学习数学建模的第一本书

这本书中讲得最好的是差分方程和微分方程部分的内容，可谓明心见性，直指人心，远胜过国内本科教学时生硬的高数教材。

我将各章节内容进行了整理归纳，供大家参考：

对于一个离散系统，如果有稳定的函数关系存在：变化值=f(上一次的值,外来值），则可以采用初值+动力方程（递推公式）建模。通过数值方法，获得系统的变化趋势，通过观察趋势，获得拐点和平衡点，通过改变其中的一些变量或初始条件，获得系统对该变量及初始条件的敏感度及相关规律。（1/12 数学建模）。

1)「提出合理的假设」本质上是在说「除去不必要的变量，从而将问题简化」。2)比例性是一种常用的简化手段，a和b具有比例性，则可以把a变成kb，k为常数，那么就只剩下b这一个变量了。3)比例具有传递性，a和b呈比例，b和c呈比例，则a和c程比例，又进一步减少了变量。4)最为常见的是比例现象是「几何相似性」。（2/12 数学建模）

模型拟合的三种常见原则：1)最大单点偏差极小化2)偏差和极小化 3)偏差平方和极小化（最小二乘法）。使用最广泛的拟合方法是最小二乘法，原理：先求出平方和的数学表达式，由于取得极值的必要条件是参数的偏导为0，所以据此列出方程求出参数。某些情况下，可以先对x，y作对数变换，以获得线性关系。（3/12 数学建模）

1)可根据数据曲线的形状（增减、凹凸）来选择拟合时xy的阶次（对于凹增，可选logy或x^2，对于凸增，可选y^3或logx，递减的函数可以加负号），具体作法是把原始数据表格内的x和y进行变形，然后重新绘制曲线和用最小二乘法拟合。2)给定n+1个不同数据点，则存在唯一的最高阶次n的多项式通过这些点，但是多项式拟合的一个缺点是在边端处极易摆动。3)可利用多阶均差表来选择用于拟合的多项式阶次，比如原始数据的二阶均差为常数，三阶均差为0，则该数据适合用二阶多项式拟合。4)样条法类似于用曲线板做图，有线性样条和三次样条，每两个点之间可构建一个样条函数，根据边界条件和曲率连续性可求解各样条函数的参数。（4/12 数学建模）

如何求出曲线与坐标轴所围的面积？除了微积分之外，还有一种脑洞大开的方法：用一个正方形将曲线所围的区域包裹起来，然后往里面随机丢石子，计算落在曲线所围区域的概率，然后用总面积乘以概率，数量越大则越接近真实面积。这个方法在数学上叫做「蒙特卡罗模拟」，它的优点是不用得到确切的函数表达式，只需借助计算机生成随机数，就能够对一个随机系统建立非常直观的模型。再举个例子，假设一个变量x在不同区间[ai,bi]的概率qi-pi是已知的（现实生活中可通过统计方法获得），那么，只要我们在0-1之间生成随机数r，则该随机数r落在在[pi,qi]之间的概率就是qi-pi，再根据ai,bi,pi,qi的样条函数，即可求得r所对应的变量x，后面再根据这个自变量x计算出其他的y，z即可。整个过程下来，你就会发现，你完全不必搞懂影响x的因素是什么，直接简单粗暴地去模拟这种随机性就可以了。（5/12 数学建模）

1)原始数据和拟合数据的残差分布如果具有明显的模式，那说模型还不恰当，可以进一步修改。2)SSR/SST即为回归直线的拟合程度，其中SSR为预测值与平均值的方差和，SST为原始值与平均值的方差和。（6/12 数学建模）

如果一个线性规划存在一个最优解，那一定在约束形成的凸集的某个交点上，可以求出所有点的函数值再选出最优。当模型的某个系数发生变化时，最优解是否也会发生变化？如果发生不发生变化，那么是在什么范围内不发生变化；如果发生变化，趋势是怎样的，系数变化一个单位，最优解变化多少个单位？ （7/12 数学建模）

1)如果烤熟1kg火鸡肉需要20min，那么烤熟3kg火鸡肉呢？要回答这个问题，可以借助量纲分析的方法，将烤火鸡问题的变量限定为长度l，热传导率k，初始温度Tm，内部温度Tc。经过推导可知，烤火鸡时间和长度的平方成正比，也即和重量的三分之二次方成正比，所以就能通过烤1kg的时间推得烤3kg的时间。这就是量纲分析的强大之处：a)可以通过配平量纲方程，获得变量幂次形式的比例关系，从而对某些问题进行估算b)通过量纲分析，得到最本质的变量，然后只对本质变量进行试验，获得经验模型。总之，大大降低了试验成本。2)在描述三维物体时，除了xyz三个长度之外，还可以是一个特征尺度加两个形状因子（比例项），这是另一种三维。3)利用小比例模型还原大模型的物理规律时，需要保持所有独立的无量纲乘积相同，通常是一些理论系数，比如流体问题中的雷诺数。（8/12 数学建模）

使用图表：1）反映函数的增减趋势 2）反映凹凸性 3）反映某个参数变化时曲线如何移动 4）从某个地方出发，函数趋于哪个平衡点 5）在竞争模型中反映胜负情况。对于曲线的变化，要结合相关学科原理来进行阐述。（9/12 数学建模）

关于x的微分方程dx/dt=kx+b，变化率dx/dt是函数，k反应了变化率随着x线性变化，b表示一个固定的变化率，这个方程构建了一个动力系统，用这种视角看问题时会变得异常清晰。另外，用数值方法求解微分方程时，常用欧拉法，简单点说，就是给定初始值，给定一个极小的步长dt，根据方程求出斜率，再用一段段的切线来逼近原方程。（10/12 数学建模）

使用微分方程组建模，一般都会有两个以上的相互影响的连续变量，可根据方程组求出「静止点」，再直接由微分方程组进行草图绘制，从而获得变量的变化规律及其特征属性（例如竞争何时达到平衡），另外，微分方程组也可利用欧拉法进行数值求解。（11/12 数学建模）

对于连续优化建模问题：1）小规模的整数规划可以采用蒙特卡洛法进行求解，说白了就是可以一个个试出来。2）由于可微方程的梯度向量总是指向函数值增长率最大的方向，可借助此特性，选定一个初始位置，选定步长，按照梯度方向进行搜索。3）等式约束的问题，最常用的求解方法是拉格朗日乘子法。（12/12 数学建模）