黎曼说：我有个猜想。
从千禧年开始悬赏100万美元的黎曼猜想最近又火了一次。这100万美元，被数学家们戏称为，当今世上最难赚到的100万美元。
现年89岁的英国数学泰斗Atiyah爵士，是菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主、英国皇家学会前主席。
他在9月24日的海德堡国际数学与计算机科学获奖者论坛上做了报告，声明他已经破解了黎曼猜想，但结果仍待诸位大牛苦苦验证，可能至少需要几个月的时间才能见分晓。
1 “四大数学猜想”
黎曼猜想是1900年希尔伯特提出震古烁今二十三个数学问题中的第八个。可是黎曼猜想到底是什么，能把黎曼猜想说清楚的人不多。
因为相比初中生至少能看懂题目的“三大猜想”，黎曼猜想的命题本身就不是一般人能看懂的，所以想普及也很难。
然而从重要性的角度上来讲，黎曼猜想绝对可以并称为四大数学猜想，甚至是扛把子的。囧才才做了一张图，可以一眼看清楚“四大数学猜想”的关系的现状。
- 四色猜想：由美国数学家Appel与Haken借助计算机完成，遂称四色定理。
- 费马猜想：1995年由英国数学家Wiles证明，现在叫费马大定理。
- 哥德巴赫猜想：中国数学家陈景润的“陈式定理”（俗称“1+2”），距离其最终证明“1+1”还差“最后一步”。
- 黎曼猜想：Atiyah爵士正在小黑屋鏖战中，胜负难料。
趁Atiyah和黎曼鏖战之际，咱们简单地回顾一下黎曼猜想到底是个什么鬼。
2 必须从ζ函数开始
首先，来看看ζ(zeta)函数的定义和形式：
显然，这是一个无穷级数。例如，当s=2的时候，这个无穷级数的和，是π^2/6，是大数学家欧拉算出来，其实这个函数形式最早也是欧拉提出来的。
如果你继续代入s=3，s=4，就会发现，这个无穷级数和越来越快地趋近于1。为啥？因为分母的次方数越大，收敛的速度就更快嘛！
只要s是正整数，或者是>1的实数，我们理解起来都没问题，因为这个级数收敛的，总能算出一个极限值来。
甚至当s=0.5，相当分母开平方：ζ(0.5) = 1/1 + 1/1.414 + 1/1.732 + …。虽然求和并不收敛，但每一项也是递减的，也比较容易理解。
但假如s<0呢？你可能听说过，有一个奇怪的说法，叫做全体自然数的和是-1/12，如下图所示。这到底是怎么回事呢？稍后揭晓谜底。
3 冲出实数，走向复数
黎曼作为复分析的鼻祖，他不满足于是在实数范围内使用ζ函数，他想把ζ函数扩展到复数域！
假如把ζ(s)的s，从实数域扩展到复数域，会发生什么事呢？
比如s=2+i，好像没见过一个数的2+i次方啊！
没关系，复数嘛，无非就是拆成实部和虚部，成为一个有模和方向的向量。
n的2+i次方，可以分成“n的2次方”和“n的i次方”两部分。
比如说1/2的2+i次方，就可以拆成实部和虚部，实部负责定长短（1/2×1/2=1/4），虚部负责转角度，其实就是得到一个向量。
图中的红点就是1/2的2+i次方所在的位置。因为e^bi = cosb + isinb，所以(1/2)^i就等于e^(ln0.5)i = cos ln0.5 + isin ln0.5 ≈ 0.77 - 0.64i。
然后再乘以1/4，就是结果。
只要能理解复数次方，更神奇的事情就来了。
对于ζ函数这个级数来说，相当于由一段段具有相同角度的向量首尾无限拼接出来，像一个植物触角的生长过程。
有没有想起鹦鹉螺？
没明白？没关系，举个例子，当s=1.5-i时，ζ(1.5-i)的结果如下图所示：
要注意的是，ζ函数只有当s>1的时候才收敛，也就是这个触角会无限接近于某一点。
4 大数据一定要可视化
如果我们将s=1这条直线右半边的每一个s点都挪到对应的触角点，即ζ(s)，我们就可以得到ζ函数的坐标转换。【预警！！！前方烧脑】
变换前横平竖直的线，几乎全都被黑洞般的(1,0i)点吸了进去，然后吐出了一圈一圈波浪形纹路的圈圈。
这严丝合缝的变换过程，体现了数学在治愈强迫症方面的强大功效。But Wait……像黎曼这种数学大师的强迫症，远非你我可以揣测的。
他觉得变换后的图，好像是被人在s=1/2处砍了一刀，是不完整的。我们如果盯着s = ±i 这两条黄线看，变换后的形状是两段不完整的波浪形圆弧，如下图。
5 数学红娘：解析延拓
是不是感觉心里空落（laò）落（laò）的？难道你不想把它补全成一个完整的花生壳吗？难道你不觉得它一定还有一个失散多年的另一半吗？
深度强迫症的黎曼实在看不下去，于是就做了一把数学界的月老，帮ζ函数找到了一个他认为完美的另一半。（请注意，以1/2为界的左右两边并不对称）
这种给单身函数介绍对象的过程就叫做延拓。注意，不是拖延症的拖延。
然鹅，介绍一个完美的对象并不是那么容易，稍不留神，就会碰见下图这种歪瓜裂枣的，而且这种歪瓜裂枣有无限种之多。
黎曼给单身函数介绍对象的方法是有唯一解的，用这个方法一定可以找到命中注定的那个唯一的另一半。真的有这么神奇？
黎曼的延拓方法叫做解析拓延，而且只有一个要求：拓延后的复变函数处处可导。按照这唯一的一条要求，就可以给单身的函数找到唯一完美对象。
如果说复数域求导不好理解的话，还有一种几何直觉的理解方法，几乎和处处可导是等价的，也称为解析拓延的保角性。那就是：
对于任意一对相交的直线a和b来说，之间的夹角∠ab在拓延前后仍然保持不变。
只有对交点导数原来为0的点例外，这些夹角在拖延之后的夹角乘整数倍。
这其实是一个非常强的约束条件，因为我们都能体会到，要满足“任意”二字需要多么任性才能做得到啊！
不信我们可以检查一下，相互垂直的实轴和虚轴们全都是垂直的，解析拓延后它们还是相互垂直的，如下图。
6 零点在哪里呀零点在哪里？
全体自然数之和等于-1/12的梗，其实也就是说，(-1,0)这个点，在ζ函数进行解析延拓的变换之后，会落在-1/12这个点上。
当然了，-1/12这句话本身除了学术装13之外，并没有太大意义。但是，如果我们把黎曼ζ函数像平时解一元二次方程那样对待时，会发现问题将变得非常难。
要解黎曼ζ方程，就意味着找到所有的s值，使得当s=?时，ζ(s)=0。
如果用可视化的方法表达，那就是：哪些点经过变换之后会落在原点上。
黎曼ζ函数ζ(s)=0的解有无穷多个，但大致可以分为两类。
一种比较有规律，全是负偶数。所以数学家一脸鄙视地给这些零点随手起了一个名字，叫平凡零点（trival zero）。
第二类比较棘手，很难找出什么规律。黎曼之前的数学家认为，这些解应该都落在实部0到1这一条解析延拓的临界带上。而黎曼认为这对数学来说太不精确了，太naïve了。
他在一篇只有8页的论文里，轻描淡写地提出了一个小小的猜想：解析延拓后的黎曼ζ函数ζ(s)的非平凡零点，全部落在s=1/2这条直线上。
这就是伟大的黎曼猜想。
但说起来简单，做起来难。非平凡零点杂乱无章，其计算本身也非常难。黎曼本人也只算出来过个把而已。
一直到二战后，人工智能之父图灵利用自己发明的计算机，才计算出了1104个非平凡零点。
图灵所处的年代，数学界对黎曼猜想的态度是悲观，思路是证伪，即只要找到一个非平凡零点不在1/2直线上即可。
随着计算机技术的进步，2004年8月，已经算到了八千五百亿。然鹅，算得再多，对猜想的证明并没有太大用处。但至少现在很少有人想要证伪黎曼猜想了。
7 跟素数是怎么搞上的？
看到这里，可能有人很失望：“我XX的XX都X了，你就给我看这个？”
大侠请留步，最厉害的要来了！
只要能全找到黎曼ζ函数的非平凡零点，你就能找到所有素数！
But 可能你就想弱弱的问一句：那么复杂的一个复变解析函数，到底是怎么跟素数分布扯上关系的？
答：通过欧拉乘积公式！欧拉乘积公式神奇地用全体自然数约束住了全体素数，抓住了素数分布这只神龙的尾巴。
这个公式的证明一页ppt就可以写得下，类似于数学归纳法的套路，是我们能力所及的。
其实ζ函数在黎曼之前，叫做欧拉ζ函数。所以，ζ有分别用自然数和素数两种等效的表达方式：
这下看清楚了吧。黎曼当年就认识到这个黎曼ζ函数和素数分布之间的关系。
你说得对，如果说黎曼是数学界的月老，那么欧拉就是数学界的王婆，把西门庆（ζ函数）和潘金莲（素数）撺掇到了一起。
黎曼那篇给全世界数学家套上紧箍咒的8页论文，题目就叫《论小于给定数的素数个数》。
只要有小于给定数的素数个数公式，就能知道某给定数本身是不是素数，这个函数一般写为π(x)。例如，π(20)代表小于20的素数个数，π(20)=8。
如果我们把π(x)函数画出来，是一个阶梯函数，什么时候π(x+Δx)-π(x)=1，上了一个台阶，那么这个x就是素数。
高斯和勒让德分别发现，素数在n处的分布密度近似符合自然对数的倒数，即ρ(n)≈1/ln(x)。
也就是说，在10000附近，素数大概会每隔ln(10000)=9.2个数字就出现一个。到1000000的时候，每隔ln(1000000)=13.8个数字才会出现一个。
8 怎么又跟物理搞上了？
后来，数学家蒙哥马利在普林斯顿一次偶然的下午茶会上，偶遇了物理学家戴森，他们聊天时发现：
黎曼ζ函数在临界线上的非平凡零点的统计分布，居然可以用任何一个典型随机厄密矩阵的本征值分布来描述。
从此，黎曼猜想又对应上了量子力学体系的能级谱，数学和物理来了一次重大联姻，这也是Atiyah爵士在2018年9月24日给出论证的主要思路。
至于Atiyah爵士到底说了些什么，我就把不长，只有5页的原文贴在最后，你自己看吧。我只是一个业余爱好者，该洗洗睡了。
文中大部分截图素材来自一个非常厉害的视频，感谢作者3Blue1Brown的辛勤付出，腾讯视频链接如下：
看到这的读者
都是真的猛士
二郎给你点赞
