什么是数学

其实想把这篇文章写在豆瓣日记里面的，但是豆瓣日记不支持latex公式，没法编辑数学公式，这个比较郁闷。不知道有没有其它的办法？既然最近在看《什么是数学》这本书，那就把我的思考写在这里吧。 最近在做一个项目需要调用公安网去验证身份证。起初我觉得只要满足类似的规则就可以了，比如地区，出生年月，性别等等。于是YY一个身份证号去校验始终都是过不去的。 比如YY一个：410326198206015528 其实这个身份证号如果最后一位校验码写对了是可以通过基本校验规则的。现在通不过是因为最后一位应该是7，校验位写错了。 校验码是怎么来的，就得说说15位身份证升到18位的规则了。 现在把这个号码变成一个15的号码，410326820601552。然后对这个号码进行升级。 1、第一步很简单，在第6位之后插入“19”也就是对出生年月日的补全，得到 41032619820601552 2、求校验码 校验码是根据前面十七位数字码，按照ISO 7064:1983.MOD 11-2 计算出来的检验码。这个算法的基本规则是： ($C_i = \Sigma a_i \centerdot w_i mod 11$) i=1,2,3,....17 其中($a_i$)表示第i位上的数字，比如第一位是4，第二位是1，依次类推。。。 ($w_i$)是加权因子，其算法是($w_i=2^{17-i+1} mod 11$) i=1,2,.....17 以41032619820601552为例： 比如第一位是($w_1=2^{17}mod 11 = 7$),第二位是($w_1=2^{16}mod 11 = 9$)。。。依此类推 这样计算出的对照表如下: 位 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 加权因子 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2 接下来($\Sigma a_i * w_i = 4*7 + 1*9$).... = 280 ($C_i=\Sigma a_i \centerdot w_i mod 11$) = 280 mod 11 = 5 对11求模，余数只能是0到10， 余数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 校验码: 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2 按上面对照表c=5对应的校验码应该是7. 那么此身份证从15位升级到18位后应该是 ($410 326 19820601 552 7$) ================================================== 1、算法中为什么要对11求模？ 我想了下，可能的原因是11是质数，也就是除1和它本身之外任何一个数不能被它整除， 那么用11做模运算的时候余数为0、1、2、....10，因此也就有了为什么18位身份证有X这个数字，它是罗马数字10. 2、为什么校验码不是模运算的最终结果，而是又出了一个对照表？ ($C_i$) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 校验码: 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2 比如X并不是代码模为10的结果，而是模为2的结果？ 比较下除了模为0和1之外，对照都是通过12-模结果得出的，比如模为3，校验码就是12-3=9. 为什么要这样而不是一一对应，比如余数是多少，校验码就是多少，不得而知。 下面给出一段实现的java代码

public String getIdCardNumber18(String id) {
        if (StringUtil.isEmpty(idCardNumber)) {
            return null;
        }
       
        if (idCardNumber.length() == 18) {
            return idCardNumber.toUpperCase();
        } else if (idCardNumber.length() != 15) {
            return null;
        }

        /* 首先将身份证号码扩展至17位: 将出生年扩展为19XX的形式 */
        String idCardNumber17 = idCardNumber.substring(0, 6) + "19" + idCardNumber.substring(6);

        /* 计算校验码 */
        int nSum = 0;

        try {
            for (int nCount = 0; nCount < 17; nCount++) {
                nSum += (Integer.parseInt(idCardNumber17.substring(nCount, nCount + 1)) * (Math
                    .pow(2, 17 - nCount) % 11));
            }
        } catch (Exception e) {
        }

        nSum %= 11;

        if (nSum <= 1) {
            nSum = 1 - nSum;
        } else {
            nSum = 12 - nSum;
        }
      
        if (nSum == 10) {
            return idCardNumber17 + "X";
        } else {
            return idCardNumber17 += nSum;
        }
    }

上面代码对模跟校验码的匹配规则就是除掉模是0个1的值，此外都满足校验码是通过12-模结果得出的。

这一条习题非常有意思，他是一个称谓效率问题。而且这条题目是以十进制作为一个参考标准，然后让读者去对比非十进制的称谓效率。

而可惜的是，没有引导读者去找出这个效率的边际问题。

我在上面的铅笔小字里头举了一个例子，对于8进制，当数字很小的时候，他的效率是比十进制要高的。但到了一定的程度，也就是大约十的21次方以后，他的效率反而比十进制要低了（如题，称谓词比十进制要得更多了）。因为我们很容易把这两个进制之间的关系写成两条解析几何里头的直线，因为它们的方程都是一次方程。也就是我画的那个小图。

但如果你问更进一步的问题，那么对于具体的大数字，那应该用多少进制更划算：也就是对于10的某n次方来说究竟是某a进制更佳？那么我们发现不同的a在，解析几何坐标系当中有不同的起点与垂直坐标交于a。然后有斜率1/lga。当a越小时，起点越低，斜率越高；当a越大时，起点越高，斜率越低。如果你把这一个一系列的直线画出来，会发现这些直线系列围出了一个区域，也就是他们有一个边际，也就是我们会称之为“包络线”的东西。

这种情况大家可能发现并不陌生，和y=1/x这个倒数函数图很像的。只不过整个感觉转了一个90度，还是一个抛物线。（其实对于变量a，是一个a+1/lga的函数嘛，lg a是一个抛物线，所以整个也是抛物线）那么，这不就是微观经济学说的“边际效用”问题吗？或者说这条题正好是边际效用的一个好案例！

看人类是怎样把数的表示法一步步抽象化的。 1、起初，古希腊人用点来计数 比如 。 。 。 。 。表示5 。。。。。+。。。。=。。。。。。。。。（5+4=9）

这种计数法有局限性，依然没有抽象，跟小孩子学数数是用的珠子、卡片等实物并无二致。 2、自然数的出现，0-9，依然没能解决大数据的表示方法。只能说明10以内的数 3、10进制法产生了（中世纪以后） 4、10进制的整数表示法 实例372=($3\centerdot10^2+7\centerdot10+2$) 上面是千以内计数的一个实例。 继续抽象千以内的任何数 abc=($a\centerdot10^2+b\centerdot10+c$) 继续，万以内... abcd=($a\centerdot10^3+b\centerdot10^2+c\centerdot10+d$) 十万以内。。。 abcde = ($a\centerdot10^4+b\centerdot10^3+c\centerdot10^2+d\centerdot10+e$) 能不能表示自然界所有的数呢？当然可以 z=($a_na_{n-1}a_{n-2}a_1a_0$) =($a_n\centerdot10^n+a_{n-1}\centerdot10^{n-1}+$)...($+a_1\centerdot+a_0$) 写到这里不得不赞叹人类的智慧，数学的神奇了， 上面一个终极的抽象表示就将自然界所有可数的数就表示完了！

在计算机科学中使用较多的就不是十进制，而是二进制，十六进制。底层用二进制，0和1表示开关。

首先对于178图的解答方法可以如我所示，表达为P”和Q'的直线连接！这样比书上的清晰多了！得PRSQ=P”Q'！

于是，把第1和第2路径的比较，就转化为P”Q’<P'Q"了！

而第二个重要转化是把题目的“O和R在PQ一侧”转化为“P和R在OQ一侧”，从拓扑上是等效的！

于是把OQ作为一种参考。

最后，第三次转化问题：把P”Q’<P'Q"转化为角P”OQ’<角P'OQ"！为啥可以？如果是高中知识储备的读者可以看出，P”Q’是可以从三角形P”OQ’中用勾股定理转化为只有固定长度OP和OQ和角P”OQ’的三角函数去表达的！（由于对称性，OP=OP’=OP”，OQ=OQ’=OQ”）

最后，角P”OQ’<角P'OQ"易证！

所以，这题目重点在三次转化：第一次化轨迹为直线段，第二步化为比较线段长，最后化为比较与O点形成的角度大小！