线性代数应该这样学 各章总结和感受

以下内容是初读此书时写的，有些内容经过一段时间的学习发现许多东西并不准确（且幼稚）但也不想修改。如果是做纯数research（phd之类的）这只能是基础中的基础（找professor时候说我认真学完了这本书他鄙视了一番，you should read xxxx, not liike Sheldon Axler），属于入门级读物，这本书的内容必然是得滚瓜烂熟。因为比较容易，工科什么的确实值得看一看，对锻炼思维挺有帮助的。

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在美国，这本书一般普遍用作第二本学习linear algebra的教材（第一本一般是Lay的Linear Algebra and Its Applications，非数学系用的教材），而且一般是放在math的upper的课程里面。意思基本上就是除了和数学极其相关的专业，工科之类若是不感兴趣还是别读这书了。总的来说，这本书作为Halmos大作Finite-dimensional vector spaces的精神续作，是一本十分有趣的读物。

没切身体会过中国的大学教育，不过就高中看过不少中文线代教材，大概70%是从行列式开始，30%是从其他什么多项式或者数域或者矩阵开始，这种几何式的线代讲法在中国少之又少，可以说是并不存在。其实并不能说孰优孰劣，不得不说外语教材根本不怎么培养做题能力，更多的是理解上的东西。中国这边的矩阵为中心的教育很大程度来源于前苏联，和最早一批中国数学家高超矩阵计算能力。当时好像有句俗语“华罗庚的学生会打洞”来着。其实我感觉中国这种线代的教育还是可以的，培养了各种实用的能力，之后理解方面的想学的可以自己再探究，对已经知道的东西深入理解的话，会感觉非常爽。

这书是很纯的数学读物，有强烈的作者风格，没有任何application的东西，是本很有意思的书。我做题做到141页的时候，看到上面标的是100sqrt(2)，哈哈，说真的国内的教材都是大而全，不可能有这种可爱的玩笑。

这本书我觉得两个关键词，一个是linear map，另一个是operator

第一章 具体的定义了向量，这和第一次学线性代数不同，向量的意思是向量空间的元素，所以以前认为的所谓向量其实是实欧几里得空间里的向量，并不是向量的准确定义。作者举了函数，无穷数列等等作为向量的例子，但实际上抽象的向量远不止这些。然后讲了直和，没什么难的。这章习题总体也比较简单。特别提下1.C 13题 这题可以推广到n，有限情况用不等式估计，无限维用codimension

第二章 这章就是逐渐建立了如span basis的概念，因为丝毫没提矩阵之类的，还是在抽象的向量空间（并非F^n）上建立的，所以有些技巧，不过建立的顺序现在我也不是很记得住了。最后是建立了dimension的概念，别的书应该是先出矩阵，再出rank，再用rank定义dimension；这本书相当于是把dimension定义成了basis的长度。提一下2.34，作者对infinite dimensional说的有点问题，无限维的情况是等价于Zorn's Lemma的

第三章 这章终于开始提到关键的linear map了，从3.A到之后难度逐渐递增。然后提到linear map就是矩阵，这里只要是T对应的矩阵，必然是基于一个特别的basis的，比如之前学的矩阵实际上是R^n上以standard basis居多，然后基的变换是之后的一部分重要内容。然后是isomorphic，这是用存在一个linear map来定义的，导致习题构造性居多（习题不能用维数的公式来证明，因为可能V是无限维的！所以还是要老老实实构造），然后是积空间和商空间，对偶空间，不是很难，主要是在几个向量空间中通过linear map组合出新的向量空间，搞清楚定义就好。注意商空间V/U=0的话是说最后能表示成0+U，不是0。

第四章 多项式没什么好说的，之前以为作者证明了代数基本定理，还是我想多了，还是要用复分析，因为以前学过数学竞赛感觉多项式的东西都和简单。

第五章 花了好多篇幅证了一些用行列式很容易理解的结论，搞得我都不想仔细看证明。习题的话5.C第一题要注意可能是无限维的，并且在最后一题是求斐波那契数列的通项很有意思，实际上1,1,1,0或者1,0,1,1这种2*2的矩阵和斐波那契数列的联系是很紧密的，很多有趣的性质都可以用线性代数的方法退出来。这一章我回过头来想没啥意思，不知道当初时间花在哪了，除了开头的invariant space和eigenvalue的联系有点意思，后面都是以前学过的内容。

第六章 这一章通过抽象定义内积，让我发现以前总在说什么“柯西不等式”的”代数形式“”向量形式“”积分形式“，其实就都是一个东西！这种大一统的感觉非常爽，主要是”向量“的各种有关内积，范数(norm)的等式／不等式，以前以为是仅仅对欧几里得空间的向量成立。现在却是对包括泛函空间在内的各种抽象vector space都成立！这样一下子柯西不等式就牛逼了起来，以前所谓的柯西不等式各种形式不过是取了不同的向量空间而已。之后的话内容没啥特别的，倒是习题难度不断增大。这里面有很多非常困难的题目（不想吐槽短评里键盘侠说这书题目适合给基础差的美国土著做了，这些题我和北大数院的同学讨论，他们都没法短时间内做出来），比方说6.A.5的infinite-dimensional的情况，6.B.11的infinite-dimensional的情况（尤其是C），6.B.14，6.B.15，有好的做法希望能多多分享。

第七章 终于开始设计全书重点——operater了，当这章把Hermitian叫做self-adjoint的时候，我突然觉得这本书好大白话（叫null不叫kernel，叫inner product space不叫unitary linear space或者pre-Hilbert space，不够装逼)，据我和国内同学联系，这章国内线性代数课一般不上。不过这章也就是一片森林里给你看了几片叶子，7.C一片片列举定理，但是习题不如上一章难，数量上也不够多，没能涉及所有知识点，总觉得难以完全掌握。不过让我对泛函分析充满了兴趣倒是真的，也能为以后学习打下思维上的基础。7.D开篇那个比喻还是挺有意思的，值得一读。后面用isometry代替了unitary的说法，用sqrt(TT*)的表示代替了self-adjoint的P。极分解奇异值分解这种东西好像国内教材讲的少，估计要到泛函才会提到。哦还有非常重要的一点！注意看本章的第一页，一直表示vector space的V在这章开始全是finite-dimensional vector space了，没注意的话之后读起来会很困难。

第八章 这一章不用行列式建立了特征多项式还有Cayley-Hamilton定理（C上的），挺有意思的。但是因为行列式先入为主，这一章我基本是看一个定理，然后发现用行列式理解挺方便的，然后就没怎么仔细看。蜻蜓点水了一下Jordan Form。。也没啥意思。习题比上一章难一点，没有第六章难。这章开始，因为开始讲一些熟悉的东西了，所以线性代数的整体图像逐渐展开。看的时候一直奇怪minimal polynomial的次数到底怎么刻画，在习题7.C.13看到了。

第九章 因为实数上多项式不一定有根，没法用根反向刻画多项式，这章就是在“复化”让之前的东西对实数也适用。

第十章 最后就是trace和determinant了，，到了这里，作者还是把linear map和matrix区分的很清楚，trace啥的都要定义两遍（map还把C和R分开来定义）然后把特征多项式用行列式说了一遍，建立了些联系。最后就是普通线代书开头讲的内容了，还有一些抽代（我学sign of permutation的时候定义还是通过行列式来定义的。。这里讲的真是非主流）高维体积，多元微积分里的坐标变换和Jacobian之类的，就当是复习了。

大概20多天终于把这本书刷完了，习题完成90%以上（一些反例题懒得弄），哪道习题有问题的可以底下留言，关于这本书的其他问题也可以，我争取回复，共同进步。

总的来说，这本书确实不是很深入。不过线性代数也不用太深入。不过可能早年受了刷题教育的影响，个人感觉还是要多做题才能掌握这些东西，而这本书的习题是远远不够的。而且其实挺多有用的东西也没讲，不过啥都讲的教材应该也不太存在吧？之后线代就看Hoffman的再补补了。但是这书条理清晰，可读性强，讲解细致，排版舒适(现在看Artin的代数找斜体的terminology找的眼睛都瞎了)，极其适合自学。

Q 没有学过线代可以直接看这本书吗？

A 其实没有多大问题。但是个人觉得，读数学书最重要的是一个爽“字”，我人生最后悔的事就是懂了点微积分就开始看Rudin（用Zorich入门确实更好, 在Zorich之前我比较推荐的是Understanding Analysis，很简单几周就能看完，但是会对之后的学习有不一样的理解）。看一本书，啥都不明白一直学，非常枯燥无味，没有motivation，即使都看懂了，也难以理清思路，拍手称妙。但是如果已经有线代基础，再来看这书，会发现之前学的东西背后的东西，那就非常爽了。