用数学的语言看世界

在你出生之时，我曾想到，希望你在这世上幸福生活的同时，也能成为社会进步的推动者。虽然现代社会问题不少，不过我认为现在是人类历史中最精彩的时代。我也像每一位父母一样，希望自己的子女能够享受到世界上最好的东西。不过，仅仅这样并不够，这个精彩的时代是人类的智慧和努力构建出来的。我希望你不只是成果的受惠者，也希望你能成为创造者，为后世留下更好的成果。

21 世纪也可以说是一个不确定的时代，国际社会的规则也在不断改变。中国有13 亿人，印度有12 亿人。如果这些群体的大多数接受高等教育，进而从事知识研究事业，世界的面貌又会为之一新。说起这件事情，有些人担心日本和美国的发达国家地位会因此受到威胁，但我并不这么认为。如果发展中国家几十亿人获得良好的教育机会，也会随之诞生出很多解决目前社会问题的新途径。世界整体教育水平上升，能够分配的“蛋糕”才能更大。这些情况，对于生于21 世纪的你，既是挑战，也是一个巨大的机会。

在这个瞬息万变的世界中，自主思考的能力必不可少。欧洲有“七艺”（Liberal Arts）的教育传统，Liberal 原指“自由”，即“永不为奴”的意思。也就是说，Liberal Arts 是一种让人自主掌握命运、成为自由之人的素养。不管是成为领导者之时，还是面临预想之外的问题之时，都必须锻炼自主思考解决问题的能力。

在古罗马时期，“七艺”为逻辑、语法、修辞、音乐、天文，还有算术和几何。最开始的三项是为了磨炼“论证”的语言技术，我认为这三项排在前面，是因为它们是语言成形的必要条件，只有学会使用语言，才能获得思考的能力。

“七艺”之中的“算术”和“几何”都属于数学领域，我觉得很有趣。通常情况下，大家会认为语言领域的文学或外国语言文学属于文科，数学属于理科，但我认为数学是和语言学习一样的东西。数学可以精准地描述事物，这种描述能力超越了英语、日语等自然语言的表现能力。所以如果理解数学，就能看到那些无形、不可见的东西，想出从未想到过的新创意。

我在小学阶段并不那么喜欢“算术”这门课，不过进入中学后，“算术”演变成了“数学”，我也渐渐爱上了这门学科。带来这个转变的契机源于自主思考时给我带来的快感。当我解开数学题时，答案只有一个，别无其他。当碰到学校所学的知识无法解答的问题并且凭借自己的思考解出答案时，这种愉悦之情愈发强烈。而且我根本不需要去询问老师答案是否正确，因为自己就能独立判断。就像婴儿迈出第一步后，新的技能拓宽了对世界的体验范围。我希望你也能体会到这种愉悦。

本书是为了让你在21 世纪度过有意义的人生而写的数学知识。当然，要想有体系地学习数学，最好还是使用学校的教材。如果把数学当作语言，例如把数学比喻成法语，那么这本书并不是从零开始一步步教语法和单词，而是一本实用的会话集。带上它，你可以去法国旅行，用法语在巴黎的餐厅点餐。甚至服务员在介绍“今日的推荐菜品”时，你能马上理解并判断是否应该点这道菜。或者当你去参观卢浮宫，接触过去那些伟大的作品时，能够提升自己的精神境界。本书中除了讲述数学的实践性应用外，还会讲述从古巴比伦、古希腊时期起数学的发展趣事。

我不是一名数学家。我在1989 年获得了东京大学的物理学博士学位，5 年后被聘为加州大学伯克利分校的教授，自2000 年起一直任职于加州理工学院的物理学教研室。不过在2010 年，数学教研室的老师们邀请我兼任数学教授。最初我以“自己从来没有验证过什么有名的定理”为由予以拒绝，但是他们劝我说“验证定理不是为数学做贡献的唯一方式。您的研究为数学研究提出了新的问题，促进了数学的新发展”，于是我也只好接受了他们的建议。其实我曾经提过多个有关数学的猜想，后来这些猜想都准确地得到了数学家们的证明。因此，我并不是一名证明定理的数学家，而是作为一名数学的使用者而受到认可。本书所讲述的内容，也正是从使用者角度出发的数学知识。

我决定在个人主页中补充本书未说明的证明过程、后续话题和参考文献，从而确保出现新的发展时能够及时补充相关知识、追加新的参考文献。当然，阅读本书时并不需要借助补充知识。当阅读完本书时，如果想要进一步了解相关知识，也许浏览我的个人主页http://ooguri.caltech.edu/japanese/mathematics 是个不错的选择。本文也会引用与内容相关的知识点。

下面，我们开始进入第1 章。

（即擅长数学又擅长理科的人数）/（班上所有学生的人数）

正因为两者都在计算“既擅长数学又擅长理科的概率”，所以两边的计算结果相同。

公式P（数学）P（数学-箭头理科）=P（理科——箭头数学）是数学界著名的“贝叶斯定理”。托马斯·贝叶斯是18世纪的英国牧师，他原本想要计算神存在的概率，结果却发现了这个公式。然而，这个公式在贝叶斯生前并没有公布，而是在他过世半个世界以后，法国的数学家皮埃尔·西蒙·拉普拉斯撰写了一本有关概率的书籍，并在书中介绍了这个公式。在那之后，这个公式才开始被人熟知。

假设刚开始手上有m元，每次的赌注为1日元。赌博最重要的是把握脱身的好时机，赢的钱增多到N元时果断收手。要么开始赢钱时不要收手，直到赢得目标N元；要么一直继续知道输光。

将赢钱的概率记做P（m,N）。P是英语概率“Probability”的首字母，常用来表示概率。为了表示m元变成N元的概率，再在P补充写上（m，N）。这个概率大于1/2的话就有赢钱的希望，反之小于1/2的话最好还是尽早收手为好。概率公式如下：

P（m，N）=1-（q/p）^m/1-（q/p）^N

如上所述，我直接简要地导入了上述公式。该公式的解释过程有点复杂，因此我将在个人主页上加以补充。另一方面，将手头上的钱输光的概率等于1-P（m，N）。

不过，p=q=1/2时，因为q/p=1，所以右边的分子和分母均变成了0，那么0就没有意义了。因此，出现这种情况时则采用以下计算方法，即

P（m，N）=m/N（当p=q=1/2时）

例如P（10，20）=1/2.此时拿10日元钱去赌博，所持金额翻倍的概率和输光破产的概率是五五开。

假设用于打赌的硬币和普通硬币稍微有点不同，p=0.47，q=0.53.如果使用上面的公式，P（10，20）约等于0.23

40岁女性接受乳腺癌检查，结果呈阳性并患上乳腺癌的概率是有9%。但是，检查结果呈阳性后再次接受检查的话，结果又会怎么样呢？为了计算方便，假设两次检查的可靠性相同。因为第一次检查结果呈阳性，所以乳腺癌的概率为9%，换而言之P（患上乳腺癌）=0.09.而且，这位女性接受第二次检查结果仍然呈阳性的概率为P（阳性）=0.14（计算方法请参考我的个人主页）。因此，再次运用贝叶斯定理，计算结果如下：

P（阳性—箭头患上乳腺癌）=0.09*0.9/0.14～（约等于）0.58

检查一次结果呈阳性的话，患上乳腺癌的概率只有9%。但是，再检查一次结果还是呈阳性的话，概率就上升至58%。