逻辑人生

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• 人们总是渴望确定的知识（certain knowledge），渴望那种超越千年而至永恒的知识。我们完全可以肯定，那种知识不能在自然科学中发现，因为在自然科学中，甚至像牛顿力学定律那样基本的理论也被相对论推翻了，而相对论本身很可能也会被将来的观察和实验所质疑。为求得我们真的可以依赖的那种确定性（certainty）（请原谅我用了一个相当蹩脚的双关表达），我们就总是回到数学领域，特别是纯数的领域。在这一领域，我们所用的真理产出的机制是逻辑演绎的过程，那是亚里士多德留给我们的遗产。 亚里士多德的逻辑学基本上依靠两个支柱：不经证明而被看作真的前提或公设的集，以及一些保证从一个真陈述变换为另一个真陈述的推理规则。正面就以古典的苏格拉底式的三段论（Socratic syllogism）为例说明之。 前提A：所有的人都必有一死。 前提B：约翰是人。 结论：约翰必有一死。 在这里，前提A和B被设想为关于人，关于必死性和关于一个特定的人，即约翰的真陈述。从两个前提到结论的跨越，援用了最先由亚里士多德概括的演绎推理律中的一个，这就是：“如果所有X都是Y，且Z是一个X，那么Z是一个Y。”只要我们可以确信前提为真，那么约翰必有一死这一结论就是牢靠的，不可避免的，就像将会存在的事实一样真实。确定性来自于前提的语义内容，来自在于在我们的心智中确定下来并由亚里士多德加以形式化的演绎过程。 哥德尔的发现是，即使存在纯数之间的真实关系，演绎逻辑的方法也因太弱而不能使我们证明所有这些事实。换句话说，真（truth）就是大于证明。 当结合日常生活来考虑上述事实时，人们并不会觉得太离奇。大家都能认识我们所“知道”的事情，但我们常常又觉得我们并不能形式的、亚里士多德的方式逻辑地推出它们。事实上，牛津的著名哲学家奥斯汀（J. L. Austin）第一次获悉哥德尔的研究结果时，评论道：“有谁曾认为不是这样吗？” (查看原文)

  无云晴空 1赞 2012-01-15 15:22:33

• 看来十分清楚，如果哥德尔从未在维也纳学习，他就永远不会在数学中探测到足以发现他的“不完全性原理”（ principle of uncompleteness）的深度，并进而在数学上证明它。这个光辉的发现驳斥了希尔伯特的数学纲领，也驳斥了维特根斯坦将语言的界限等同于世界的界限之观念。后来，维特根斯坦在自己哲学的第二阶段，也把哥德尔的发现看作解决可证性间题的新思路。与希尔伯特和维特根斯坦比较而言，哥德尔还看到了语言有其限度。采用希尔伯特的方法，他证明了形式系统的限度。 哥德尔因此证明，数学世界比数学语言更复杂（因此更强）。语言本身有时比思想更精确，但它同时又更弱，因为语言的句法并不允许重建所有可想象的模型。 在语言内以及通过语言可证明的，比人的思想能力所及的要少，而且，也比世界上可能有的要少（更弱）。 像哥德尔所取得的杰出成就，只在智慧高度集中时期才有可能出现，而20世纪二三十年代的维也纳恰恰提供了这样的机缘。哥德尔在数学上廓清了自指的迷宫。他以理性规则的方式，指明了进出这迷宫的道路。 (查看原文)

  [已注销] 2020-07-09 16:10:47

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