流形与几何初步

前言
第1章 微分流形
1.1 流形的定义和例子
1.2 子流形
1.3 单位分解
1.4 切空间和切映射
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前言
第1章 微分流形
1.1 流形的定义和例子
1.2 子流形
1.3 单位分解
1.4 切空间和切映射
1.5 Sard定理及应用
1.6 Lie群初步
第2章 流形上的微积分
2.1 切丛和切向量场
2.2 可积性定理及应用
2.3 向量丛和纤维丛
2.4 张量丛
2.5 微分形式
2.6 带边流形
2.7 Stokes积分公式
第3章 流形的几何
3.1 度量回顾
3.2 联络
3.3 曲率
3.4 联络和曲率的计算
3.4.1 活动标架法
3.4.2 正规坐标
3.5 子流形几何
3.5.1 第二基本形式
3.5.2 活动标架法
3.5.3 极小子流形
3.5.4 黎曼淹没
3.6 齐性空间
3.6.1 Lie群和不变度量
3.6.2 齐性空间
3.6.3 对称空间
3.7 主丛及其联络
3.8 Gauss-Bonnet-Chern公式
3.8.1 向量场的指标
3.8.2 单位球丛上的计算
3.9 Chern-Weil理论
第4章 流形的上同调
4.1 Poincaré引理
4.1.1 Poincaré引理
4.1.2 映射度回顾
4.2 de Rham上同调群的计算
4.2.1 群作用与上同调
4.2.2 Mayer-Vietoris正合序列
4.3 Thom类和相交数
4.3.1 Thom类
4.3.2 相交数
4.4 Hodge理论
4.4.1 Hodge星算子
4.4.2 Bochner技巧
4.5 Dirac算子
4.5.1 Clifford代数
4.5.2 Clifford丛
第5章 流形上的椭圆算子
5.1 Sobolev空间
5.2 Hodge定理的证明
5.3 热方程与热核
5.4 迹与指标公式
5.5 指标公式的证明
5.5.1 谐振子
5.5.2 Atiyah-Singer指标定理
参考文献
索引
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