第三次数学危机

引言 1
1. 历史上的数学危机 1
1.1 什么是数学危机 3
1.2 第一次数学危机 6
1.3 第一次数学危机的产物——古典逻辑与欧氏几何学 8
1.4 非欧几何学的诞生 11
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引言 1
1. 历史上的数学危机 1
1.1 什么是数学危机 3
1.2 第一次数学危机 6
1.3 第一次数学危机的产物——古典逻辑与欧氏几何学 8
1.4 非欧几何学的诞生 11
1.5 第二次数学危机 15
2. 第三次数学危机产生的背景 21
2.1 数学符号化的扩充：数理逻辑的兴起 24
2.1.1 命题演算 29
2.1.2 一阶谓词演算 37
2.1.3 其他逻辑演算 43
2.2 寻找数学的基础：集合论的创立 46
2.2.1 集合论的创立和传播 46
2.2.2 集合论简介 52
2.3 数学的公理化 68
2.3.1 初等几何学的公理化 69
2.3.2 算术的公理化 73
2.3.3 其他数学对象的公理化 78
3. 悖论及其解决方案 81
3.1 一连串的悖论的出现 83
3.2 悖论动摇了整个数学的基础 90
3.3 罗素的类型论 92
3.4 策梅罗的公理集合论 97
4. 哥德尔的发现：意想不到的结果 109
4.1 哥德尔小传 112
4.2 1930年数理逻辑的状况 117
4.3 1930年哥德尔的两项主要贡献 119
5. 数理逻辑的大发展 123
5.1 证明论 126
5.2 递归论 133
5.3 模型论 143
5.4 公理集合论 155
5.4.1 选择公理 156
5.4.2 连续统假设 157
5.4.3 可构成性公理 158
5.4.4 马丁公理(MA) 160
5.4.5 大基数公理 161
5.4.6 决定性公理 162
6. 数学与哲学 165
6.1 逻辑主义 168
6.2 直觉主义 173
6.3 形式主义 178
6.4 数学与哲学 187
结束语 195
· · · · · · (收起)