读此书时遇到两个无力解决的问题,
放在这里,希望路过的同学稍稍指点/讨论/指出我的误区。
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1. 第八章 无穷基数 (第87页)
我发现可以把归纳基数类的子类排列成序级,规则如下:
* 把空类置于所有其他子类之前;
* 剩余的子类,将分子之和较小的置于较大的之前;
* 对于分子之和相等的子类,子类的最小分子较小者置于较大者前;
* 最小分子相等,则比较次小分子;
用以上规则排成的序级,是长这样子的:
{}, {0}, {1}, {0,1}, {2}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}, {3}, {0,3}, {1,3}, {0,1,3}, {2,3}, {0,2,3}, {1,2,3}, {0,1,2,3}, {4}, {0,4}, {1,4}, {0,1,4}, {2,4}, {0,2,4}, {1,2,4}, {0,1,2,4}, {3,4}, {0,3,4}, {1,3,4}, {0,1,3,4}, {2,3,4}, {0,2,3,4}, {1,2,3,4}, {0,1,2,3,4} ……
能不能因此说 ℵ_0=2^ℵ ?
[ 已解决,在 3 楼 ]
2. 第十七章 类 (第191页)
语句 1:“我相信所有的有理性的动物是有死的”
语句 2:“所有有理性的动物我相信都是有死的”
罗素在下文阐述“导出函项”的概念时,说语句 1 的导出函项是语句 2。
然而,当把这两个语句设为“ϕx 有性质 f “时,虽然他们的性质 f 是一致的:我相信为有死;但他们的 ϕx 真的是形式等价的吗?
(若两者的 ϕx 非形式等价,那语句 2 就不能说是语句 1 的导出函项了。)
据我理解,前一语句的 ϕx 是 “x 是我认为有理性的动物“;而后一语句的 ϕx 是 “x是有理性的动物”。 在 “我误以为长生鸟是一个不死的有理性的动物“ 时, 前者包含了长生鸟,而后者不包含。如此,两者的 ϕx 并不等价。
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我没有读过其他的关于逻辑的书,因此十分可能有各种自我察觉不出的误解,描述问题的用语也不标准。恰好点进这个帖子的你,若有哪怕那么一丁点的看法,请助我一力。嗯,说不定也能帮助其他读者?
关于这两个疑惑,更多的文字在我的笔记中:http://book.douban.com/annotation/20983395/
不过我觉得本帖的描述已经完全足够了。或者有人想看看生成那序列的 Python 代码?
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我不知道你的第一个问题是不是已经解决了,如果没有的话我很愿意在这里和你讨论一下。
我觉得你的那个排列最后证明出来的首先应该是N 和 P(N) (也就是N 的所有子集的集合) 是有一个对应的。然后你可以进一步说因为有这个对应,然后子集的数量有2^N个,所以N=2^N。那么我觉得问题就出在最开始这个对应上面。首先很直接的我们就可以看出N肯定是不等于2^N的,因为两个的数量级都不一样。说简单些,我们可以把N不写成自然数的形式,而是写成集合的形式:N: {1},{2},{3}...这样我们就发现P(N)完全包含N,且两者不等,所以要建立一个对应是不可能的。
但这样并没有解决你提出的问题,就是为什么我能把P(N)列出来,但是P(N)不是可数集。我不知道我想的对不对,但我觉得你虽然有这个排列方式,但是最后N肯定不够用,这个可以参考我之前把N变成集合的那个对应,所以你只是把P(N)排列了出来,而并没有建立一个N和P(N)的一一对应,你建立出来的是2^N和P(N)的一一对应,因为|P(N)| = 2^N,所以你把P(N)列出来就相当于列出了2^N个数,无法用N来对应。
我自己觉得是这样的,可能是班门弄斧了,我也还在学习数学,所以如果我说的不对还希望高人能指出来。我也希望你和你继续讨论下去。
第二个问题我真心没看懂,你要是没解决想和我讨论一下可能需要你解释一下题目的意思
感谢甩手先生回答。其实我一个问题都没能解决,自己也没有任何进展。如果有的话我会试着写在这里的。
* * *
其实第一个问题的灵感来自书中 P85 关于分数的一段:
“
……如一分数分子与分母之和小于另一分数的分子与分母之和,则将此分数置于另一分数之前;如二分数它们的分子与分母之和相等,则将分子较小的放在前面……这个序列是一序级,所有的分数迟早在其中出现。因此,我们能够将所有的分数排入一个序级,它们的项数所以是 N_0。
”
在我看来,这段话暗示:只要一个集合的所有项能够排入一个序级,那么该集合的项数就是 N_0。所以我就想:要是能把 P(N) 的所有项都排入一个序级,那么 P(N) 的项数不也是 N_0 了吗?这就是问题的来历。
至于 N 与 P(N) 的对应,我想是有的,而且这种对应在生成 P(N) 的序级的时候就已经建立了。既然能排出一个 "序级”,那么显然序级中的每一项都可以用一个自然数来编号,即都对应了一个自然数,于是 P(N) 中的每一项都对应了 N 中的一项,例如 {} 对应 0, {0} 对应 1, {1} 对应 2, {0, 1} 对应 3 …… {0, 1, 2, 3} 对应 16 ……
更进一步,我猜上面的方法可能就是 "只要一个集合的所有项能够排入一个序级,那么该集合的项数就是 N_0" 这一断论的证明。
我做了下搜索,在 http://emuch.net/html/201004/1923104.html 这个讨论中找到答案了。
是我的排序方法出了问题。这样的排序规则只能排列项数有限的自然数子集;对于无限的自然数子集,如偶数集、奇数集,是无法根据我的规则排序的。因为规则第二条 " 剩余的子类,将分子之和较小的置于较大的之前“ 需要对子集的所有项求和并比较,这样的操作无法对无限的自然数子集进行,毕竟,偶数集和奇数集都无法求和……
那么,问题一解决了:我的排法无法排出所有自然数子集。
* * *
至于问题二,我发现的确表述不够清晰。我改改看。
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