细选择腔的尺寸，使得空间精确地容纳两个对流卷。利布沙伯花了两年时间发现了倍周期。将液氦一点点加温，可以看到分岔呈现一个有准确尺度性质的几何。而这也成为了化学家和电气工程师的新的研究方向。
5)利布沙伯的实验是从映像到流体的飞跃。在这一瞬间，费根鲍姆的普适常数从数学理想变成了物理现实。此后的几年，这奇迹一而再、再而三地在实验系统的广大园圃中出现。
理论学家们改进了费根鲍姆的技术，发现了其它通向混沌的数学道路，即倍周期的表亲们：阵发混沌和拟周期。同样，它们在理论和实验中被证明是普适的。
对此，1980年一个欧洲研究组提出了令人信服的数学解释：耗散使由许多互相冲突的运动组成的复杂系统“失血”，最终把多维行为化成一维。
(6) 巴恩斯利
开始思考费根鲍姆序列是从哪里来的，他明白这些周期毕竟不是从稀薄空气里冒出来的。当巴恩斯利开始把费恩鲍姆的函数转换到复平面时，他看到一族奇妙的形状开始浮现出轮廓。
(7) 哈伯德
1)将X3=1的三个解画在复平面之后恰好成一个等边三角形
牛顿法好像是一个动力系统，而三个解是三个吸引子。或者说，复平面好像是一个光滑曲
面，它向三个深渊倾陷进去。从平面上任何地方开始运动的一块卵石，应当滚进一个深渊，
但，哪一个？
2)哈伯德开始从无穷多个点取样，导致第一个解的点全部标记为蓝色，第二个红色，第三个
绿色。平面被分解成三个扇形，而最值得注意的是边界处的复杂图形。哈伯德开始着手研究
这些复杂形状和它们的数学涵义。他和同事们的工作很快成为研究动力系统问题的一条新的
进攻路线。
(8) 曼德勃罗集
1) 无论是巴恩斯利观察到的奇妙形状，还是哈伯德描绘出的三个解的分布，其根本都在曼
德勃罗集。
2)嫩芽和卷须从主岛慢吞吞地转出去。
3)构造方法：取一复数，平方之后加上原数，得到一个新数。再用这个新数平方加本身…如
果总结果趋向无限大，则不在曼德勃罗集，反之则在。
用这种方式把形状的世界与数字的世界联系起来。
4)曼德勃罗集的程序在边界区花费最多的时间。边界也是逃离集合的拉引最慢的一些点的的
区域。它们是在两个竞争吸引子之间寻求平衡：一个吸引子在原点处，而另一个在无穷远处
向集合打招呼。
当科学家们从曼德勃罗集本身转向那些代表实际物理现象的新问题时，边界的性质就呈现
出来了。研究吸引域的分形边界曾是数学和物理学中最有前途的新领域。动力学的这个分支
关心的是动力系统在互相竞争的不同选择中作决定的方式。它研究的不是洛伦兹天气模型这
种只有一个吸引子的混沌系统，而是多个定态的非混沌系统，即使一个动力系统的长时间行
为不是混沌，混沌也可能出现在一种定态行为＆另一种定态行为的边界上。
5)研究吸引域分形边界的科学家们表明：平安和灾难之间的界限可能比任何人想象过的远为
复杂。
6)吸引域的分形边界在理论物理学中提出深刻的问题，比如相变涉及阈值。派特根和里希特
观察了一类研究得最好的相变—材料中的磁化和非磁化转变。他们给出的这类边界图形显示
出特别美丽的复杂性。这是普适性的又一块路标。
7)借助迭代函数系统可以构造出各种各样神奇的图形—卷心菜，霉菌和泥土等等。关键在于
如何把过程给倒过来，给出特定形状，推出特定规则迭代函数。
8)大自然在一定意义上是在玩自己的迭代游戏。曼德勃罗集与生物信息编码的并行性。任何
东西都是高度结构化的，曼德勃罗集遵从的是异乎寻常的精确图形，它没有给机遇留下任何
余地。也许有一天，人们会发现，大脑存在一套编码系统，它异乎寻常地精确。
9）尤利亚、法图、巴恩斯利、哈伯德、曼德勃罗这些数学家改变了造几何形状的规则。
*标准的几何学要求取一个方程，找出所有满足方程的数对的集合，并用数对确定点，构
造出图形。
如x2+y2=1构造出一个圆
另一些简单方程产生椭圆、抛物线和双曲线等圆锥曲线
或者有微分方程在相空间里产生更为复杂的形状
*而通过迭代一个方程而非求解它时，这些点在平面上跳来跳去，产生某一种行为。一种可能是定态，另一种可能是收敛到周期重复的状态，在一种则可能是失控而跑向无穷远。
3.其它（包括洛伦兹吸引子、埃农吸引子等）
（1） 特征
1） 具有稳定性、低维性、非周期性---永不自我重复
2） 从集合上讲这是一个难题：在有限的空间中能画出什么样的轨道，使它既不自我重复也不自我相交？这条轨道必须是有限面积中一条无限长的线，换一个词说，它必须是一个分形。既然是分形，就具有分数维数
3） 空间的折叠和挤压是构造奇异吸引子的关键。
（2） 研究历程
1）洛伦兹吸引子演示了一个本来似乎没有模式的系统的稳定性和隐含结构。
1961年洛伦兹天气模型
三个变量：温度、气压、风速
使用一组纯决定论的方程。
一个决定性的系统可以产生比周期性多得多的行为。
规则的方程可以产生不规则的行为
千分之一的误差引起了灾难性的后果。
蝴蝶效应：湍流式的逐级放大效果。
为了产生地球上如此丰富多彩的天气变化，可能想不出比蝴蝶效应更好的机制了。
洛伦兹没有止步不前，让决定论让位于随机性。开始研究如何更科学地认识流体运动。
他在自己的天气模型中看到了一种精细的几何结构，看到了有序化装随机。
洛伦兹吸引子---揭示出隐藏在无序的数据流中的精细结构。
洛伦兹对流系统 P24
发电机 P26
20世纪50年代和60年代对于天气预报有过不切实际的乐观主义。这种流行观念的精神之父是冯.诺依曼。他认识到，复杂的动力系统可能具有不稳定点，即临界点。但他忽视了混沌的可能性，即每一点都出现不稳定性。
在科学中，如同在生活里，人们知道一串事件往往具有一个临界点，那里小小的变化也会被放大。然而，混沌却意味着这种临界点比比皆是，它们无孔不入，无处不在。
2) 概念的提出
为什么湍流难以分析？因为流体运动的方程是非线性偏微分方程，除特殊情况不可能求
解。茹厄勒基于斯梅尔的语言，把空间看成柔韧的材料，可以挤压、拉伸和折叠成马蹄那样
的形状。提出奇怪吸引子的概念。
4） 谢弗利用相空间重构技术，发现麻疹遵从奇怪吸引子，它的分维大约是2.5.麻疹的变化
是混沌的，而水痘的变化是周期的。
5） 当科学家们看到了计算机所显示的图像，他们觉得这是一张见过的面孔，不论在湍急水
流的音乐声中，还是像面纱般地飘洒天空的云朵里。
（3）研究方法
1）研究奇异吸引子时，分维对应于相空间内既不自我重复，也不自我相交，轨道是有限面
积内一条无限长的线。
李雅普诺夫指数对应于不可预测性
2）分维、豪斯道夫维数、李雅普诺夫维数、信息维数等都是混沌系统的测度。
3）气象学家们会争论全球大气和海洋的混沌是否像传统的动力学家门假定的那样具有无穷
的维数，还是以某种方式跟随一个低维的吸引子。
分析股市数据的经济学家们会试图发现维数是3.7或5.3的吸引子。
维数越低、系统越简单
吸引子的维数是为刻画它的性质所必须的第一层知识。
4）困难的地方在于拿来真正的数据流，测出它的分维和李雅普诺夫指数等
（4）构造
1）画奇异吸引子的图不是件平常易事。典型情况是，三维或更多维的轨道呈现越来越复杂
的路径，在空间涂成一团黑。把三维线团转换成平面图形。方法一：庞加莱映像 方法二：
埃农球状星团。P134 竖立切割型平面。（埃农吸引子不是一个点，而是一个有厚度的三
维的盘。
2） 肖的水钟制度
3) 意大利的佛朗西斯基尼利用计算机实验，构造出一个包含5个微分方程的系统，并由此产生了倍周期和吸引子。然而，在计算机之外，到流体实验室里去发现奇怪吸引子，仍然是一个严重挑战。单单依靠计算机实验，费根鲍姆和其它一些人的新理论是不会赢得广大的科学界的首肯的，因为为使非线性微分方程组数字化所需要的改变、妥协和近似太令人生疑。计算机要把现实劈成块，数目尽可能多，但终究太少。事实上，今天还没有一个计算机能完全模拟即使像利布沙伯的液氦腔这样简单的系统。
（4）探索
1）人们在具有随机性的一切领域寻求奇异吸引子。许多人论证地球天气可能处在奇怪吸引
子上；另一些人汇总了数百万股票市场数据，开始在那里寻找奇异吸引子。
2）《自然》杂志开展了关于地球气候是否遵从一个奇怪吸引子的争论
3）经济学家们在股市趋势里寻找可以识别的奇怪吸引子，但至今未找到。
4）在湍流中，能量消耗必然要导致相空间的收缩，从而收向吸引子。当然，这个吸引子不
会是不动点，因为流动永远不会静止下来。
自然界形成模式。有些模式在空间有序但随时间无序，另一些在时间有序但在空间无序。
某些模式是分形，表现出不同尺度上自相似的结构。另一些导致定态或振荡状态。
eg.洛伦兹天气模型 水轮 梅的生物种群
模式的形成已经成为了物理学和材料科学的一支。粒子如何聚集成团，放电如何分形传播，晶体如何生长等。
（三）.混沌
一．概念和性质
1.混沌的定义：混沌是指确定性动力系统因对初值敏感而表现出的不可预测性、随机性的运动。
2.混沌是过程的科学而不是状态的科学，是演化的科学而不是存在的科学
3.混沌科学中的运动新要素：分形和分岔，阵发和周期，叠毛巾微分同胚和光滑面条映像等。
4.奇异吸引子给出了混沌基本性质（对初始条件敏感的依赖性和混合性）的数学实质
5.抓住复杂性背后古怪而精致的结构
6.主张复杂系统有普适行为
7.消除决定论和概率论之间的鸿沟
8.扭转科学中简化论的倾向，即从系统的组成零件夸克、染色体、神经元等来作分析的倾向
9.相对论排除了对绝对空间和绝对时间的牛顿幻觉
量子论排除了对可控制的测量过程的牛顿迷梦
混沌则排除了拉普拉斯决定论的可预见性的幻想
二．传统研究方法
1.牛顿的希望是世界沿着决定性的道路展开，就像行星一样地遵守规律，像日月食和潮汐一样可以预测。
2.从宇宙的初始条件和指导宇宙演化的物理规律出发，计算宇宙的未来。
3.决定论的数值预报精密地刻画出宇宙飞船和导弹的路线，为什么对于风云雷电不能如法炮制呢？
4.拉普拉斯，这位18世纪的哲学家兼数学家曾经比任何人都染上了牛顿热。他设想过的最高智能是“用同样一个公式囊括大至宇宙中的最重天体，小至最轻原子行为。”
5.由于测量永远不可能是完善的，那么只要近似知道了一个系统的初始条件和理解了自然规律，就可以计算系统的近似行为。近似体现了事物的收敛性，任意小的影响是不会放大成为任意大的效果的。
6.经济预报家也遵守这一假定，虽然他们的成就不大显著。
用计算机模拟复杂系统不仅运用于天气预报，还服务于数理科学者和社会科学工作者。他们希望能预报一切事物，小至喷气发动机设计师们关心的小尺度气流，大至经济学家瞩目的金融流动。这些模型把复杂的方程组放在一起，目的在于把初值计量（气压或通货供应量）变成对未来发展趋势的模拟。程序员们希望计算结果不会因为许多不可避免的简化假定而失真太多。实际上许多计量经济模型对于未来的结果是极其盲目的。
7.虽然这些天气预报使全世界每年节约了几十亿美元，然而世界上最好的长于两三天的预报也仅仅是推测而已。
8.P261 治疗人体这台“最不稳定的、动态的无穷维机器”的传统方法，是线性的、约化主义的。一种基因--一种肽—一种酶—一种神经发送源—一种接受体—一种动物行为—一种临床症状—一种药物—一种临床估计尺度。它几乎统治了精神药理学的全部研究和实践。
10.从事实验的人很快明白，自己并非生活在完美无缺的世界中，寻求规则性曾是一切实验的基本要求。借助于发明一个理想的科学世界，使得规则性能与经验中的无序性区分开来。
标准线性科学具有局限性。
11.科学家们已经构筑起微分方程的宏大知识体系，微积分的应用促成了中世纪以来科学的大多数实际胜利，它本身是人类试图模拟周围变幻世界时最为精巧的构造。
约克说；“如果你能把一个微分方程的解写出来，它必定不是混沌的。”
科学家一旦面临非线性系统，就必须代之以线性近似。很少人懂得自然界的灵魂深处是如何地非线性。
12.经典几何学里的形状是线和面，圆和球，三角形和锥，它们代表着对现实的有力抽象。
13.解剖学掩盖了跨越不同尺度的统一性，而分形观点把握从大尺度到小尺度保持一致的分支行为。
14.物理学中一条基本假定，就是理解世界的方法在于分隔出它的组成部分，直到你明白了你认为是最基本的那些东西。然后，你就假定你还不懂的其它东西都是细节。
15. 动力系统中还会潜伏着混沌，它只有在非线性发挥其应用作用时才会破门而出。
三．自然界中的无序
1.无序存在于大气中、海洋湍流中、野生动物物种群数的涨落中、心脏和大脑的振动中。
2.混沌无所不在。
3.上升的香烟烟柱破碎成缭乱的漩涡
龙头滴水从稳定样式变成随机样式
4.不受拘束的大自然经常用无穷多自由度来表现自己—湍急的瀑布、不可预言的脑子都是例子。无穷多个模，无穷多自由度，无穷维
四．为何要呈现无序性
1.生物体必须响应快速而不可预见的变化的环境，没有任何心搏或呼吸节律可以锁到最简单的物理模型的严格周期性上。
2.周期状态是缺乏信息内容的
与多尺度、宽频带相联系的分形过程是富信息的。
3.当你在生物学中达到平衡，你就死了。如果我问你的大脑是不是一个平衡系统，我必须做的唯一事情就是请你几分钟之内不要胡思乱想，你自己就知道它不是一个平衡系统。
4.简单形状缺少人性，它们同自然界组织自身或者人类感官看待世界的方式不能共鸣。我们的美感是由有序和无序的和谐配置诱发的。
五．无序中的有序
1.云彩代表了自然界的一方面，既有结构又不可预言
2.自然界中充满了非周期系统的例子：动物种群数几乎有规则地涨落着，传染病的来临和消退也具有逗人的近似规律
3.洛伦兹天气模型
4.混沌是局部不可预言的，整体稳定的。
5.木星大红斑本身是像飓风一般的涡流系统。马库斯利用计算机再现了美国宇航局拍摄的实物照片。大红斑是一种自组织系统，是一种稳定的混沌。
7.云霞、树木、山脉、雪晶…所有这些物体的形状都是凝成物理形式的动力过程，它们的典型之处就是有序与无序的特定组合。
六．混沌的研究
1. 摆
（1）任何规则的振荡实际上源于摆的同类物。
（2）不理解摆，就不能真正理解湍流或其它复杂系统
（3）摆的动力学囊括了从激光到超导约瑟夫森结的高技术领域。
（4）某些化学反应同心脏跳动一样表现出类似摆的行为。
2.分形
（1）梅和约克那些人在20世纪70年代初期发现的那些图形，在有序和混沌行为之间具有复杂的边界。理解非线性动力学的关键结构是分形。
（2）梅/费根鲍姆 有序和混沌之间的边界与流体中层流与湍流之间的神秘边界相像。
（3）洛伦兹的工作中暗含了自相似性。在1963年的计算机上，他只能感觉而看不到这个精细结构。尺度变换也在物理学中成了新动向的一部分，而且它比曼德勃罗自己的工作更直接地引向混沌这门学科。
（4）分维是奇异吸引子的一个重要测度
3.相变
（1）斯文尼 研究相变—从固体到液体、从非磁体到磁体、从导体到超导体的转变。
设计了一台装置来测量二氧化碳在气液临变点附近的导热性质。
（2）相变很像混沌，涉及到只看微观细节似乎难以预言的宏观行为。
4.重正化群理论
再借助自相似性，每次消去一层，给出了拆掉复杂性的方法。
自相似性看来是湍流的一种特征：涨落上有涨落，漩涡中有漩涡。湍流中存在有序系统转
为混沌的神秘瞬间。但是没有人可以断定重正化群理论对处理这种有用，因为没有根据可
以认为这一转变遵从尺度变化的规律。只能说研究相变问题（尺度变换和重正化群）可以
给研究混沌提供启发。
.5.拓扑学
（1）使拓扑学和动力学联系起来的，正是借助几何形状使系统行为的整个范围形象化的可能性。
（2）斯梅尔马蹄—正是折叠才允许系统的行为产生尖锐的变化
（3）相空间—奇异吸引子
意味着尺度变换的性质，而他知道尺度变换是重要的，因为全部重正化理论依赖于此。
6.信息论
把混沌和信息论交织起来。当系统变得混沌以后，严格地由于不可预测性，产生持续的信息
流。湍流把能量从大尺度下传到小尺度，信息反过来从小尺度传到大尺度。
七．生物学和医学中的混沌
1.精神分裂症患者眼睛乱动的病例 P242
2.人体是复杂动力系统的典范。
3.在20世纪80年代，混沌带来了一种新的生理学。从整体上理解复杂系统，而与局部细节无关。
4.生物动力学
5.理论生物学
6.心脏中的混沌：正常心脏的节律是周期性的，但是有许多非周期性的病理状态。
心脏研究是生理学家、数学家和物理学家们合作的开端。
为各种节律起名字，就像为各种零件命名一样，使医生们感到安逸。它使得诊断有毛病的心脏可以具体化，而且使问题带上学术色彩。
最近20年在阐明膜生理学的许多本质性的细节方面成绩斐然，这涉及心脏所有零件的非常复杂的精确细致的工作机制。然而被忽视的是寻求它怎样工作的整体认识。
人工瓣膜产生湍流区和滞流区，停滞时形成凝块就会造成中风。这类凝块是制造人工心脏的致命障碍。
纤维性颤动各部分是正常工作的，是整体上出了差错，是复杂系统的失调。
使除纤颤器的设计从高价猜谜变得更为科学。
人工瓣膜、除纤颤器、药物配方等主要是基于试错法。“暗中摸索的艺术”
为什么保持了一生之久的节律，不间断地循环了20亿次乃至更多，经过放松和拉紧，加速和减速，会突然破坏成失控的、致命的、无效的狂动乱颤呢？
7.为什么混沌的理论可以用于心脏？
过去在数学研究和物理实验中见过的奇异的动力学行为，也存在于受到周期性扰动的生物振子中
8.狗、鸡胚胎实验 P255---看到了倍周期
9.心脏与生物钟之间有一个差别，一个甚至在简化的模型中也不能置之不理的差别，那就是心脏具有空间形状。
10.系统失调（那些正常振荡的系统停止振荡或者以一种新的出乎意料的方式振荡；平常不振荡的系统开始振荡）：呼吸失调（哮喘）、血液失调（白血病）。治疗这类失调可能要依靠扩展系统的频谱装备。
八．混沌的应用
1.许多其它科学家开始把混沌的形式体系用于人工智能研究。
2.严肃的认知科学家们再也不能把思维模拟为静态结构。他们认识到神经元往上的尺度阶梯，这种尺度阶梯提供了微观尺度与宏观尺度相互作用的可能性，而这一切又是湍流和其它复杂系统的特征
3.动力学家希望用混沌工具去解释完全发达的湍流。
4.无论是在实验室里研究化学反应，或是在三年野外考察中追踪昆虫种群，还是在模拟海洋温度变化，科学家们都不能再用传统的置之不理的方法来对待出乎意料的涨落或振荡的出现。
5.混沌提供了处理老数据的新鲜途径。
6.如何把艰难的数学用于杂乱的生物问题也是有分歧的。那些相信种群恒定的人，认为种群必受某种决定论机制的调节。那些确信种群无规则的人则争辩说，它们是由不不可预言的环境因素所制约。决定论的数学产生恒定行为，随机的外噪声产生随机行为。
7.生理学家们不再把器官看成静态结构，而看成规则和不规则振荡的复合体。
十二.理论与现实的差距
1.对于像温弗里这样探索生物系统整体拓扑的其它科学家，混沌是一个过分狭窄的名字。它意味着简单系统、费根鲍姆的一维映像、茹厄勒的二维、三维、分维的奇异吸引子。但是低维系统是一种特殊情况。他关心的是多维复杂性的规律。宇宙还有太多部分在低维混沌的范围之外。
2.P244 一位研究低维整体系统的非线性动力专家同一位一直在用数学工具的生物学家谈话时发生的事情。
你可以把模型搞得更复杂，更忠于现实，或者你可以使它更简单，更易于处理。只有最天真的科学家才相信，完美的模型是完全代表现实的模型。
3.如果想更深一层研究混沌，就必须有一个实际的框架，有一套把思想变成计算的方法。
（一）．分形
一．概念与性质
1.在不同的尺度上不规则的程度保持恒定；有规则的不规则性
2.在越来越小的尺度上重复结构
3.分形的意义是自相似。自相似是跨越不同尺度的对称性。
4..自相似性的威力要在更高层次的复杂性中才能显示出来。这是一个观察整体的问题
二．研究历程
1.曼德勃罗 【提出分数维数的概念，创造出分形一词】
（1）棉花价格：从正太分布角度产生偏差的数字，从尺度变换的角度却给出了对称。
价格的日变化和月变化曲线完全一致
（2）电子传输：在无误差的期间后又出现误差期间
在任何一群误差中，不论时间如何短，总会存在几段完全无误差的传输。无论是在小时或在秒的尺度上，无误差期间与有误差期间之比总是常数
康托尔集
（3）海岸线 直线距离加起来的方法确实应当收敛。
但曼德勃罗发现，当把所用的测量尺度变小时，所得的海岸线长度无限上升。
（4）分数维数 科克曲线以它的无限长度挤在有限的面积之中，确实是占有空间的。它比线要多，比平面要少。它比一维大，但仍不及二维图。它的维数1.2618
2.卡丹诺夫 研究相变问题 【相变中的分形】
（1）相变研究物质从一种状态到另一种状态的转变点附近的行为。作为两种存在区域之间
的奇异边界，相变问题的数学是高度非线性的。
（2）金属磁化：最好的设想金属的方法就是把它变成类似分形的模型，由各种尺度的小块
组成。体现了尺度变换思想的威力。
3.生物学中的分形
分形—云彩和地震一样可以有尺度变换的现象。在不同的尺度下观察时，它们所特有的不规则性。
从主动脉到微血管，它们分支再分支，直到细得使血球细胞被迫排成单行滑动。它们分支的性质是一种分形。就像科克曲线把无限长的线挤小面积一样，循环系统必须把巨大的表面积挤进有限的体积。
消化道里，组织表现出波纹夹着波纹。
人肺表面展开之后比网球长还大。
分形组织控制着贯穿全身的结构：支气管、泌尿系统、心脏、心跳节律、角蛋白等。
三．应用
1. 分形几何学提供了一种观察材料的方法---无论是观察微观上参差不齐的金属表面，还是
多孔的含油岩石中的细小孔穴和通道，还是地震区里支离破碎的景观。
2.表面的分形几何学一个简单而有力的推论是，相接触的表面不一定处处接触（破镜不能重
圆）
3..分形一词终于成为描述、计算和思考那些不规则的、破碎的、参差不齐的和断裂的形状的方法的代表，这些形状包括雪花的结晶曲线到星系中不连续的尘埃。分形曲线意味着深藏在复杂形状中的有组织的结构。
4.聚合物研究、核反应堆的安全问题、电影特殊效果、鹅绒的人工合成品。
（二）. 拓扑 相空间
一．概念和性质
1. （1）注意数据的定性形状，而不是定量细节。
（2）拓扑学研究几何形状由于扭曲、拉伸或压缩而变形时仍然保持不变的那些性质
（3）它的提法是：如果不去测量，关于整体结构能作出什么结论。
2. （1）相空间给出一种把数字变成图像的方法，它把具有运动部分的系统（机械的或流体的）每一点实质性信息都抽象出来，灵活地为它一切的可能性画出道路图。
（2）在相空间中，关于动力系统在单一给定时刻的信息归结在一个点中。追踪这个点在
相空间中的轨道就可以了解系统的变化规律了。
（3）当科学家观看相空间中的图像时，他可以发挥想象力来回想系统本身。这个圈对应
于哪个周期性，这个扭转对应于哪种变化，这种空白对应于哪种不可能的状态。
二．相空间的构造
1. 有关一个复杂系统的所有信息是怎么存储在一个点里的呢？
（1）如果系统只有两个变量，答案是简单的。
（2）而动力系统的每一个可以独立运动的部分给出另一个变量，另一个自由度。每一个
自由度在相空间中要求新的一维，才能确保单个点包含足够的信息来唯一确定系统
状态。.洛伦兹的对流模型是三维的。获得四维、五维乃至更多维空间的视觉形象，
对于许多最敏锐的拓扑学家也不是轻松之举。这也是动力系统难以研究的原因之一。
2. 如何获得数据流？并从这一数据流回溯到刻画混沌的方程组并得出奇怪吸引子呢？（洛
伦兹和埃农都是已经成功构造出微分方程并画出奇异吸引子的，而利布沙伯则只发现了倍周
期，没有得到湍流的微分方程）
肖发明出的从复杂系统获取数据流的一种方法是，把变量与时间联系起来，它可以运用于任何数据系列。这提供了构造看不见的奇怪吸引子的相空间的方法。
比如滴水龙头数据，x轴代表一对液滴之间的时间间隔，y轴代表下一个时间间隔。如果第一滴与第二滴之间经过150毫秒，第二滴与第三滴之间经过150毫秒，就在150-150的位置上打一个点。
如果时间间隔真是随机的，这些点应当散落在整个图中，一个间隔和下一个间隔之间将找不出任何关系。然而，如果数据里隐藏了一个奇怪吸引子，他可能把模糊的斑点连接成可以辨别的结构，从而使自己亮相。
同一技术很容易推广到画高维图，不是把第n个间隔对应第n+1个间隔，而是把第n个间隔对着第n+1个间隔再对着第n+2个间隔。通常三维图形要求知道三个独立变量，这个花招变一为三。这反映了科学家们的一种信念：有序深深渗透在表面无序当中，它必定以某种方式表现出来。
三．吸引子
1. 吸引子具有稳定性这一重要特征，在实际系统中，各部分的运动会碰到来自外界噪声的冲撞和摇晃，但是运动还倾向于回到吸引子。每个吸引子有自己的吸引域。
就短时间而言，相空间中任何一点都代表动力系统的一种可能行为。就长时间而言，只有吸引子才代表可能的行为，其他类型的运动都是瞬态的。
四．三种吸引子
1.不动点
2.极限环
（1）梅 种群数方程
定态和振荡之间的临界状态
出现倍周期
（2）费根鲍姆
1）再一次研究梅的生物种群方程，并集中注意于有序混沌之间的边界区。他知道这个区域
与流体中层流和湍流之间的神秘边界相像。
2）他发现每一次周期倍增的周期参数值是几何收敛的，第二个与第一个之比也就是第三个
与第二个之比，如此等等。而这个收敛比率是4.669
3）通常几何收敛的出现就提示人们，某种事物在某些地方正在不同的尺度上重复几何收敛
意味着尺度变换的性质.尺度变换意味着一切都变时某些性质保持下来了。
4) 费根鲍姆开始试其它函数，一切可以想到的经过一系列分岔而走向无序的函数，每个函
数都产生同一个数。
5) 翻滚的水流，摆动的摆，电子振荡器---许许多多的物理系统在走向混沌的道路上要经
过一个转变点，而这些转变点分析起来仍然过于复杂。物理学们知道所有的正确方程，
可是却不能从方程发展出对整体的长时间行为的理解。不幸的是，流体的方程，甚至摆
的方程，比那简单的逻辑斯蒂映像（梅）具有大得多的复杂性。
然而，费根鲍姆的发现意味着这些方程是不相干的。当有序出现时，它似乎突然忘记
了原来的方程是什么。 费根鲍姆的发现使他可以预料何时会发生倍周期。
(3) 普适性
1）能够普适的事物是可以作尺度变换的东西。
2）在费根鲍姆研究出普适性之前，非线性系统看起来必须一个一个处理，科学家们试图像
对付线性系统一样找到一种语言来定量化并描述它。普适性意味着对于类中每个成员都
可以找到定量上完全相同的性质。
（4）局限性
1）费根鲍姆的模式和规则性与现实系统并无明显联系。这些模式是从数字计算器里算出来的，物理系统要复杂无穷多倍。在没有更多根据之前，人们只能说费根鲍姆发现了一种像湍流开端的数学类比。
2） 到1979年，人数日多的一群数学家和有数学倾向的物理学家注意到费根鲍姆的新理论。
可是那些熟悉实际物理系统中问题的广大的科学们还相信自己有足够的理由来拒绝对此作出评价。在梅和费根鲍姆的映像这样的一维系统里，复杂性是一回事，而在工程师可以建造的机械器件的二维、三维或思维系统里，复杂性肯定又是另一回事。这些系统要求认真的微分方程，而不只是简单的差分方程。看来还有一个深渊把低维系统与潜在无穷维的流体系统隔开。
（5）利布沙伯 小盒中的氦—建立湍流发生机制的实验。
1)最初人们认为普适性（尺度变换）只存在于自然界中静态的事物中，如树叶的有机形状。
但利布沙伯和其它一些实验家怀疑运动和普适之间也有联系。
2)利布沙伯十分欣赏的一位哲学家施文克以艺术的眼光展示了大量自然界中的流动形状。流动充溢他的全书，密西西比、阿卡雄湾、墨西哥湾流等等。当流动本身已经过去或无法看见时，流动的证据还是留下了：气流之河在沙漠上留下波纹，消退的潮流在海滩上刻下水脉之网。他相信普适的原理。涡流的滚动，蕨类植物的展开、山脉的起伏、动物器官的空腔，在他看来如出一辙。它与任何具体的媒质无关，和特定种类的差异无关。
3)利布沙伯另一位十分尊敬的生物学家名叫汤普森。他是最后一位多年来用精美语言讨论原因的人，特别是物理原因和目的原因的区别。在科学中，就整体而言，物理原因占主导。当天文学和物理学从宗教的阴影下生长出来时，曾蒙受了多少痛苦来拜托那些目的论论证。然而在生物学中，达尔文仍把目的论确立为思考原因的中心模式。凡是在达尔文式的思维已成为习惯的科学领域，最终原因（目的原因）就存在下来—现代人类学家思索人吃人或宗教牺牲时，总是或对或错地只问它的目的何在。而汤普森请求生物学也记住物理原因，他献身于解释那些作用于生命的数学和物理原理。那为什么利布沙伯开始做流体实验时，会想到汤普森的《论生长和形态》呢？因为汤普森有一种对于使生命成形的那些力的直觉，他相信存在一些深藏的生长节律，是它们创造出普适形状。他认为自己所研究的不是事物的物质形式，而是它们的动力学---用力、用能量的操作所得出的解释。他确信目的论不能解释他多年注视大自然而汇集起来的各种形态的惊人普适性，物理定律应当解释这一切。古希腊哲学家柏拉图也有类似观点，在特定的可见的物质形状后面，还应当有鬼魅似的形态作为不可见的模版。4)利布沙伯选定液氦来做实验，是因为液氦黏滞度极低，对加热更加敏感。他仔细选择腔的尺寸，使得空间精确地容纳两个对流卷。利布沙伯花了两年时间发现了倍周期。将液氦一点点加温，可以看到分岔呈现一个有准确尺度性质的几何。而这也成为了化学家和电气工程师的新的研究方向。
5)利布沙伯的实验是从映像到流体的飞跃。在这一瞬间，费根鲍姆的普适常数从数学理想变成了物理现实。此后的几年，这奇迹一而再、再而三地在实验系统的广大园圃中出现。
理论学家们改进了费根鲍姆的技术，发现了其它通向混沌的数学道路，即倍周期的表亲们：阵发混沌和拟周期。同样，它们在理论和实验中被证明是普适的。
对此，1980年一个欧洲研究组提出了令人信服的数学解释：耗散使由许多互相冲突的运动组成的复杂系统“失血”，最终把多维行为化成一维。
(6) 巴恩斯利
开始思考费根鲍姆序列是从哪里来的，他明白这些周期毕竟不是从稀薄空气里冒出来的。当巴恩斯利开始把费恩鲍姆的函数转换到复平面时，他看到一族奇妙的形状开始浮现出轮廓。
(7) 哈伯德
1)将X3=1的三个解画在复平面之后恰好成一个等边三角形
牛顿法好像是一个动力系统，而三个解是三个吸引子。或者说，复平面好像是一个光滑曲
面，它向三个深渊倾陷进去。从平面上任何地方开始运动的一块卵石，应当滚进一个深渊，
但，哪一个？
2)哈伯德开始从无穷多个点取样，导致第一个解的点全部标记为蓝色，第二个红色，第三个
绿色。平面被分解成三个扇形，而最值得注意的是边界处的复杂图形。哈伯德开始着手研究
这些复杂形状和它们的数学涵义。他和同事们的工作很快成为研究动力系统问题的一条新的
进攻路线。
(8) 曼德勃罗集
1) 无论是巴恩斯利观察到的奇妙形状，还是哈伯德描绘出的三个解的分布，其根本都在曼
德勃罗集。
2)嫩芽和卷须从主岛慢吞吞地转出去。
3)构造方法：取一复数，平方之后加上原数，得到一个新数。再用这个新数平方加本身…如
果总结果趋向无限大，则不在曼德勃罗集，反之则在。
用这种方式把形状的世界与数字的世界联系起来。
4)曼德勃罗集的程序在边界区花费最多的时间。边界也是逃离集合的拉引最慢的一些点的的
区域。它们是在两个竞争吸引子之间寻求平衡：一个吸引子在原点处，而另一个在无穷远处
向集合打招呼。
当科学家们从曼德勃罗集本身转向那些代表实际物理现象的新问题时，边界的性质就呈现
出来了。研究吸引域的分形边界曾是数学和物理学中最有前途的新领域。动力学的这个分支
关心的是动力系统在互相竞争的不同选择中作决定的方式。它研究的不是洛伦兹天气模型这
种只有一个吸引子的混沌系统，而是多个定态的非混沌系统，即使一个动力系统的长时间行
为不是混沌，混沌也可能出现在一种定态行为＆另一种定态行为的边界上。
5)研究吸引域分形边界的科学家们表明：平安和灾难之间的界限可能比任何人想象过的远为
复杂。
6)吸引域的分形边界在理论物理学中提出深刻的问题，比如相变涉及阈值。派特根和里希特
观察了一类研究得最好的相变—材料中的磁化和非磁化转变。他们给出的这类边界图形显示
出特别美丽的复杂性。这是普适性的又一块路标。
7)借助迭代函数系统可以构造出各种各样神奇的图形—卷心菜，霉菌和泥土等等。关键在于
如何把过程给倒过来，给出特定形状，推出特定规则迭代函数。
8)大自然在一定意义上是在玩自己的迭代游戏。曼德勃罗集与生物信息编码的并行性。任何
东西都是高度结构化的，曼德勃罗集遵从的是异乎寻常的精确图形，它没有给机遇留下任何
余地。也许有一天，人们会发现，大脑存在一套编码系统，它异乎寻常地精确。
9）尤利亚、法图、巴恩斯利、哈伯德、曼德勃罗这些数学家改变了造几何形状的规则。
*标准的几何学要求取一个方程，找出所有满足方程的数对的集合，并用数对确定点，构
造出图形。
如x2+y2=1构造出一个圆
另一些简单方程产生椭圆、抛物线和双曲线等圆锥曲线
或者有微分方程在相空间里产生更为复杂的形状
*而通过迭代一个方程而非求解它时，这些点在平面上跳来跳去，产生某一种行为。一种可能是定态，另一种可能是收敛到周期重复的状态，在一种则可能是失控而跑向无穷远。
3.其它（包括洛伦兹吸引子、埃农吸引子等）
（1） 特征
1） 具有稳定性、低维性、非周期性---永不自我重复
2） 从集合上讲这是一个难题：在有限的空间中能画出什么样的轨道，使它既不自我重复也不自我相交？这条轨道必须是有限面积中一条无限长的线，换一个词说，它必须是一个分形。既然是分形，就具有分数维数
3） 空间的折叠和挤压是构造奇异吸引子的关键。
（2） 研究历程
1）洛伦兹吸引子演示了一个本来似乎没有模式的系统的稳定性和隐含结构。
1961年洛伦兹天气模型
三个变量：温度、气压、风速
使用一组纯决定论的方程。
一个决定性的系统可以产生比周期性多得多的行为。
规则的方程可以产生不规则的行为
千分之一的误差引起了灾难性的后果。
蝴蝶效应：湍流式的逐级放大效果。
为了产生地球上如此丰富多彩的天气变化，可能想不出比蝴蝶效应更好的机制了。
洛伦兹没有止步不前，让决定论让位于随机性。开始研究如何更科学地认识流体运动。
他在自己的天气模型中看到了一种精细的几何结构，看到了有序化装随机。
洛伦兹吸引子---揭示出隐藏在无序的数据流中的精细结构。
洛伦兹对流系统 P24
发电机 P26
20世纪50年代和60年代对于天气预报有过不切实际的乐观主义。这种流行观念的精神之父是冯.诺依曼。他认识到，复杂的动力系统可能具有不稳定点，即临界点。但他忽视了混沌的可能性，即每一点都出现不稳定性。
在科学中，如同在生活里，人们知道一串事件往往具有一个临界点，那里小小的变化也会被放大。然而，混沌却意味着这种临界点比比皆是，它们无孔不入，无处不在。
2) 概念的提出
为什么湍流难以分析？因为流体运动的方程是非线性偏微分方程，除特殊情况不可能求
解。茹厄勒基于斯梅尔的语言，把空间看成柔韧的材料，可以挤压、拉伸和折叠成马蹄那样
的形状。提出奇怪吸引子的概念。
4） 谢弗利用相空间重构技术，发现麻疹遵从奇怪吸引子，它的分维大约是2.5.麻疹的变化
是混沌的，而水痘的变化是周期的。
5） 当科学家们看到了计算机所显示的图像，他们觉得这是一张见过的面孔，不论在湍急水
流的音乐声中，还是像面纱般地飘洒天空的云朵里。
（3）研究方法
1）研究奇异吸引子时，分维对应于相空间内既不自我重复，也不自我相交，轨道是有限面
积内一条无限长的线。
李雅普诺夫指数对应于不可预测性
2）分维、豪斯道夫维数、李雅普诺夫维数、信息维数等都是混沌系统的测度。
3）气象学家们会争论全球大气和海洋的混沌是否像传统的动力学家门假定的那样具有无穷
的维数，还是以某种方式跟随一个低维的吸引子。
分析股市数据的经济学家们会试图发现维数是3.7或5.3的吸引子。
维数越低、系统越简单
吸引子的维数是为刻画它的性质所必须的第一层知识。
4）困难的地方在于拿来真正的数据流，测出它的分维和李雅普诺夫指数等
（4）构造
1）画奇异吸引子的图不是件平常易事。典型情况是，三维或更多维的轨道呈现越来越复杂
的路径，在空间涂成一团黑。把三维线团转换成平面图形。方法一：庞加莱映像 方法二：
埃农球状星团。P134 竖立切割型平面。（埃农吸引子不是一个点，而是一个有厚度的三
维的盘。
2） 肖的水钟制度
3) 意大利的佛朗西斯基尼利用计算机实验，构造出一个包含5个微分方程的系统，并由此产生了倍周期和吸引子。然而，在计算机之外，到流体实验室里去发现奇怪吸引子，仍然是一个严重挑战。单单依靠计算机实验，费根鲍姆和其它一些人的新理论是不会赢得广大的科学界的首肯的，因为为使非线性微分方程组数字化所需要的改变、妥协和近似太令人生疑。计算机要把现实劈成块，数目尽可能多，但终究太少。事实上，今天还没有一个计算机能完全模拟即使像利布沙伯的液氦腔这样简单的系统。
（4）探索
1）人们在具有随机性的一切领域寻求奇异吸引子。许多人论证地球天气可能处在奇怪吸引
子上；另一些人汇总了数百万股票市场数据，开始在那里寻找奇异吸引子。
2）《自然》杂志开展了关于地球气候是否遵从一个奇怪吸引子的争论
3）经济学家们在股市趋势里寻找可以识别的奇怪吸引子，但至今未找到。
4）在湍流中，能量消耗必然要导致相空间的收缩，从而收向吸引子。当然，这个吸引子不
会是不动点，因为流动永远不会静止下来。
自然界形成模式。有些模式在空间有序但随时间无序，另一些在时间有序但在空间无序。
某些模式是分形，表现出不同尺度上自相似的结构。另一些导致定态或振荡状态。
eg.洛伦兹天气模型 水轮 梅的生物种群
模式的形成已经成为了物理学和材料科学的一支。粒子如何聚集成团，放电如何分形传播，晶体如何生长等。
（三）.混沌
一．概念和性质
1.混沌的定义：混沌是指确定性动力系统因对初值敏感而表现出的不可预测性、随机性的运动。
2.混沌是过程的科学而不是状态的科学，是演化的科学而不是存在的科学
3.混沌科学中的运动新要素：分形和分岔，阵发和周期，叠毛巾微分同胚和光滑面条映像等。
4.奇异吸引子给出了混沌基本性质（对初始条件敏感的依赖性和混合性）的数学实质
5.抓住复杂性背后古怪而精致的结构
6.主张复杂系统有普适行为
7.消除决定论和概率论之间的鸿沟
8.扭转科学中简化论的倾向，即从系统的组成零件夸克、染色体、神经元等来作分析的倾向
9.相对论排除了对绝对空间和绝对时间的牛顿幻觉
量子论排除了对可控制的测量过程的牛顿迷梦
混沌则排除了拉普拉斯决定论的可预见性的幻想
二．传统研究方法
1.牛顿的希望是世界沿着决定性的道路展开，就像行星一样地遵守规律，像日月食和潮汐一样可以预测。
2.从宇宙的初始条件和指导宇宙演化的物理规律出发，计算宇宙的未来。
3.决定论的数值预报精密地刻画出宇宙飞船和导弹的路线，为什么对于风云雷电不能如法炮制呢？
4.拉普拉斯，这位18世纪的哲学家兼数学家曾经比任何人都染上了牛顿热。他设想过的最高智能是“用同样一个公式囊括大至宇宙中的最重天体，小至最轻原子行为。”
5.由于测量永远不可能是完善的，那么只要近似知道了一个系统的初始条件和理解了自然规律，就可以计算系统的近似行为。近似体现了事物的收敛性，任意小的影响是不会放大成为任意大的效果的。
6.经济预报家也遵守这一假定，虽然他们的成就不大显著。
用计算机模拟复杂系统不仅运用于天气预报，还服务于数理科学者和社会科学工作者。他们希望能预报一切事物，小至喷气发动机设计师们关心的小尺度气流，大至经济学家瞩目的金融流动。这些模型把复杂的方程组放在一起，目的在于把初值计量（气压或通货供应量）变成对未来发展趋势的模拟。程序员们希望计算结果不会因为许多不可避免的简化假定而失真太多。实际上许多计量经济模型对于未来的结果是极其盲目的。
7.虽然这些天气预报使全世界每年节约了几十亿美元，然而世界上最好的长于两三天的预报也仅仅是推测而已。
8.P261 治疗人体这台“最不稳定的、动态的无穷维机器”的传统方法，是线性的、约化主义的。一种基因--一种肽—一种酶—一种神经发送源—一种接受体—一种动物行为—一种临床症状—一种药物—一种临床估计尺度。它几乎统治了精神药理学的全部研究和实践。
10.从事实验的人很快明白，自己并非生活在完美无缺的世界中，寻求规则性曾是一切实验的基本要求。借助于发明一个理想的科学世界，使得规则性能与经验中的无序性区分开来。
标准线性科学具有局限性。
11.科学家们已经构筑起微分方程的宏大知识体系，微积分的应用促成了中世纪以来科学的大多数实际胜利，它本身是人类试图模拟周围变幻世界时最为精巧的构造。
约克说；“如果你能把一个微分方程的解写出来，它必定不是混沌的。”
科学家一旦面临非线性系统，就必须代之以线性近似。很少人懂得自然界的灵魂深处是如何地非线性。
12.经典几何学里的形状是线和面，圆和球，三角形和锥，它们代表着对现实的有力抽象。
13.解剖学掩盖了跨越不同尺度的统一性，而分形观点把握从大尺度到小尺度保持一致的分支行为。
14.物理学中一条基本假定，就是理解世界的方法在于分隔出它的组成部分，直到你明白了你认为是最基本的那些东西。然后，你就假定你还不懂的其它东西都是细节。
15. 动力系统中还会潜伏着混沌，它只有在非线性发挥其应用作用时才会破门而出。
三．自然界中的无序
1.无序存在于大气中、海洋湍流中、野生动物物种群数的涨落中、心脏和大脑的振动中。
2.混沌无所不在。
3.上升的香烟烟柱破碎成缭乱的漩涡
龙头滴水从稳定样式变成随机样式
4.不受拘束的大自然经常用无穷多自由度来表现自己—湍急的瀑布、不可预言的脑子都是例子。无穷多个模，无穷多自由度，无穷维
四．为何要呈现无序性
1.生物体必须响应快速而不可预见的变化的环境，没有任何心搏或呼吸节律可以锁到最简单的物理模型的严格周期性上。
2.周期状态是缺乏信息内容的
与多尺度、宽频带相联系的分形过程是富信息的。
3.当你在生物学中达到平衡，你就死了。如果我问你的大脑是不是一个平衡系统，我必须做的唯一事情就是请你几分钟之内不要胡思乱想，你自己就知道它不是一个平衡系统。
4.简单形状缺少人性，它们同自然界组织自身或者人类感官看待世界的方式不能共鸣。我们的美感是由有序和无序的和谐配置诱发的。
五．无序中的有序
1.云彩代表了自然界的一方面，既有结构又不可预言
2.自然界中充满了非周期系统的例子：动物种群数几乎有规则地涨落着，传染病的来临和消退也具有逗人的近似规律
3.洛伦兹天气模型
4.混沌是局部不可预言的，整体稳定的。
5.木星大红斑本身是像飓风一般的涡流系统。马库斯利用计算机再现了美国宇航局拍摄的实物照片。大红斑是一种自组织系统，是一种稳定的混沌。
7.云霞、树木、山脉、雪晶…所有这些物体的形状都是凝成物理形式的动力过程，它们的典型之处就是有序与无序的特定组合。
六．混沌的研究
1. 摆
（1）任何规则的振荡实际上源于摆的同类物。
（2）不理解摆，就不能真正理解湍流或其它复杂系统
（3）摆的动力学囊括了从激光到超导约瑟夫森结的高技术领域。
（4）某些化学反应同心脏跳动一样表现出类似摆的行为。
2.分形
（1）梅和约克那些人在20世纪70年代初期发现的那些图形，在有序和混沌行为之间具有复杂的边界。理解非线性动力学的关键结构是分形。
（2）梅/费根鲍姆 有序和混沌之间的边界与流体中层流与湍流之间的神秘边界相像。
（3）洛伦兹的工作中暗含了自相似性。在1963年的计算机上，他只能感觉而看不到这个精细结构。尺度变换也在物理学中成了新动向的一部分，而且它比曼德勃罗自己的工作更直接地引向混沌这门学科。
（4）分维是奇异吸引子的一个重要测度
3.相变
（1）斯文尼 研究相变—从固体到液体、从非磁体到磁体、从导体到超导体的转变。
设计了一台装置来测量二氧化碳在气液临变点附近的导热性质。
（2）相变很像混沌，涉及到只看微观细节似乎难以预言的宏观行为。
4.重正化群理论
再借助自相似性，每次消去一层，给出了拆掉复杂性的方法。
自相似性看来是湍流的一种特征：涨落上有涨落，漩涡中有漩涡。湍流中存在有序系统转
为混沌的神秘瞬间。但是没有人可以断定重正化群理论对处理这种有用，因为没有根据可
以认为这一转变遵从尺度变化的规律。只能说研究相变问题（尺度变换和重正化群）可以
给研究混沌提供启发。
.5.拓扑学
（1）使拓扑学和动力学联系起来的，正是借助几何形状使系统行为的整个范围形象化的可能性。
（2）斯梅尔马蹄—正是折叠才允许系统的行为产生尖锐的变化
（3）相空间—奇异吸引子
意味着尺度变换的性质，而他知道尺度变换是重要的，因为全部重正化理论依赖于此。
6.信息论
把混沌和信息论交织起来。当系统变得混沌以后，严格地由于不可预测性，产生持续的信息
流。湍流把能量从大尺度下传到小尺度，信息反过来从小尺度传到大尺度。
七．生物学和医学中的混沌
1.精神分裂症患者眼睛乱动的病例 P242
2.人体是复杂动力系统的典范。
3.在20世纪80年代，混沌带来了一种新的生理学。从整体上理解复杂系统，而与局部细节无关。
4.生物动力学
5.理论生物学
6.心脏中的混沌：正常心脏的节律是周期性的，但是有许多非周期性的病理状态。
心脏研究是生理学家、数学家和物理学家们合作的开端。
为各种节律起名字，就像为各种零件命名一样，使医生们感到安逸。它使得诊断有毛病的心脏可以具体化，而且使问题带上学术色彩。
最近20年在阐明膜生理学的许多本质性的细节方面成绩斐然，这涉及心脏所有零件的非常复杂的精确细致的工作机制。然而被忽视的是寻求它怎样工作的整体认识。
人工瓣膜产生湍流区和滞流区，停滞时形成凝块就会造成中风。这类凝块是制造人工心脏的致命障碍。
纤维性颤动各部分是正常工作的，是整体上出了差错，是复杂系统的失调。
使除纤颤器的设计从高价猜谜变得更为科学。
人工瓣膜、除纤颤器、药物配方等主要是基于试错法。“暗中摸索的艺术”
为什么保持了一生之久的节律，不间断地循环了20亿次乃至更多，经过放松和拉紧，加速和减速，会突然破坏成失控的、致命的、无效的狂动乱颤呢？
7.为什么混沌的理论可以用于心脏？
过去在数学研究和物理实验中见过的奇异的动力学行为，也存在于受到周期性扰动的生物振子中
8.狗、鸡胚胎实验 P255---看到了倍周期
9.心脏与生物钟之间有一个差别，一个甚至在简化的模型中也不能置之不理的差别，那就是心脏具有空间形状。
10.系统失调（那些正常振荡的系统停止振荡或者以一种新的出乎意料的方式振荡；平常不振荡的系统开始振荡）：呼吸失调（哮喘）、血液失调（白血病）。治疗这类失调可能要依靠扩展系统的频谱装备。
八．混沌的应用
1.许多其它科学家开始把混沌的形式体系用于人工智能研究。
2.严肃的认知科学家们再也不能把思维模拟为静态结构。他们认识到神经元往上的尺度阶梯，这种尺度阶梯提供了微观尺度与宏观尺度相互作用的可能性，而这一切又是湍流和其它复杂系统的特征
3.动力学家希望用混沌工具去解释完全发达的湍流。
4.无论是在实验室里研究化学反应，或是在三年野外考察中追踪昆虫种群，还是在模拟海洋温度变化，科学家们都不能再用传统的置之不理的方法来对待出乎意料的涨落或振荡的出现。
5.混沌提供了处理老数据的新鲜途径。
6.如何把艰难的数学用于杂乱的生物问题也是有分歧的。那些相信种群恒定的人，认为种群必受某种决定论机制的调节。那些确信种群无规则的人则争辩说，它们是由不不可预言的环境因素所制约。决定论的数学产生恒定行为，随机的外噪声产生随机行为。
7.生理学家们不再把器官看成静态结构，而看成规则和不规则振荡的复合体。
十二.理论与现实的差距
1.对于像温弗里这样探索生物系统整体拓扑的其它科学家，混沌是一个过分狭窄的名字。它意味着简单系统、费根鲍姆的一维映像、茹厄勒的二维、三维、分维的奇异吸引子。但是低维系统是一种特殊情况。他关心的是多维复杂性的规律。宇宙还有太多部分在低维混沌的范围之外。
2.P244 一位研究低维整体系统的非线性动力专家同一位一直在用数学工具的生物学家谈话时发生的事情。
你可以把模型搞得更复杂，更忠于现实，或者你可以使它更简单，更易于处理。只有最天真的科学家才相信，完美的模型是完全代表现实的模型。
3.如果想更深一层研究混沌，就必须有一个实际的框架，有一套把思想变成计算的方法。
有关键情节透露
