算术探索

《算术研究》是被誉为“数学王子”的德国大数学家高斯的第一部杰作，该书写于1797年，1801年正式出版，这是一部用拉丁文写成的巨著，是数论的最经典及最具权威性的著作。在随后的200年时间中被翻译成多国文字，如德文、英文、俄文等。这部著作在数学中的重要地位不亚于《圣经》在基督教中的地位，只有欧几里得的《几何原本》堪与之相比，因为高斯有一句名言：“数学是科学的女皇，数论是数学的女皇。”这部著作共七篇。

第一篇讨论一般的数的同余：并首次引进了同余记号，这是现代数学中无处不在的等价和分类概念出现在代数中的最早的意义重大的例子。

第二篇讨论一次同余方程：其中严格证明了算术基本定理。

第三篇讨论幂的同余式：此篇详细讨论了高次同余式。

第四篇“二次同余方程”意义非同寻常：因为其中给出了二次互反律的证明，有人统计到21世纪初，二次互反律的证明已经超过200种，其中柯...

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《算术研究》是被誉为“数学王子”的德国大数学家高斯的第一部杰作，该书写于1797年，1801年正式出版，这是一部用拉丁文写成的巨著，是数论的最经典及最具权威性的著作。在随后的200年时间中被翻译成多国文字，如德文、英文、俄文等。这部著作在数学中的重要地位不亚于《圣经》在基督教中的地位，只有欧几里得的《几何原本》堪与之相比，因为高斯有一句名言：“数学是科学的女皇，数论是数学的女皇。”这部著作共七篇。

第一篇讨论一般的数的同余：并首次引进了同余记号，这是现代数学中无处不在的等价和分类概念出现在代数中的最早的意义重大的例子。

第二篇讨论一次同余方程：其中严格证明了算术基本定理。

第三篇讨论幂的同余式：此篇详细讨论了高次同余式。

第四篇“二次同余方程”意义非同寻常：因为其中给出了二次互反律的证明，有人统计到21世纪初，二次互反律的证明已经超过200种，其中柯西、雅可比、迪利克雷、艾森斯坦、刘维尔、库默尔、克罗内克、戴德金、瓦莱－布桑、希尔伯特、弗罗贝尼乌斯、斯蒂尔切斯、M•里斯、韦伊都给出了新证法，可见问题之重要。

第五篇是“二次型与二次不定方程”在这一篇中关于二次型的特征的研究，标志着群特征标理论的肇始，使高斯成为群论的先驱者之一。

第六篇把前面的理论应用到各种特殊情形，并引入了超越函数。

第七篇是“分圆方程”，不少人认为此篇是《算术研究》的顶峰。

《算术研究》当时对于数学家也很难读，它曾被称为“七印封严之书”（这是西方人对难解之书喜用的词，近于中国人所谓的“天书”，典出《圣经•启示录》第五章第一节：“我看见坐宝座的右手中有书卷，里外都写着书，用七印封严了”）后来迪利克雷作了详细注释。此书简洁完美的风格多少减慢了它的传播速度，而最终当富有才华的年轻人开始深入研读它时，由于出版商的破产，又买不到它了，甚至高斯最喜欢的学生艾森斯坦从未能拥有一本，有些学生不得不从头到尾抄录全书。

作者：（德国）高斯 译者：潘承彪 张明尧

潘承彪，1938年生于江苏省苏州市，1960年毕业于北京大学数学力学系数学专业，1961年起在北京农业机化学院（后改名为北京农业工程大学、中国农业大学）工作，从1977年起同时在北京大学数学系工作。主要从事数学，特别是数论的教学科研工作。与胞兄潘承洞合著有《哥德巴赫猜想》、《解析数论基础》、《素数定理的初等证明》、《代数数论》、《初等数论》及《模形式导引》等。

张明尧，1945年12月生于山东省菏泽市，1967年毕业于安徽大学数学系，1981年获得硕士学位后在安徽大学工作；1987年获得博士学位后在中国科技大学工作；1994年调海南大学工作；1996年调上海华东理工大学工作。译著有《数论中未解决的问题（第二版）》（原著者R.K.Guy）、《纯数学教程(纪念版)》（原著者G.H.Hardy）以及《哈代数论(第六...

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作者：（德国）高斯 译者：潘承彪 张明尧

潘承彪，1938年生于江苏省苏州市，1960年毕业于北京大学数学力学系数学专业，1961年起在北京农业机化学院（后改名为北京农业工程大学、中国农业大学）工作，从1977年起同时在北京大学数学系工作。主要从事数学，特别是数论的教学科研工作。与胞兄潘承洞合著有《哥德巴赫猜想》、《解析数论基础》、《素数定理的初等证明》、《代数数论》、《初等数论》及《模形式导引》等。

张明尧，1945年12月生于山东省菏泽市，1967年毕业于安徽大学数学系，1981年获得硕士学位后在安徽大学工作；1987年获得博士学位后在中国科技大学工作；1994年调海南大学工作；1996年调上海华东理工大学工作。译著有《数论中未解决的问题（第二版）》（原著者R.K.Guy）、《纯数学教程(纪念版)》（原著者G.H.Hardy）以及《哈代数论(第六版)》（原著者G.H.Hardy以及E.M.Wright修订者D.R.Heath-Brown以及J.H.Silverman）等。

第一篇 数的同余 第1～12目
1 同余的数，模，剩余及非剩余 第1～3目
2 最小剩余 第4目
3 关于同余的若干基本定理 第5～11目
4 若干应用 第12目
第二篇 一次同余方程 第13～44目
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第一篇 数的同余 第1～12目
1 同余的数，模，剩余及非剩余 第1～3目
2 最小剩余 第4目
3 关于同余的若干基本定理 第5～11目
4 若干应用 第12目
第二篇 一次同余方程 第13～44目
5 关于素数、因数等的若干预备定理 第13～25目
6 一次同余方程的解 第26～31目
7 对若干个给定的模，求分别同余于给定的剩余的数的方法 第32～36目
8 多元线性同余方程组 第37目
9 若干不同的定理 第38～44目
第三篇 幂剩余 第45～93目
10 首项为1的几何数列的各项的剩余组成周期序列 第45～48目
首先讨论素数模 第49～81目
11 当模为素数p时，周期的项数是p-1的除数 第49目
12 Fermat定理 第50～51目
13 对应的周期的项数等于p-1的给定的除数的数的个数 第52～56目
14 原根，基，指标 第57目
15 指标的运算 第58～59目
16 同余方程xn≡A的根 第60～68目
17 不同系统的指标间的关系 第69～71目
18 为特殊应用选取基 第72目
19 求原根的方法 第73～74目
20 关于周期和原根的几个不同的定理 第75～81目
（Wilson定理） 第76～78目
合数模的讨论 第82～93目
21 模为素数幂 第82～89目
22 模为2的方幂 第90～91目
23 由若干个素数合成的模 第92～93目
第四篇 二次同余方程 第94～152目
24 二次剩余和非剩余 第94～95目
25 若模是素数，则在小于模的数中剩余的个数等于非剩余的个数 第96～97目
26 合数是否是给定素数的剩余或非剩余的问题依赖于它的因数的性质 第98～99目
27 合数模 第100～105目
28 给定的数是给定素数模的剩余或非剩余的一般判别法 第106目
以给定的数为其剩余或非剩余的素数的讨论 第107～150目
29 剩余-1 第108～111目
30 剩余+2和-2 第112～116目
31 剩余+3和-3 第117～120目
32 剩余+5和-5 第121～123目
33 剩余+7和-7 第124目
34 为一般讨论做准备 第125～129目
35 用归纳方法来发现一般的(基本)定理及由其推出的结论 第130～134目
36 基本定理的严格证明 第135～144目
37 用类似方法证明第114目中的定理 第145目
38 一般问题的解法 第146目
39 以给定的数为其剩余或非剩余的全体素数的线性表示式 第147～150目
40 其他数学家关于这些研究的工作 第151目
41 一般形式的二次同余方程 第152目
第五篇 二次型和二次不定方程 第153～307目
42 研究计划；型的定义及符号 第153目
43 数的表示；行列式 第154目
44 数M由型(a,b,c)来表示时所属的表示式2-ac (mod M)的值第155～156目
45 一个型包含另一个型，或包含在另一个型之中；正常及反常变换 第157目
46 正常等价及反常等价 第158目
47 相反的型 第159目
48 相邻的型 第160目
49 型的系数的公约数 第161目
50 给定的一个型变为另一个型的所有可能的同型变换之间的关系 第162目
51 歧型 第163目
52 与同时既是正常地又是反常地包含在另一个型中的型有关的定理 第164目
53 由型表示数的一般性研究以及这些表示与变换的联系 第166～170目
54 行列式为负的型 第171～181目
55 特殊的应用：将一个数分解成两个平方数，分解成一个平方数和另一个平方数的两倍，分解成一个平方数和另一个平方数的三倍 第182目
56 具有正的非平方数行列式的型 第183～205目
57 行列式为平方数的型 第206～212目
58 包含在另一个与之不等价的型之中的型 第213～214目
59 行列式为零的型 第215目
60 所有二元二次不定方程的一般整数解 第216～221目
61 历史注记 第222目
关于型的进一步研究 第223～265目
62 给定行列式的型的分类 第223～225目
63 类划分成层 第226～227目
64 层划分成族 第228～233目
65 型的合成 第234～244目
66 层的合成 第245目
67 族的合成 第246～248目
68 类的合成 第249～251目
69 对给定的行列式，在同一个层的每一个族中都有同样多个类 第252目
70 不同的层中各个族所含类的个数的比较 第253～256目
71 歧类的个数 第257～260目
72 对于给定的行列式，所有可能的特征有一半不能适合于任何正常本原(当行列式为负数时，还是定正的)族 第261目
73 基本定理以及与剩余-1,+2,-2有关的其他定理的第二个证明 第262目
74 精确地确定不能适合于族的那一半特征 第263～264目
75 分解素数成两个平方数的特殊方法 第265目
76 三元型研究杂谈 第266～285目
对于二元型理论的某些应用 第286～307目
77 怎样求一个型，由它的加倍可以得到主族中一个给定的二元型 第286目
78 除了在第263和264目中已经证明其不可能的那些特征之外，其他所有的特征都与某个族相对应 第287目
79 数及二元型分解为三个平方的理论 第288～292目
80 Fermat定理的证明：任何整数可以分解成三个三角数或者分解成四个平方数 第293目
81 方程ax2+by2+cz2=0的解 第294～295目
82 Legendre讲述基本定理的方法 第296～298目
83 由任意的三元型表示零 第299目
84 二元二次不定方程的有理通解 第300目
85 族的平均个数 第301目
86 类的平均个数 第302～304目
87 正常本原类的特殊算法；正则和非正则的行列式，等 第305～307目
第六篇 前面讨论的若干应用 第308～334目
88 将分数分解为若干个较简单分数 第309～311目
89 普通分数转换为十进制数 第312～318目
90 用排除法解同余方程x2≡A 第319～322目
91 用排除法解不定方程mx2＋ny2=A 第323～326目
92 A为负数时同余方程x2≡A的另一种解法 第327，328目
93 判别合数与素数及寻求合数的因数的两个方法 第329～334目
第七篇 分圆方程 第335～366目
94 讨论可归结为把圆分为素数份的最简单情形 第336目
95 关于弧(它由整个圆周的一份或若干份组成)的三角函数的方程；把三角函数归结为方程xn-1=0的根 第337～338目
关于方程xn-1=0的根的理论（假定n是素数） 第339～354目
96 若不计根1，则全部其余的根(Ω)是属于方程X=xn-1+xn-2+…+x+1=0 第339～340目
97 函数X不能分解为系数均为有理数的因式的乘积 第341目
98 进一步讨论的目的的说明 第342目
99 Ω中的所有的根可分为若干个类(周期) 第343目
100 关于Ω中根组成的周期的几个的定理 第344～351目
101 基于以上讨论解方程X=0 第352～354目
进一步讨论根的周期 第355～360目
102 有偶数项的和是实数 第355目
103 把(Ω)中的根分为两个周期的方程 第356目
104 第四篇中提到的一个定理的证明 第357目
105 把(Ω)中的根分为三个周期的方程 第358目
106 把求Ω中的根的方程化为最简方程 第359～360目
以上研究在三角函数中的应用 第361～364目
107 求对应于(Ω)中每个根的角的方法 第361目
108 不用除法从正弦与余弦导出正切，余切，正割及余割 第362目
109 逐次降低关于三角函数的方程次数的方法 第363，364目
110 利用解二次方程或几何作图方法可实现的圆周的等分 第365，366目
补记
附表
译者注
附录 高斯——数学王者 科学巨人
1 德国情势
2 贫寒之家
3 心算神童
4 学院三载
5 大学攻读
6 出手不凡
7 科学随记
8 博士论文
9 算术探索
10 一算成名
11 恋爱结婚
12 公爵之死
13 丧妻再娶
14 天文著作
15 辉煌十年
16 大地测量
17 曲面理论
18 非欧几何
19 物理研究
20 教学工作
21 政治风波
22 晚年生活
23 业余爱好
24 人际关系
25 工作风格
26 溘然长逝
27 高斯全集
注
人名索引
人名译名表
编辑手记
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