书中一道几何作图题的解法

书中作者参加莫斯科大学入学考试遇到一道作图题
我想了半天想出来，直接用尺规可以做出，无需“反演”

如图

已知圆O，定点A、B
1。做线段AB的垂直平分线
2。在线上任取一点P，以PA为半径做圆交圆O与C、D两点
3。直线AB和CD相交于点E
4。过点E做圆O的两条切线
5。两个切点G、F即是所求的切点

证明：EA×EB=EC×ED=EG^2=EF^2
所以圆FAB，圆GAB都是和圆O相切