数学的故事

<原文开始></原文结束> 序一 数学恐怕是我们花力气最多而收效甚少的一门学科。原因多种多样，主要是大多数人实在提不起兴趣，尽管他们都觉得数学很重要。这样硬着头皮学肯定是事倍功半，可是你如果主动地、津津有味地学，也许就会事半功倍。我想，培养对数学的兴趣有一条捷径，那就是学点数学的历史。数学史的书虽然多，但大部分都过于专业，不适合一般公众及青少年读者阅读，而曼凯维奇的这本小书《数学的故事》，却可以十分少的篇幅达到这个目的。 数学是一个庞大的领域。在数学王国中旅游，数学史是个最好的导游。中小学的数学课程表充其量只是300年前的数学，而从微积分开始的近代数学对大多数人来说就不甚了了了。《数学的故事》前面十章，讲的是古代数学的来龙去脉，而后面十四章则生动地叙述了这300年的“高等数学”。分配大致是很均匀的，五章讲18世纪，五章讲19世纪，尤其难能可贵的是最后四章涉及20世纪的数学，而这在一般书中基本上不会谈到。当然20世纪的数学博大精深，可是《数学的故事》讲的内容并不那么令人生畏，战争对策、通信与计算机、混沌乃至现代艺术，这些不都是你身边的东西吗？它并不可怕，相反十分有趣。 回到数学，数学发展的线索不妨从它的对象来看。数学的原始对象是数和形，古代数学都是围绕着这两个主题来发展数学的。古代各个民族经历了极为漫长的道路才达到现在的记数和计算的方法。在这方面，中国在世界上是遥遥领先的。中国发展的一套算法和数学十分先进，也非常实用。这就形成了算术和代数。希腊数学发展有些不同，他们发展了几何和数论，把数学变成了一门演绎的科学、证明的科学。到了17世纪，解析几何把数和形的问题联系起来标志着近代数学的诞生。而对运动的数学的研究导致微积分的发明和数学分析的发展。没有微积分就根本无法理解现代物理学和天文学，甚至也无法表达经济学。有了高中的数学知识，就不难通过《数学的故事》了解近代数学和近代的科学（如第十八章）。 到了19世纪，数学家在为其他科学服务的同时，也关注自身的发展。19世纪纯数学两项最重要的发展是代数方程的理论和非纯几何。两位英年早逝的数学家阿贝尔和伽罗华的故事感人至深。19世纪末，康托尔创立了无穷集合论，使结构数学成为20世纪数学的主流。 一本两百多页的书把读者从远古带到今天，真是一项非凡的创举。全书几乎没有令人生厌的公式，只有生动的叙述，加上精美的插图，读起来让人兴趣盎然。这是一本能提高读者数学素质和文化素质的读物，对于一般公众尤其是青少年读者来说，肯定获益良多。 胡作玄 2002年4月 序 二 我终于发现，我一生中的大部分时间，都在努力打破我们这个时代普遍存在的一种思维模式。这一模式的实质，可以用“数学＝学校”来表示。与人们谈及数学时，他们中的大多数人的直接反应是：那是学生时代的经历。到不久前为止，99%的回答是用一种愤怒的语调说：“我一点也不擅长数学。”但是，到了1995年，如果你参加某个集会，并声称自己是数学家，那么通常会引发一系列关于分形、混沌理论和圣菲机构等问题的讨论。到了20世纪90年代末期，费马大定理成了热门的话题（如果你不知道所谈论的这些都是什么，那么你绝对需要买这本书）。但是即便是在2000年，大多数人仍把数学和学校联系在一起，而不是和别的什么联系在一起。 然而，这种想法是不正确和糟糕的。数学是人类文明活动的核心之一，它促进了人类社会的进步。我们怎样才能扭转这种普遍对数学忽视的局面呢？当然这不是一朝一夕之功。迄今为止，人们在了解数学、接受数学，对数学是一种完全合理的而且是正常的人类活动的一部分的认识等方面，取得了长足的进步。其证据是，新闻媒体越来越愿意报道数学的进展和它的新应用，而不是把这些都隐藏在科学文献里。现在，有相当多的为大众所写的数学科普读物及科普文章。数学著作名列纪实类畅销书的前茅。有关数学的电影还获得了大奖。 这些都是如何发生的呢？这并不是由某个重要的国际运动引起的，也不是由政府引起的。联合国教科文组织宣告2000年为数学年，而我的这一前言正是写于这一年。对于联合国的这一决定，英国政府对此不仅没有任何举动，而且仍抱着“数学＝学校”的观念不放。正如一份主流报纸所述：“数学是性感的，数学是新摇滚。”这一新局势的来临是许多人的各种自发活动带来的。他们当中的每个人都用自己的方式向大众推广数学的某一方面。这样，经过点点滴滴的积累，逐渐建立起了关于数学的新舆论。在此，数学被看成是科学研究的前沿、技术进步的核心力量，数学影响着人类社会的文明。这是有史以来不争的事实。现在有许多人注意到了这一事实。 理查德•曼凯维奇是这些具有献身精神的人们中的一员。在克罗伊登，荷兰艺术家爱斯卡举办的画展上，我首次与曼凯维奇见面。爱斯卡没有受过数学教育，但是，几乎他所有的超现实主义作品都能看到数学的影子——铺（瓷）砖模式、非欧几何学和某种建立在纯数学上的哲学气息。 曼凯维奇并不是这次画展的主办者。他长年花费大量的精力和热情举办富有想象力的活动，将数学推向大众。其中之一就是《数学的故事》一书的撰写。他告诉我们，写这本书的原因在于从来没有这样的书。 好了，这本书现在就在你的面前了。以下就是该书的概貌。数学不仅是我们在学校所学而成年后马上就忘记了的那些数学技巧。数学有着与人类文明进步绵延不断、休戚相关的历史。这一历史至少持续了5000年。与艺术不同，这不仅是数学在某种程度上影响了人类文明的5000年，而且也是人类文明直接建立在数学研究之上的5000年。数学是极少数天才的个人活动的集成。他们突破了空间和时间的约束，共同创建了一个美妙的世界。 当我在学校学习时，我花费了很多时间到本地图书馆寻找关于数学的书籍。当时没有人忠告我一个年轻人不必做这样的事，即使他们告诉了我，我也不会理会他们，因为我已经着迷于数学。说实话，那时几乎很少有关于数学的好书。那些书我都读了。在那些书中，有一些是关于“数学历史”的书，尤其是拜尔的《数学家和数学发展》。但那时没有像《数学的故事》这样具有以下特点的书籍：精美漂亮，聚焦文化的精髓，展示了数学思想与人类其他活动的相互关联。 数学在人们的制图、航海、艺术感受、无线电广播、电视及电话通信等方面都起着主导作用。没有数学，飞机就不能有效飞行，卫星电视就不会有像今天这样多的频道，地球上的食物就不能维持现有的人口。我并不是说这一切都只归功于数学，但数学是其中一个重要的因素。此外，我并不是说这些东西都是好的，但它们显然是今天人类生活中必不可少的。 我们的主题是：数学是灿烂的人类历史中最光辉和最悠久的一页。它与人类进步密切地交织在一起。而《数学的故事》以浅显易懂的形式带我们漫游这一历史。这本书中的精美插图使得本书以及数学都显得高贵。 这本书正是我年轻时苦心寻找的书。但是回到我的开场白，这是为大家所写的一本书，即使是成年人也一样会着迷。现在是你获得精品文化的时候了！ 伊恩•斯图尔特 前 言 艾丽丝想：“这本书有什么用呢？它既没有图片，也没有对话。” 我把此书呈现在你的面前，原因很简单：还未曾有过这样的书。我一直尝试着浅显易懂地介绍数学历史。我希望能够展示，在人类创造文明的实践活动中，这门科学是怎样与兴趣和实际需求紧密地联系在一起的，而不是罗列一些“伟大的定理”。我想，可以通过把当时的数学发展状况与数学家本人的评述结合起来的写法，来达到这一目的。我叙述的重点放在对数学发展的历史背景和数学思想的重大进展上。由于篇幅和时间的关系，不可能将整个数学史呈现给大家，而只能展现数学随着世界各大文明发祥地的兴衰而变化的精彩片断。知识的火焰从没有熄灭过，但在特定时期，特定文明比其他文明更加耀眼。 从一开始，数学就与人类活动的各个方面紧密相连。贸易、农业、宗教、战争，所有这一切都受到了数学的影响，反过来它们又影响了数学家的研究课题。然而，数学的历史在很大程度上没有得到足够的重视。但是，我依然认为，对于人类历史来说，科学、哲学、数学及相关学科的发展远比炫耀统治者和战争更重要。我希望本书有助于提高大众的科学文化素养。 可能是由于科学特别是数学不像艺术那样具有公众性，所以也不像艺术那样吸引人。科学的发展主要取决于少数知识分子，而艺术对公众更有吸引力。数学很难吸引公众。相对论、量子力学、人工智能和不完全性定理等等，都确确实实地对现代社会产生了极大的影响。但是当数学家们赞美数学的美妙时，公众却感到困惑和窒息。然而计算机的使用最终把数学的美妙形象地展现在我们的面前。 数学并不像秘密组织的成员之间所交换的难以理解的符号那样神秘。虽然有时看起来是那样的，但是数学主要是关于空间、时间、数及关系的概念和方法的科学。它是定量关系的科学，它的复杂和微妙真实地反映了人们对知识的要求。数学的所有概念都产生于如何观察问题、解决问题、描述问题的研究中。随着计算能力的增加，数学变得形象化。在混沌系统和复杂系统中发现的不同寻常的结构，拨开了数学符号的迷雾，把数学家看到的景观展现在普通人眼前。 数学的精确性与艺术的感知相结合，将产生一种新的审美观，这与文艺复兴及20世纪早期艺术与科学间的关系没什么两样。本书的大部分都用于描述在不同程度上和不同发展阶段的这种融合。科学和艺术的结合已相当长了，尽管人们没有明确地意识到这一点。我希望在目前的数学教学中通过加入它栩栩如生的一面，使得数学教育更加充满活力，并激发起人们学习数学的热情来。 理查德•曼凯维奇 译 者 后 记 这是一部介绍数学史的书。然而，它既不是平铺直叙数学的发展，也不是孤立枯燥的数学记事，更不是数学史大全。它以一种全新的形式，向我们展示了在各个不同的文化背景下，数学是如何适应社会、宗教、文化和艺术的需求，与社会的进步一道一步一步发展到今天的：从巴伦泥土板到计算机及复杂性理论，从意大利文艺复兴到博弈论。作者把自己对数学的热爱倾注于此书之中，用浅显易懂但又不平庸的语言将数学这门如此深奥、如此复杂的学科的发展生动地展现于读者的面前。读过此书后，您会发现数学并不那样令人望而生畏，它与我们的生活是那么息息相关。同时也使我们认识到数学对社会和其他学科的重要性，数学成功地担负着人类认识事物的基础这一崇高的使命。我们的社会发展到今天离不开数学的进步。 数学到底是干什么的？它有什么用处？它为什么是我们认识事物的基础？如果你想了解的话，这本书就是最佳的选择。无论您是学理科的还是学文科的，我们认为，读此书都会使您在思想方法上有所收获，并加深对数学直至艺术和人文科学的理解，从而提高自身的素养。对学理科的人而言，此书尤能使您明白：学习知识不仅要知其然，更要知其所以然，以加深对现有知识的理解。 本书尤其适合高中生、大学生、研究生及广大教师阅读。我们将此书编译出版，并推荐给广大读者，希望它有助于提高我们国家的数学研究和数学教育水平，以迎接新世纪的挑战。 鉴于译者的水平有限，若有不当之处，欢迎批评指正。 冯速，马晶，冯丁妮 于北京 名校教师教研员阅读感言 我认真阅读了这本《数学的故事》，认为它不但能激发学生学习数学的兴趣，点燃学习数学的热情，还能引导学生形成一种探索与研究的习惯，形成正确的思维习惯。难能可贵的是，这本《数学的故事》还可以从某种程度提高个人的美学修养。因为数学是美的，很多著名的数学定理、原理都闪现着美学的光辉。在美妙的阅读体验中，读者得以领悟数学的数之美、式之美、理之美、形之美，在感叹和欣赏几何图形的对称美、非欧几何的奇异美的同时，亦能提升数学的素养和审美能力。 纵观历史，我们发现数学家们坚持真理、不畏权威、坚持不懈、努力追求的精神，对人类文明的进步产生了巨大影响。从《数学的故事》中，可以看到数学问题在数学的历史进程中的重要作用，它既是数学发现的起点，又是数学发现的路标；它既有数学发展的探索和导向作用，又可以为数学的理论形式积累必要的资料；它既可以促进数学的发现和理论的创新，又可以激发人类的创造和进取精神。从某种意义上来说，《数学的故事》中讲的数学发展的历史，就是数学问题的提出和解决的历史。 认真阅读吧，你会发现：数学是一个神圣而美丽的学科。 （作者系中国人民大学附属中学数学高级教师、北京市学科带头人 王教凯） 我们除了要讲授定理、公式和例题，更应该讲授这些定理是如何被发现的，从而重现数学创造的真实过程。这本《数学的故事》用一个个深入浅出的故事，讲述了数学在人类历史长河中的重要作用，剖析了数学与文化之间的互动关系，从大量通俗的数学故事中反映了数学的文化内涵。跨越了不同的文化背景和领域的一个个发现，无一不在证明数学是推动人类文明发展的最重要的力量。 我认为这本书不仅给相关问题的研究者提供了很好的素材，而且对中小学教师站在一定高度理解数学教学、促进课程改革有着重要的参考价值。 （作者系北京师范大学平谷附中教师 陈欢） 当前，我国数学教学存在两个明显的问题，一是学习者对数学失去兴趣，越来越怕数学，二是数学越教越抽象。学习者不知道数学知识从哪里来，往哪里去。深化课改要从学习者的角度出发，提供更多的适合他们的素材和课程，才能促使其全面发展，提高学习数学的兴趣。为了达到“苟日新，日日新，又日新”培养创新型人才之目的，数学教学需要驻足静思，回顾数学发展的历史。《数学的故事》一书，便为我们提供了精彩而不可多得的素材。该书深入浅出的剖析、绘声绘色的描述、发幽探微的叙述、诙谐机智的手法、恰到好处的引用，将深奥变得浅显，将平淡变得有趣，将枯燥乏味变得鲜活灵动，读后有“仰之弥高，钻之弥坚，瞻之在前，忽焉在后”的体认，令人终生难忘。 如果说《数学的故事》看起来好像是一个个故事，不如说它是一段段数学发展的真实史料，它或让人慎思，或让人求索，或让人反思，抑或是让人产生好奇，娓娓道来，又让人产生许多遐想。本书让你在品味知识的同时也能大开眼界，通过时间隧道，你会走进一个神奇的数学世界。翻开《数学的故事》，你就拿到了打开数学大门的金钥匙。 （作者系浙江省宁波市鄞州区教育局教研室教研员 任伟芳） 第一章 数学元年 数学元年 历史并非那么整齐有序，关于数字起源的探索，是一段通向迷雾笼罩的人类生活与文化起源的艰难旅程。考古学家和学者们努力利用有限的残砖碎瓦，构建出有意义的史前图案。新发现不仅仅是为以前的图案增加一块拼图，而且还有可能从根本上改变以前的图案及我们与它的关联。当我们考察数学活动的最早期的遗迹及美索不达米亚和埃及的数学文明时，要牢记这一点。 数字记录的最早物证，是在南部非洲斯威士兰王国出土的一块刻有29道清晰的V字形刻痕的狒狒的腓骨。这一记录的年代大约是公元前35000年。它与纳米比亚现今仍在用于记录时间变迁的“日历棒”类似。在西欧也找到了新石器时代的骨制品。在捷克共和国找到的公元前30000年的幼狼桡骨上，刻有两列5道一组共55道V字形刻痕。这好像是一本账簿，也许是猎物的记录。最令人感兴趣的一个发现，是所谓的“伊尚戈骨”，发现于乌干达与扎伊尔间的爱德华湖边，年代大约是公元前20000年。它好像不单单是记账棒，用显微镜分析显示出了似乎与月相相关的痕迹。由于夜间能见度的实际理由，也许还有出自宗教的需要，预报满月是重要的。承认这一点就不难理解，为什么记录月亮的轨迹应该是新石器人非常关心的事情。实际上，贯穿于天文学、占星术和宇宙学，并对数学的发展影响最大的可能是天体。 美索不达米亚数学 在幼发拉底河与底格里斯河间的美索不达米亚，文字记录可以追溯到公元前3500年。不同的文化曾经统治着这一地区：一开始苏美尔人和阿卡得人统治着这一地区，继之而来的是铁匠赫梯人，赫梯人屈从于可怕的亚述人，亚述人又被卡尔迪亚人取代，迦勒底人和他们的著名国王尼布甲尼撒二世随后被波斯人推翻,这回又轮到波斯人被亚历山大大帝的军队赶走。这一时期，权力的中心在乌尔、尼尼微和巴比伦之间更迭。我们的数学资料主要来源于旧巴比伦帝国（公元前1900年～前1600年）及公元前4世纪的后亚历山大塞琉西王朝。前期显示出巴比伦人和阿卡得人的影响，而后期希腊人和巴比伦人的影响更加显著。由于巴比伦人在这一时期的重要地位，数学也经常被叫做巴比伦数学。 我们现在使用的十进制,是一种以10为基数的位值制。换句话说，在某位的10个单位,等价于相邻高位的一个单位。而一个数中，数字的位置决定它的值。最早的文字记载显示，巴比伦人使用的是以 60 为基数的六十进制数。迄今为止，六十进制仍用于计时。使用六十进制时，巴比伦人把75表示成“1，15”，这和我们把75分钟写成1小时15分钟是一样的。大约公元前2000年出现了一种仅使用两个楔形符号的以60为基数的位值制。在该位值制中，“T”形的楔形文字表示1，“〈”形的楔形文字表示10。因此，75被写成T〈TTTTT。这一位值制被进一步推广到六十进制分数的表示上，但是没有表示0的符号。一直到公元前6世纪的新巴比伦帝国为止，置位符号仍然没有出现。因此我们在读旧巴比伦数字时需要细心地通过上下文来辨别符号的位。例如，因为没有0，我们难以区分18、108和180。我们无法断定为什么巴比伦人选择了这样的位值制。尽管如此，它对计算仍是非常有效的。同时，它奠定了时间的计量标准，这主要是在时间和角度的测量中，分和秒全部以60为基数。 巴比伦数学的物证，是一块带有楔形符号的土碑（泥土板）。这种土碑是用黏土制成的。它们的使用非常广泛，成千上万的黏土板被保存了下来，小到小碎片，大到公文包大小的整块黏土板。黏土是随处可取的。而且只要它还潮湿，就可以擦掉上面的计算，开始新的计算。一旦黏土干硬了，黏土板或者被扔掉，或者被用作建筑材料。巴比伦人所进行的算术计算与我们今天做的很类似。巴比伦人与生俱来就是制表能手。他们给我们留下了各种精密复杂的运算表，如倒数表、平方表、立方表及高次幂表。这样的高次幂表对借贷利息的计算很有用。由于袖珍计算器已普及，数学运算表的使用在很大程度上已成为历史。但是它们在便于计算上影响极其深远，这可以追溯到那些黏土板。巴比伦人对代数学也非常精通，尽管代数问题和解法是用语言描述的，而不是用符号来表示。他们利用本质上等同于我们的“出入相补原理”（填充正方形）的方法解了二次方程。他们的计算过程的正确性，基于一个矩形可以重新排列成正方形这一事实。一些高阶方程也通过使用数值方法或将其简化成其他已知类型的方程的方法得到解决。 在几何学领域，他们拥有求平面图形面积的算法，并且用代数方法解决了许多问题。在这里，利用截取六十进制小数的方法，数值化地处理了无理数。例如，在十进制中√5 =2.236067 …… 表示小数展开后可以一直持续下去。截取√5 的展开式到小数点后两位，得到2.23，而不是更接近于√5 的2.24。有时截取值和近似值相同，例如截取√5 的展开式到小数点后3位的值，与3位近似值相同。而这些无理数后来导致了无穷小数展开。这里没有任何关于这样的展开式的无穷性的讨论。但是有一个表展示了对√2 的非常好的近似值，其精确度为小数点后5位。√2 的这一近似值用六十进制表示时为1∶24，51，10，这一结果的推导过程没有给出，但是以近两千年后的公元1世纪的希腊数学家希罗①命名的一个方法也给出了完全一样的结果。同样，巴比伦人在毕达哥拉斯出生的1000年前，就广泛使用了毕达哥拉斯定理。 旧巴比伦数学不仅精密，而且对会计、金融、称重、测量等实际应用也很有效。被解决的一些问题说明了其中也有推理的传统，在考虑巴比伦天文学时我们将看到这方面的成果。 埃及数学 对于延续了长达4000年的文明社会来说，埃及却只给我们留下了很少的宝贵数学史料。纸莎草制成的纸是一种易碎的物质，有这种纸能遗留下来本身就是一个奇迹。《莱因德古本》〔之所以这么称呼，是因为它是由苏格兰的埃及考古学家莱因德(A.H.Rhind )发现的。由于它现存于英国不列颠博物馆，所以也称《伦敦本》〕和《莫斯科古本》（它是俄罗斯收藏家格列尼切夫获得的）是两个主要的资料来源。还有一些次要的资料以及一些画在坟墓及神殿的墙壁上，显示需要数学技巧的商贸、行政问题的插图。《莱因德古本》是一个叫阿迈斯的文牍员于大约公元前1650年写的。阿迈斯解释他是从200年前的一本原作上抄写的。该书的开场白声称该书为“万物的详尽研究，洞察一切存在及所有晦涩奥秘的知识”。对我们来说这可能相当夸张。但是，它展示了抄写技术是当时传授知识的重要手段。该纸草书包含87个问题及其解答。所用的是神职人员常用的象形手写字体，而不是常用于装饰的精致的象形文字。大部分的问题是像把一定数量的面包片分给若干个人这样的计算。这里还有求直角三角形面积的方法。所有的解答均用举实例说明，没有明确给出一般公式。《莫斯科古本》包含的内容与《莱因德古本》基本一样，但它还包含了被截断了的金字塔，即平截头体体积的计算，以及似乎是半球体的表面积的计算。 埃及人在数的使用上有两个极突出的特征：第一个是所有的计算都基于加法运算和乘2运算的运算表；第二个是他们对单位分数（1/2，1/3等等）的偏爱。因此，乘法运算是重复加倍运算（如果需要，减半运算），然后把适当的中间结果相加。例如，19乘以5被写成： / 1 19 2 38 / 4 76 然后，因为1+4=5，把19和76相加，得到95，这就是19×5。除法运算也可以做类似的处理，但这时可能产生分数答案。这就是单位分数产生作用的地方。埃及人表示单位分数的方法，是在数的上面划横线。因此，1/5被写成5。这里不存在对应于2/5及其他分数的符号，只有2/3例外。《莱因德古本》中含有形为2/n的分数表，其中n为奇数。该表将2/n分解成单位分数。这样2/5被分成1/3和1/15。而且，每当答案有一个我们写成2/5的解时，埃及人将解记为3、 15。虽然这种方法显然是行得通的，但很难看出它有什么实用价值。有待于进一步的发现以澄清它的由来。 一种可能性是这样的：当计算遗产或物品分配时，使用单位分数能够产生绝对精确而非近似的结果。因为埃及人没有货币，他们用其他物品作为交易的标准。最常用的是面包和啤酒。 从《莱因德古本》中的10人分9片面包的问题可以看出这一点。现在我们可以计算出10个人平分9片面包时，每人可得到1片面包的9/10。分面包时将每片面包切下1/10，这样10个人中的9个人每人得到一块9/10片面包，而剩下的1个人得到9块1/10片面包。纸草书中给出的答案是9/10=2/3+1/5+1/30。这需要切更多次，但是，作为补偿，每个人不仅得到相同比例的面包，而且大小、块数也一样。 体积的测量有其自己的符号体系：由象征何露斯的眼睛的象形文字的部分组成。在这里我们可以看出既作为行政官员又作为宗教职员的宗教等级制度的双重角色。何露斯是鹰神，他的眼睛是半人半鹰的。象征他的眼睛的象形文字的每一个元素表示1/2到1/64中的一个分数，将它们组合起来可以表示分母为64的任何分数。而且，何露斯的眼睛本身还带有神秘色彩，他是伊希斯和欧西里斯(古埃及的主神之一)的独生子。欧西里斯死于他兄弟塞斯之手。何露斯发誓为他父亲的死复仇。在他们之间的无休止的战争中，有一次，塞斯挖出了何露斯的眼睛，将它撕成6块，扔到埃及各地。作为回敬，何露斯阉割了塞斯。传说诸神介入了战争并命何露斯为埃及国王以及法老的守护神。同时让掌管学习和魔法的月神透特去收集何露斯的眼睛（的碎块）。就这样，何露斯的眼睛成了健康、洞察力和富饶的象征。以透特为守护神的书记们，用这一法宝形象地表示测量中的分数。据说有一天，一个见习书记对他的老师说，何露斯的眼睛的碎片所表示的所有分数加起来不是一个单位，而是63/64。老师回答说，透特将把剩下的1/64给了所有进行探索并接受他的保护的书记们。 关于埃及数学的认识，我们必然要受到史料极其短缺的限制。因此，许多人认为埃及数学比巴比伦数学要落后一大截。但这可能是站不住脚的，特别是金字塔建筑的精妙及如此巨大的帝国的管理都说明了这一点。像平截头体体积的计算这样的事实，似乎给了我们重要的启发。但是我们仍不清楚这是由于他们对金字塔的兴趣所促成的独立结果呢，还是更先进的但不幸失落了的知识汇总的一部分呢？古希腊人普遍承认他们的数学，特别是几何学，源于埃及。现在给我们印象最深的，不是埃及数学和希腊数学的相似之处，而是他们在风格上、深度上以及由此可以推测的理解上的巨大差异。看来阿姆斯的“晦涩的奥秘”一直遗留到了今天。

第七章“智慧宫”，中世纪阿拉伯数学/花拉子密（abu jafar muhammad ibn musa alkhwarizmi） 11章，GIROLAMO CARDANO 的生活故事