关于《确定性的终结》
爱因斯坦有一句名言：“对我们这些有坚定信念的物理学家来说，过去、现在和未来的区分是一种错觉，尽管这是一种持久的错觉。”在他的晚年，大数学家哥德尔给他了一份论文集，表示回到过去是可以的。但爱因斯坦仍然不感兴趣，并说，这种不可能性将使物理学家重新考察不可逆性难题。这正是普利高津等人所做的工作。对于爱因斯坦和吉布斯等人的观点：就对于轨道而言的个体观点和对于概率而言的统计观点是等价的。但是普利高津提出了质疑，难道对于不稳定系统就一定正确吗？
普利高津从他的青年时代就开始探索有关于“时间”的含义，对于哲学家来说，这往往是所有问题中最难的问题，这与人类存在的道德和本性密切相关。但是物理学家却认为他的问题很简单，因为这在很久之前就被牛顿和爱因斯坦所证明——时间被视为一个纯粹的几何参量。对于现有的动力学而言，它已经成功证明了时间可逆的过程，比如经典力学中月球的运动或者在量子力学中氢原子的运动。它还证明了过去和未来之间存在的不对称性的不可逆过程，比如加热过程。但是普利高津试图提出一种新的物理学表述，它与任何宇宙学考虑无关地解释这些性态之间的差异。他试图提出一种科学，这种科学不再局限于理想化和简单化的情形，而是反映出现实世界的复杂性，它把我们的创造性都视为在自然所有层次上出现的一个基本趋势。所以他说，我们有必要通过非平衡物理学，肇始于混沌概念的不稳定系统动力学来修正“时间之矢”。
修正“时间之矢”，这样或许就把概念上升到了形而上学的概念。我想，普利高津承认了时间作为“参与者”的作用，而不是像之前的大部分人把它仅仅视为一个物理常量。我从海德格尔的《存在与时间》(Sein und Zeit) 中为普利高津找到了这个思想的来源：所谓的时间性结构，被传统的形而上学说成是外在存在过程中的那种和这种存在者的过去、现在和将来的延续性，因而完全脱离了存在自身在表述的过程中的时间性的展现。从现象学的角度来看，一切的此在的存在的自我显现，在表述的过程中，只能说出它已存在的那种状态，都已经使过去的结构。而海德格尔通过对于存在的生存论的分析和对于现象学的应用，终于达到了存在自我显现的的目的，说出了存在的本真结构。普利高津不再将时间看做一个常量，而是一个时间之矢，这个时间之矢在大自然中都有相同的指向，它们都在同一个时间方向产生熵，根据定义这就是未来。
根据克劳修斯提出的热力学第二定律的经典表述，这基于一个不等式：dS≥0 。我们将dS分成deS和diS，deS是跨过系统边界转移的熵，其次，diS是系统内产生的熵。因此，dS=deS+diS 。现在我们可以这么说，无论边界条件如何，熵产生的diS总是≥0的，即不可逆过程产生熵。薛定谔在他的《生命是什么中》用熵产生和熵流讨论了生命的新陈代谢，他认为，如果有机体处于定态，那么它的熵随时间保持不变，dS=0，deS+diS=0，即deS是小于零的，于是他断言，生命是以负熵流为食。但是更为重要的是，生命与熵产生联系，从而与不可逆性产生联系。
而非平衡系统可以自发演化到复杂性增加的状态，物质在远离平衡态时获得了新的属性，涨落和不稳定性现在是十分正常的，物质变得更加活跃。对于化学反应来说，通常是由非线性方程所描述的，给定反应物A与F的值时，中间产物X的值会有很多解，但只有一个解对应的是热力学平衡和最大熵，这个解可以延伸到非平衡区域，我们将这个解成为“热力学分支”，一般说来，在距离平衡态的某个临界距离，热力学分支通常会失去稳定性，这个点就叫做分岔点。
在分岔点之外，出现了振荡化学反应，非平衡空间结构和化学波，这些就是所谓的耗散结构，热力学导出了化学中出现耗散结构的两个条件表述：第一是远离平衡情形由临界距离确定；第二是有催化步骤，比如由化合物X生成中间化合物Y以及又Y生成X。恰好生命系统中的许多反应，比如核苷酸编码蛋白质，蛋白质也编码核苷酸，是满足以上条件的。
根据振荡化学反应，在近平衡态，与熵产生联系的耗散具有最小值，而远离平衡态时正好相反，新的过程开始，熵产生增加。一旦耗散结构形成，对于振荡化学反应，时间的均匀性和对于非平衡图灵结构中的空间均匀性就都被打破了。热力学分岔是对称性破缺之源。
随着距平衡态距离增加而出现的逐次分岔，这种耗散结构的分岔可被认为是多样化和创新之源。因为不可逆过程描述了形成非平衡耗散结构的自然之基本特征。有了耗散结构的存在，就可以谈及自组织。在合成化学里，不同的反应步骤通常被仔细隔离。必须开发全新的技术来实现高级指导，并同时调节。自组织系统的优越性在于，复杂产物可以通过无与伦比的精确度和速度形成，就像在生物体中一样。
但是平衡热力学的异常成功，妨碍了其中出现耗散结构和自组织非平衡情形中物质的新属性的发现，类似的经典轨道理论和量子力学的异常成功，阻碍了动力学向统计层次的发展，阻碍了不可逆结构到对自然的基本描述之中。我们需要打破个体描述和系综之间的统计描述的等价性。
通过伯努利映射可以最为简单的表示混沌映射，将0到1间的数值每第二个乘以二，得到方程Xn+1=2Xn(mod1)如果用数值模拟来跟踪轨道，可以发现轨道是无常的。因为坐标X在每一步都乘以二，两条轨道之间的距离将成为2的n次方，也就是exp(ln2),仍然是mod1，用连续时间t，令λ=ln2，那么就是exp(tλ)，这λ就是李雅普诺夫常数，判断一个非线性系统是否存在混沌运动时，需要检查它的李雅普诺夫指数λ是否为正值。这表明，轨道是指数地发散，这就是确定性混沌的标志。伯努利映射一开始就引入一个指向一个方向的时间之矢，时间的对称性在运动方程中被打破，这是个不可逆的运动方程，是一个不可逆的系统。
接着普利高津考察了面包师变换。首先我们取一个边长为1的正方形，首先将它拉长成边长为2的矩形，然后再把该矩形平分，建造一个新的正方形。对于这个运动方程，是特别简单的，在每一步，当0≤x<0.5时，坐标（x,y)变为（2x,0.5y),而且当0.5<x≤1时，坐标变为（2x-1,(y+1)/2)。这个变换同样是可逆的，只需要我们将X和Y对换。在面包师变换中，X作为膨胀坐标，而Y作为压缩坐标，当正方形被拉长城矩形时，在垂直坐标方向上的点更加靠近在一起，由于每一次变换后沿水平坐标X两点间的距离加倍，
所以在n次变换之后，距离就变成了2n，同样，改写成exp(nln2)，若用n来衡量时间，那么李雅普诺夫常数又是ln2了，但对于压缩常数y而言，那它的李雅普诺夫常数就是-ln2。如果将正方形中的点和二进制表示所定义的双无穷数列{Un}联系起来：
其中Un取值0或者1，每个点x,y由级数...U-2,U-1,U0,U1,U2.....来表示，其中下标小于零的对应膨胀坐标X，下标大于零的对应的是压缩坐标Y。把这些表达式代入方程，我们将得到推移公式：Un'=Un-1,这又是一个伯努利推移。数字U0确定相空间代表点是处于单位正方形的左半部还是右半部，在左半部即U0=0，在右半部即U0=1.这有相同的时间随机性。所以点出现在左半部或者右半部的过程可以看作是一个伯努利推移。面包师变换是可逆的，时间可逆的，确定性的，复现的和混沌的，虽然尽管有这些特性，但是我们可以通过混沌在统计层次上进行描述来建立真正的不可逆性。对于混沌映射，动力学将导致两种不同类型的演化，t趋向正无穷时，是描述未来；t趋向负无穷时，是描述过去。如果我们用佩龙-弗罗贝尼乌斯算符来表述，它的本征值Un=(1/2m)n=exp(-n(mln2))这个表达式中，若n>0则表达的是未来的衰减，若n<0则表达的是过去的发散。包含于轨道描述中的两个时间方向被分开，动力学群被分为两个半群。自然本身由区分过去和未来的半群所描述，这就存在一个时间之矢。
普利高津认为，超越经典力学和量子力学通常表述的统计表述两个条件就是，第一要庞加莱共振的存在；第二是由退定域分布函数所描述的受扩展的与持续相互作用。
1872年玻耳兹曼在研究实际热力学过程的不可逆性即热力学第二定律的微观本质时，曾根据非平衡态的分布函数f（r，v，t）定义了一个函数H，并证明在孤立系统以非平衡态趋于平衡态的过程中，H随时间单调下降，在平衡态达到最小值，这就是H定理。玻耳兹曼认为，H函数与熵对应，H的减少与熵的增大对应 ，H定理为热力学第二定律提供了统计解释。但是庞加莱定理似乎与H定理相矛盾。根据庞加莱定理，当H函数随时间单调地减少之后，只要经过足够长的时间，总可以重新增大，回复到初始的数值。对此，玻耳兹曼的回答是，H定理具有统计性质，即非平衡态总是以绝对优势的概率趋于平衡态，逆过程并非完全不可能，只是概率极其微小。
经典力学是不完备的，因为它没有包含与熵增联系的不可逆过程，这其中就包含了不可积性和不可逆性。而不可积性是由共振所导致的，而共振就表达了频率所满足的必须条件。对于庞加莱系统，庞加莱共振与对应于各种运动模式的频率相联系。例如频率Wk依赖于波长k，我们考虑频率随波长的变化的不可积系统时，满足庞加莱系统的定义。系统所占据的体积足够大，大到表面效应可以忽略的程度，那就可以满足这个条件。运用刘维尔算符L，确定概率分布ρ（q,p,t)的演化。若分布函数是与时间无关，那么Lρ=0，这对应于热力学平衡，这样ρ就仅依赖于能量，它是一个运动不变量。若在希尔伯特空间里有实本征值Ln，时间演化证明是振荡相的叠加。但实际上，刘维尔方程的形式解为：ρ（t)=exp(-itL)ρ(0)。振荡相为exp(-itLn)=costLn-isintLn，这也与本征值Ln相联系，未来和过去起着同样作用。所以我们需要一个像Ln=Wn-iγn这样的复本征值。这将产生与时间演化有关的指数衰减exp(-γnt)，它在t>0时候减小，它在t<0时候增加，这样时间的对称性就被打破。而这么做的话，我们就必须离开希尔伯特空间，这样我们就要考虑到相互作用的问题。
相互作用，比如瞬时相互作用，可以用定域分布函数来描述，但要描述一种持续作用，我们就要使用退定域分布函数。比如，在一维系统里，定域分布函数集中在这条线的有限区域内。而退定域分布函数则扩展到整条线。用散射的形式来描述，我们用粒子射向散射中心。
粒子束首先到达散射中心，然后互相作用，再离开，最后又继续做自由运动。这里的相互作用是瞬时的，而退定域分布是恰恰相反地，它是粒子束扩散在整条轴，散射既无开始，也无终止，这就是所谓的持续散射。虽然在物理史上，通过瞬时散射，我们得以研究基本粒子之间的相互作用，比如质子和电子之间的相互作用，但是像气体和液体，碰撞是永不停止的，是一个持续相互作用。瞬时相互作用对应的是定域分布函数，而持续作用对应的是退定域分布函数；而持续相互作用与扩展到整个系统的退定域分布函数相关联。
因此我们就用退定域分布函数来描述热力学系统。退定域函数在△X趋于正无穷时导致了以K为自变量的奇异函数，在平衡的时候，分布函数ρ是哈密顿量的函数。而哈密顿量包含动能，动能是动量的函数，而不是坐标的函数。所以哈密顿量包含一个具有奇异傅里叶变换的退定域部分。所以是哈密顿量的平衡分布，离开了希尔伯特空间。假定哈密顿量中的势能V为两个粒子相互作用之和，则它满足粒子j和粒子n之间的相互作用修正两个波矢Kj，Kn，但是它们的加和是守恒的。这里有守恒律Kj+Kn=K'j+K'n。K‘j和K'n是修正过后的波矢。我们用图解的方式来描述，在每个事件，波矢K和动量P均被修正，但是它们在事件之间是保持守恒的。
现在我们考虑波矢守恒律。其中每一个事件都是可以用有两条入线Kj,Kn和两条出线K'j和K'n来表示，且它们的和是相等的。它对应着粒子j和n之间二粒子关联p2的修正。但我们也可以从其中Kj=Kn=0的关联真空出发，产生二粒子关联Pkj,Pkn，于是我们得到了关联产生图。也有消灭片断，将二粒子关联变成真空。
现在我们再把庞加莱共振加入，庞加莱共振和动力学过程进行耦合，这样可以产生起始于给定关联态且最终返回相同关联态新动力学的过程。这些过程打破了时间对称性，导致了总是在不可逆过程中的唯象理论中猜测的扩散。我们得到了不可约的复杂谱图表示，复杂意味着时间对称性被打破，而不可约性意味着我们不能回的轨道描述。对于经典力学所用的轨道描述是受到严格限制的，而热力学需要在平衡时和离开平衡时的统计方法。而我们周围现象的绝大多数都是庞加莱系统。而瞬时作用，并不代表我们在自然界所碰到的情况。作为庞加莱共振的结果产生于我们统计描述中的碰撞过程至关重要，它不仅演化模式和热力学描述一致，还打破了时间的对称性。
而对于量子力学，可以把本征值扩散到希尔伯特空间之外的奇异函数。对于薛定谔方程，形式解是Ψ(t)=U(t)Ψ(0)其中U(t)=exp(-iHt);U(t)把时间t的波函数值和初始时刻为零时波函数值相联系的演化算符。无论t1,t2符合如何，都有U(t1)U(t2)=U(t1+t2),这样看来未来和过去扮演着一样的角色，但是在希尔伯特空间之外，动力学群分裂成两个半群，从而存在相应于激发原子的两个函数：第一个函数φ1在未来呈指数衰减，而φ2在过去呈指数衰减。但是这两个半群中在自然界只能实现一个。伯姆和苏达尚对其作出了努力，但是在他们的方案中，核心量仍然是概率幅，这样还是无法解释量子力学的基本佯谬（波函数坍塌）。所以得从与波函数相联系的个体走向与系综相联系的统计描述。但是仅仅将波函数扩展到希尔伯特空间之外是不够的。En=Wn-iγn的负能量将被得到，其中Wn是实部，γn描述的是激发原子或不稳定粒子衰变的寿命，但仍然不能解释趋于平衡相联系的不可逆过程。以为系统仍为可积的。
但根据里兹-里德伯定则，光谱学中测得的每一个频率都是两个量子能级的两数之差。然而对于产生使系统趋向平衡的不可逆的系统，这不再成立。作了修正之后，刘维尔方程的形式解为i(∂ρ/∂t)=Lρ，其中Lρ在量子理论里是哈密顿量和ρ的对易式，它可以写成ρ(t)=e-iHtρ(0)e+iHt，这有两个独立的动态演化，一个是与e-iHt有关系，另一个与eiHt有关，一个向着未来演化，一个向着过去演化，如果是这样的话，那就还保持了薛定谔方程的时间对称性。但是若我们包含了与两个时间演化（e-iHt和eiHt的耦合）的庞加莱共振时，情况就不再是这样。为了研究时间对称性破缺，从ρ(t)=e-itLρ(0)出发，此时描述了刘维尔空间中的单一时间序列。同样的，我们也可以在量子力学中确认相同的事件，引入扩散，破坏时间对称性。所以我们得引入一个变量，就像在经典力学中引入的波矢一样。这个新变量，从动量表象中的密度矩阵中ρ(p,p')出发，密度矩阵是两组变量p和p'的函数。于是，我们引入新变量k=p-p'和P=(p+p')/2，同样可以表示为ρk(P)，这样k在量子力学中所起的作用和波矢在经典力学中所起的作用是相同的。所以可以再接着像描述经典力学中一样去分析了。普利高津的量子力学的基本表述得到了三个结论：第一是刘维尔算符的本征值不再是从薛定谔方程得到的哈密顿量的本征值之差。所以，里兹-里德伯定则要被违背。因为不再可积；第二是与薛定谔方程的线性相联系的量子叠加原理被违背；第三是刘维尔算符的本征函数不用概率幅或者波函数而用概率本身来表达。而他也提出了自己最疯狂的猜想：轨道不是首要的对象而是平面波叠加的结果。庞加莱共振破坏了这种叠加的相干性，产生了不可约的统计描述。
关于1927年的索尔维物理学会议上那场经典的论战，玻尔说：“主要争论在于，物理学证据的无歧义交流，要求采用被经典物理词汇所适当加工的通过语言来表达实验安排和观察记录。”普利高津认为，完成测量的仪器，无论是机器还是人的感觉，都必须满足包括时间对称性破缺在内的受扩展的动力学定律。可积的时间可逆系统确实存在，但是我们没有办法去真正的测量。所以我们需要打破时间对称性的机器。而对于概率这个问题，原来被认为是人类的无知所导致的一种不得不接受的结果，但是，阅读了这本书以后，我觉得应该像波普尔所说的那样：“我自己的观点是，非决定论与实在论是相容的，承认这件事，是促使我们采用整个量子理论一致的客观地认识论，一种概率的客观论诠释概率是自然法则。”
德国哲学家本雅明在他的《技术复制时代的艺术作品》（das Kunstwerk im Zeitalter seiner technischen reproduzierbarkeit ) 中提到，时间再也不像古典自然科学和哲学那样，不是只具有单向性、一次性、不重复性、不可逆性，不只是一种孤立的流程和抽象的框架。而是同人们行动及其成果相互包含、相互伴随、相互穿插所具有循环性、重复性、潜在性和延展性。时间就成为了一个象征，而具有象征性的时间，实际上就是成为其他一切事物的象征性条件。而德国作家赫尔曼黑塞在他的作品《悉达多》（Siddhartha)中写到的：“孩童的悉达多，成人的悉达多以及老年的悉达多，只是被影子——而不是被真实——分隔着。悉达多以往的生活也不是在过去里，而他的死亡和复归于梵天，也不在于未来。没有事情将要是，没有事情曾经是，每件事情都是真实与存在。”时间之谜，人类该如何解释时间，或许将永远成为一个永恒美丽的谜团，等待着无数的杰出的人们去探讨。
普利高津从他的青年时代就开始探索有关于“时间”的含义，对于哲学家来说，这往往是所有问题中最难的问题，这与人类存在的道德和本性密切相关。但是物理学家却认为他的问题很简单，因为这在很久之前就被牛顿和爱因斯坦所证明——时间被视为一个纯粹的几何参量。对于现有的动力学而言，它已经成功证明了时间可逆的过程，比如经典力学中月球的运动或者在量子力学中氢原子的运动。它还证明了过去和未来之间存在的不对称性的不可逆过程，比如加热过程。但是普利高津试图提出一种新的物理学表述，它与任何宇宙学考虑无关地解释这些性态之间的差异。他试图提出一种科学，这种科学不再局限于理想化和简单化的情形，而是反映出现实世界的复杂性，它把我们的创造性都视为在自然所有层次上出现的一个基本趋势。所以他说，我们有必要通过非平衡物理学，肇始于混沌概念的不稳定系统动力学来修正“时间之矢”。
修正“时间之矢”，这样或许就把概念上升到了形而上学的概念。我想，普利高津承认了时间作为“参与者”的作用，而不是像之前的大部分人把它仅仅视为一个物理常量。我从海德格尔的《存在与时间》(Sein und Zeit) 中为普利高津找到了这个思想的来源：所谓的时间性结构，被传统的形而上学说成是外在存在过程中的那种和这种存在者的过去、现在和将来的延续性，因而完全脱离了存在自身在表述的过程中的时间性的展现。从现象学的角度来看，一切的此在的存在的自我显现，在表述的过程中，只能说出它已存在的那种状态，都已经使过去的结构。而海德格尔通过对于存在的生存论的分析和对于现象学的应用，终于达到了存在自我显现的的目的，说出了存在的本真结构。普利高津不再将时间看做一个常量，而是一个时间之矢，这个时间之矢在大自然中都有相同的指向，它们都在同一个时间方向产生熵，根据定义这就是未来。
根据克劳修斯提出的热力学第二定律的经典表述，这基于一个不等式：dS≥0 。我们将dS分成deS和diS，deS是跨过系统边界转移的熵，其次，diS是系统内产生的熵。因此，dS=deS+diS 。现在我们可以这么说，无论边界条件如何，熵产生的diS总是≥0的，即不可逆过程产生熵。薛定谔在他的《生命是什么中》用熵产生和熵流讨论了生命的新陈代谢，他认为，如果有机体处于定态，那么它的熵随时间保持不变，dS=0，deS+diS=0，即deS是小于零的，于是他断言，生命是以负熵流为食。但是更为重要的是，生命与熵产生联系，从而与不可逆性产生联系。
而非平衡系统可以自发演化到复杂性增加的状态，物质在远离平衡态时获得了新的属性，涨落和不稳定性现在是十分正常的，物质变得更加活跃。对于化学反应来说，通常是由非线性方程所描述的，给定反应物A与F的值时，中间产物X的值会有很多解，但只有一个解对应的是热力学平衡和最大熵，这个解可以延伸到非平衡区域，我们将这个解成为“热力学分支”，一般说来，在距离平衡态的某个临界距离，热力学分支通常会失去稳定性，这个点就叫做分岔点。
在分岔点之外，出现了振荡化学反应，非平衡空间结构和化学波，这些就是所谓的耗散结构，热力学导出了化学中出现耗散结构的两个条件表述：第一是远离平衡情形由临界距离确定；第二是有催化步骤，比如由化合物X生成中间化合物Y以及又Y生成X。恰好生命系统中的许多反应，比如核苷酸编码蛋白质，蛋白质也编码核苷酸，是满足以上条件的。
根据振荡化学反应，在近平衡态，与熵产生联系的耗散具有最小值，而远离平衡态时正好相反，新的过程开始，熵产生增加。一旦耗散结构形成，对于振荡化学反应，时间的均匀性和对于非平衡图灵结构中的空间均匀性就都被打破了。热力学分岔是对称性破缺之源。
随着距平衡态距离增加而出现的逐次分岔，这种耗散结构的分岔可被认为是多样化和创新之源。因为不可逆过程描述了形成非平衡耗散结构的自然之基本特征。有了耗散结构的存在，就可以谈及自组织。在合成化学里，不同的反应步骤通常被仔细隔离。必须开发全新的技术来实现高级指导，并同时调节。自组织系统的优越性在于，复杂产物可以通过无与伦比的精确度和速度形成，就像在生物体中一样。
但是平衡热力学的异常成功，妨碍了其中出现耗散结构和自组织非平衡情形中物质的新属性的发现，类似的经典轨道理论和量子力学的异常成功，阻碍了动力学向统计层次的发展，阻碍了不可逆结构到对自然的基本描述之中。我们需要打破个体描述和系综之间的统计描述的等价性。
通过伯努利映射可以最为简单的表示混沌映射，将0到1间的数值每第二个乘以二，得到方程Xn+1=2Xn(mod1)如果用数值模拟来跟踪轨道，可以发现轨道是无常的。因为坐标X在每一步都乘以二，两条轨道之间的距离将成为2的n次方，也就是exp(ln2),仍然是mod1，用连续时间t，令λ=ln2，那么就是exp(tλ)，这λ就是李雅普诺夫常数，判断一个非线性系统是否存在混沌运动时，需要检查它的李雅普诺夫指数λ是否为正值。这表明，轨道是指数地发散，这就是确定性混沌的标志。伯努利映射一开始就引入一个指向一个方向的时间之矢，时间的对称性在运动方程中被打破，这是个不可逆的运动方程，是一个不可逆的系统。
接着普利高津考察了面包师变换。首先我们取一个边长为1的正方形，首先将它拉长成边长为2的矩形，然后再把该矩形平分，建造一个新的正方形。对于这个运动方程，是特别简单的，在每一步，当0≤x<0.5时，坐标（x,y)变为（2x,0.5y),而且当0.5<x≤1时，坐标变为（2x-1,(y+1)/2)。这个变换同样是可逆的，只需要我们将X和Y对换。在面包师变换中，X作为膨胀坐标，而Y作为压缩坐标，当正方形被拉长城矩形时，在垂直坐标方向上的点更加靠近在一起，由于每一次变换后沿水平坐标X两点间的距离加倍，
所以在n次变换之后，距离就变成了2n，同样，改写成exp(nln2)，若用n来衡量时间，那么李雅普诺夫常数又是ln2了，但对于压缩常数y而言，那它的李雅普诺夫常数就是-ln2。如果将正方形中的点和二进制表示所定义的双无穷数列{Un}联系起来：
其中Un取值0或者1，每个点x,y由级数...U-2,U-1,U0,U1,U2.....来表示，其中下标小于零的对应膨胀坐标X，下标大于零的对应的是压缩坐标Y。把这些表达式代入方程，我们将得到推移公式：Un'=Un-1,这又是一个伯努利推移。数字U0确定相空间代表点是处于单位正方形的左半部还是右半部，在左半部即U0=0，在右半部即U0=1.这有相同的时间随机性。所以点出现在左半部或者右半部的过程可以看作是一个伯努利推移。面包师变换是可逆的，时间可逆的，确定性的，复现的和混沌的，虽然尽管有这些特性，但是我们可以通过混沌在统计层次上进行描述来建立真正的不可逆性。对于混沌映射，动力学将导致两种不同类型的演化，t趋向正无穷时，是描述未来；t趋向负无穷时，是描述过去。如果我们用佩龙-弗罗贝尼乌斯算符来表述，它的本征值Un=(1/2m)n=exp(-n(mln2))这个表达式中，若n>0则表达的是未来的衰减，若n<0则表达的是过去的发散。包含于轨道描述中的两个时间方向被分开，动力学群被分为两个半群。自然本身由区分过去和未来的半群所描述，这就存在一个时间之矢。
普利高津认为，超越经典力学和量子力学通常表述的统计表述两个条件就是，第一要庞加莱共振的存在；第二是由退定域分布函数所描述的受扩展的与持续相互作用。
1872年玻耳兹曼在研究实际热力学过程的不可逆性即热力学第二定律的微观本质时，曾根据非平衡态的分布函数f（r，v，t）定义了一个函数H，并证明在孤立系统以非平衡态趋于平衡态的过程中，H随时间单调下降，在平衡态达到最小值，这就是H定理。玻耳兹曼认为，H函数与熵对应，H的减少与熵的增大对应 ，H定理为热力学第二定律提供了统计解释。但是庞加莱定理似乎与H定理相矛盾。根据庞加莱定理，当H函数随时间单调地减少之后，只要经过足够长的时间，总可以重新增大，回复到初始的数值。对此，玻耳兹曼的回答是，H定理具有统计性质，即非平衡态总是以绝对优势的概率趋于平衡态，逆过程并非完全不可能，只是概率极其微小。
经典力学是不完备的，因为它没有包含与熵增联系的不可逆过程，这其中就包含了不可积性和不可逆性。而不可积性是由共振所导致的，而共振就表达了频率所满足的必须条件。对于庞加莱系统，庞加莱共振与对应于各种运动模式的频率相联系。例如频率Wk依赖于波长k，我们考虑频率随波长的变化的不可积系统时，满足庞加莱系统的定义。系统所占据的体积足够大，大到表面效应可以忽略的程度，那就可以满足这个条件。运用刘维尔算符L，确定概率分布ρ（q,p,t)的演化。若分布函数是与时间无关，那么Lρ=0，这对应于热力学平衡，这样ρ就仅依赖于能量，它是一个运动不变量。若在希尔伯特空间里有实本征值Ln，时间演化证明是振荡相的叠加。但实际上，刘维尔方程的形式解为：ρ（t)=exp(-itL)ρ(0)。振荡相为exp(-itLn)=costLn-isintLn，这也与本征值Ln相联系，未来和过去起着同样作用。所以我们需要一个像Ln=Wn-iγn这样的复本征值。这将产生与时间演化有关的指数衰减exp(-γnt)，它在t>0时候减小，它在t<0时候增加，这样时间的对称性就被打破。而这么做的话，我们就必须离开希尔伯特空间，这样我们就要考虑到相互作用的问题。
相互作用，比如瞬时相互作用，可以用定域分布函数来描述，但要描述一种持续作用，我们就要使用退定域分布函数。比如，在一维系统里，定域分布函数集中在这条线的有限区域内。而退定域分布函数则扩展到整条线。用散射的形式来描述，我们用粒子射向散射中心。
粒子束首先到达散射中心，然后互相作用，再离开，最后又继续做自由运动。这里的相互作用是瞬时的，而退定域分布是恰恰相反地，它是粒子束扩散在整条轴，散射既无开始，也无终止，这就是所谓的持续散射。虽然在物理史上，通过瞬时散射，我们得以研究基本粒子之间的相互作用，比如质子和电子之间的相互作用，但是像气体和液体，碰撞是永不停止的，是一个持续相互作用。瞬时相互作用对应的是定域分布函数，而持续作用对应的是退定域分布函数；而持续相互作用与扩展到整个系统的退定域分布函数相关联。
因此我们就用退定域分布函数来描述热力学系统。退定域函数在△X趋于正无穷时导致了以K为自变量的奇异函数，在平衡的时候，分布函数ρ是哈密顿量的函数。而哈密顿量包含动能，动能是动量的函数，而不是坐标的函数。所以哈密顿量包含一个具有奇异傅里叶变换的退定域部分。所以是哈密顿量的平衡分布，离开了希尔伯特空间。假定哈密顿量中的势能V为两个粒子相互作用之和，则它满足粒子j和粒子n之间的相互作用修正两个波矢Kj，Kn，但是它们的加和是守恒的。这里有守恒律Kj+Kn=K'j+K'n。K‘j和K'n是修正过后的波矢。我们用图解的方式来描述，在每个事件，波矢K和动量P均被修正，但是它们在事件之间是保持守恒的。
现在我们考虑波矢守恒律。其中每一个事件都是可以用有两条入线Kj,Kn和两条出线K'j和K'n来表示，且它们的和是相等的。它对应着粒子j和n之间二粒子关联p2的修正。但我们也可以从其中Kj=Kn=0的关联真空出发，产生二粒子关联Pkj,Pkn，于是我们得到了关联产生图。也有消灭片断，将二粒子关联变成真空。
现在我们再把庞加莱共振加入，庞加莱共振和动力学过程进行耦合，这样可以产生起始于给定关联态且最终返回相同关联态新动力学的过程。这些过程打破了时间对称性，导致了总是在不可逆过程中的唯象理论中猜测的扩散。我们得到了不可约的复杂谱图表示，复杂意味着时间对称性被打破，而不可约性意味着我们不能回的轨道描述。对于经典力学所用的轨道描述是受到严格限制的，而热力学需要在平衡时和离开平衡时的统计方法。而我们周围现象的绝大多数都是庞加莱系统。而瞬时作用，并不代表我们在自然界所碰到的情况。作为庞加莱共振的结果产生于我们统计描述中的碰撞过程至关重要，它不仅演化模式和热力学描述一致，还打破了时间的对称性。
而对于量子力学，可以把本征值扩散到希尔伯特空间之外的奇异函数。对于薛定谔方程，形式解是Ψ(t)=U(t)Ψ(0)其中U(t)=exp(-iHt);U(t)把时间t的波函数值和初始时刻为零时波函数值相联系的演化算符。无论t1,t2符合如何，都有U(t1)U(t2)=U(t1+t2),这样看来未来和过去扮演着一样的角色，但是在希尔伯特空间之外，动力学群分裂成两个半群，从而存在相应于激发原子的两个函数：第一个函数φ1在未来呈指数衰减，而φ2在过去呈指数衰减。但是这两个半群中在自然界只能实现一个。伯姆和苏达尚对其作出了努力，但是在他们的方案中，核心量仍然是概率幅，这样还是无法解释量子力学的基本佯谬（波函数坍塌）。所以得从与波函数相联系的个体走向与系综相联系的统计描述。但是仅仅将波函数扩展到希尔伯特空间之外是不够的。En=Wn-iγn的负能量将被得到，其中Wn是实部，γn描述的是激发原子或不稳定粒子衰变的寿命，但仍然不能解释趋于平衡相联系的不可逆过程。以为系统仍为可积的。
但根据里兹-里德伯定则，光谱学中测得的每一个频率都是两个量子能级的两数之差。然而对于产生使系统趋向平衡的不可逆的系统，这不再成立。作了修正之后，刘维尔方程的形式解为i(∂ρ/∂t)=Lρ，其中Lρ在量子理论里是哈密顿量和ρ的对易式，它可以写成ρ(t)=e-iHtρ(0)e+iHt，这有两个独立的动态演化，一个是与e-iHt有关系，另一个与eiHt有关，一个向着未来演化，一个向着过去演化，如果是这样的话，那就还保持了薛定谔方程的时间对称性。但是若我们包含了与两个时间演化（e-iHt和eiHt的耦合）的庞加莱共振时，情况就不再是这样。为了研究时间对称性破缺，从ρ(t)=e-itLρ(0)出发，此时描述了刘维尔空间中的单一时间序列。同样的，我们也可以在量子力学中确认相同的事件，引入扩散，破坏时间对称性。所以我们得引入一个变量，就像在经典力学中引入的波矢一样。这个新变量，从动量表象中的密度矩阵中ρ(p,p')出发，密度矩阵是两组变量p和p'的函数。于是，我们引入新变量k=p-p'和P=(p+p')/2，同样可以表示为ρk(P)，这样k在量子力学中所起的作用和波矢在经典力学中所起的作用是相同的。所以可以再接着像描述经典力学中一样去分析了。普利高津的量子力学的基本表述得到了三个结论：第一是刘维尔算符的本征值不再是从薛定谔方程得到的哈密顿量的本征值之差。所以，里兹-里德伯定则要被违背。因为不再可积；第二是与薛定谔方程的线性相联系的量子叠加原理被违背；第三是刘维尔算符的本征函数不用概率幅或者波函数而用概率本身来表达。而他也提出了自己最疯狂的猜想：轨道不是首要的对象而是平面波叠加的结果。庞加莱共振破坏了这种叠加的相干性，产生了不可约的统计描述。
关于1927年的索尔维物理学会议上那场经典的论战，玻尔说：“主要争论在于，物理学证据的无歧义交流，要求采用被经典物理词汇所适当加工的通过语言来表达实验安排和观察记录。”普利高津认为，完成测量的仪器，无论是机器还是人的感觉，都必须满足包括时间对称性破缺在内的受扩展的动力学定律。可积的时间可逆系统确实存在，但是我们没有办法去真正的测量。所以我们需要打破时间对称性的机器。而对于概率这个问题，原来被认为是人类的无知所导致的一种不得不接受的结果，但是，阅读了这本书以后，我觉得应该像波普尔所说的那样：“我自己的观点是，非决定论与实在论是相容的，承认这件事，是促使我们采用整个量子理论一致的客观地认识论，一种概率的客观论诠释概率是自然法则。”
德国哲学家本雅明在他的《技术复制时代的艺术作品》（das Kunstwerk im Zeitalter seiner technischen reproduzierbarkeit ) 中提到，时间再也不像古典自然科学和哲学那样，不是只具有单向性、一次性、不重复性、不可逆性，不只是一种孤立的流程和抽象的框架。而是同人们行动及其成果相互包含、相互伴随、相互穿插所具有循环性、重复性、潜在性和延展性。时间就成为了一个象征，而具有象征性的时间，实际上就是成为其他一切事物的象征性条件。而德国作家赫尔曼黑塞在他的作品《悉达多》（Siddhartha)中写到的：“孩童的悉达多，成人的悉达多以及老年的悉达多，只是被影子——而不是被真实——分隔着。悉达多以往的生活也不是在过去里，而他的死亡和复归于梵天，也不在于未来。没有事情将要是，没有事情曾经是，每件事情都是真实与存在。”时间之谜，人类该如何解释时间，或许将永远成为一个永恒美丽的谜团，等待着无数的杰出的人们去探讨。
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