Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1

从这里开始到第12页的“Definition of Neighborhood”之前，R. Courant用非常直观的方式，“intuitively”把直觉上人们是如何在脑子里构造无理数的概念阐释得清清楚楚。当初就是这一段第一次把我吸引住的。这一段之前，作者已经先行阐释了实数。这里确定一个实数在数轴上的位置，开始了一系列直觉上的“慢动作回放”。先把实数 ($x$) 在某个闭区间 ($I_{1}=\left[a_{1},b_{1}\right]$) 的范围内，即\[a_{1}\leq x\leq b_{1}\]这里， ($a_{1}$) 和 ($b_{1}$) 是有理数，然后不断地收缩这个区间，即Nested Sequences的区间 ($I_{2}$), ($I_{3}$)...($I_{n}$) ，使得实数($x$) 的位置变得越来越精确\[a_{1}\leq a_{2}\leq x\leq b_{2}\leq b_{1}\]进一步地\[a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq x\leq b_{3}\leq b_{2}\leq b_{1}\]直至\[a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}...\leq a_{n-1}\leq a_{n}\leq x\leq b_{n}\leq b_{n-1}...\leq b_{3}\leq b_{2}\leq b_{1}\]如果 ($x$) 本身就是个有理数，那么总有一个尽头，即当 ($n$) 等于某个确定的自然树，($x$) 就是($a_{n}$) 或 ($b_{n}$)的其中一个；而如果 ($x$) 无理数，那么这个过程将无限地进行下去。这种构造法之下，一个这样的axiom被默认："If ($I_{1}$), ($I_{2}$) ,($I_{3}$)... form a nested sequence of intervals with rational end points, there is a point ($x$) contained in all ($I_{n}$)"这个就是实数的axiom of continuity，并且在注释里明确的说明区间 ($I_{n}$) 必须是闭区间。我不知道有多少学过高数和数分的读者回过头来看这个基本知识的讲解，一下子有一种非同寻常的感觉：第一，这符合人们的直觉，只不过从前都是跳过这些细微的步骤，直接在脑子里就应用了“无限不循环”小数这种说法；第二，这样的阐述和极限以及连续概念是何其的相似，再想到整个微积分的大厦就是这样建立在这一步步“逼近”某个值的基础之上，仿佛有些基本的东西豁然开朗了。之后关于进制的建立，以及关于0.999....=1也就自然而然地可以得到解释。因为同样的一个数可以有两种表述方式，即0.999...和1其实是同一个数的两种表示方法。当然，真正到“证明”0.999....=1“好像还需要更严谨的分析方法，道听途说此法在实分析里，笔者道行尚浅，还不甚了解。