清华大学研究生公共课教材·数学系列

本书介绍了偏微分方程数值解的两类主要方法：有限差分方法和有限元方法．其内容包括有限差分方法的基本概念；双曲型方程、抛物型方程及椭圆型方程的有限差分方法；数学物理方程的变分原理；有限元离散方法以及其他一些相关的课题等．在介绍每种具体方法的同时，还给出了相应的理论分析．各章附有习题．

本书可作为高等学校理工科专业研究生教材，有关本科专业也可作教材使用，此外也可供从事科学与工程计算的科技人员参考．

本书第2版自出版以来，被不少工科院校研究生用作教材，使用中发现了一些错误和不妥，在重印中我们曾作了一些勘误.这次修订除了改正一些已发现的不妥和错误外，对非线性问题的内容作了删减和调整.第3章增加了第7节，其内容部分取自原版第6章的第1～2节，第4章增加了3.7节以及第6节，其内容部分取自原版第6章第6节.原版第6章除上述已保留外全部删除.此外，还删去了介绍混合有...

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本书介绍了偏微分方程数值解的两类主要方法：有限差分方法和有限元方法．其内容包括有限差分方法的基本概念；双曲型方程、抛物型方程及椭圆型方程的有限差分方法；数学物理方程的变分原理；有限元离散方法以及其他一些相关的课题等．在介绍每种具体方法的同时，还给出了相应的理论分析．各章附有习题．

本书可作为高等学校理工科专业研究生教材，有关本科专业也可作教材使用，此外也可供从事科学与工程计算的科技人员参考．

本书第2版自出版以来，被不少工科院校研究生用作教材，使用中发现了一些错误和不妥，在重印中我们曾作了一些勘误.这次修订除了改正一些已发现的不妥和错误外，对非线性问题的内容作了删减和调整.第3章增加了第7节，其内容部分取自原版第6章的第1～2节，第4章增加了3.7节以及第6节，其内容部分取自原版第6章第6节.原版第6章除上述已保留外全部删除.此外，还删去了介绍混合有限元方法的内容.

第1章 引论、准备知识
1引论
2关于偏微分方程的一些基本概念
2.1几个典型方程
2.2定解问题
2.3二阶方程
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第1章 引论、准备知识
1引论
2关于偏微分方程的一些基本概念
2.1几个典型方程
2.2定解问题
2.3二阶方程
2.4一阶方程组
3Fourier变换和复数矩阵
3.1Fourier变换
3.2复数矩阵
第2章 有限差分方法的基本概念
1有限差分格式
1.1网格剖分
1.2用Taylor级数展开方法建立差分格式
1.3积分方法
1.4隐式差分格式
2有限差分格式的相容性、收敛性及稳定性
2.1有限差分格式的截断误差
2.2有限差分格式的相容性
2.3有限差分格式的收敛性
2.4有限差分格式的稳定性
2.5Lax等价定理Lax等价定理
3研究有限差分格式稳定性的Fourier方法
3.1Fourier方法
3.2判别准则
3.3例子
4研究有限差分格式稳定性的其他方法
4.1Hirt启示性方法
4.2直接方法
4.3能量不等式方法能量不等式方法
第3章 双曲型方程的有限差分方法
1一阶线性常系数双曲型方程
1.1迎风格式迎风格式
1.2Lax-Friedrichs格式
1.3Lax-Wendroff格式
1.4Courant-Friedrichs-Lewy条件Courant-Friedrichs-Lewy条件
1.5利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式
1.6蛙跳格式蛙跳格式
1.7数值例子
2一阶线性常系数方程组
2.1Lax-Friedrichs格式
2.2Lax-Wendroff格式
2.3迎风格式
3变系数方程变系数方程及方程组
3.1变系数方程
3.2变系数方程组
4二阶双曲型方程
4.1波动方程的初值问题
4.2波动方程的显式格式
4.3波动的方程差分格式的C.F.L条件
4.4等价方程组的差分格式
5双曲型方程及方程组的初边值问题
5.1二阶双曲型方程的边界处理
5.2一阶双曲型方程及方程组的边界条件
5.3一阶双曲型方程及方程组的数值边界处理数值边界处理
6二维问题
6.1一阶双曲型方程
6.2一阶双曲型方程组
6.3隐式格式和ADI格式ADI格式
7非线性方程
7.1守恒律的初值问题
7.2Lax-Friedrichs差分格式
7.3守恒型差分格式
第4章 抛物型方程的有限差分方法
1常系数扩散方程
1.1向前差分格式，向后差分格式
1.2加权隐式格式加权隐式格式
1.3三层显式格式三层显式格式
1.4三层隐式格式三层隐式格式
1.5跳点格式跳点格式
2初边值问题
2.1第一类边界条件
2.2第三类边界条件
2.3数值例子
2.4关于稳定性分析的附注
2.5Saul′ev算法
2.6分组显式方法
3对流扩散方程
3.1中心显式格式
3.2修正中心显式格式
3.3迎风差分格式
3.4Samarskii格式
3.5指数型差分格式指数型差分格式
3.6隐式格式
3.7特征差分格式
4变系数方程变系数方程
4.1Taylor级数展开方法
4.2Keller盒式格式Keller盒式格式
4.3有限体积法有限体积法
4.4间断系数问题间断系数问题
4.5隐式方程的解法
5多维问题
5.1一维格式的直接推广
5.2交替方向隐式格式
5.3局部一维格式局部一维格式
5.4预测-校正格式
5.5跳点格式
5.6三维问题
6非线性方程
6.1Richtmyer线性化方法Richtmyer线性化方法
6.2拟线性扩散方程的隐式格式
6.3三层格式
6.4预估-校正方法
第5章 椭圆型方程的差分方法
1Poisson方程
1.1五点差分格式五点差分格式
1.2九点差分格式九点差分格式
1.3极坐标下的差分格式
2差分格式的性质
2.1存在惟一性问题
2.2差分方程解的收敛性
3边界条件的处理
3.1矩形区域
3.2一般区域
4变系数方程
4.1直接差分方法
4.2有限体积法
5双调和方程双调和方程
6特征值问题
第6章 数学物理方程的变分原理
1变分问题变分问题介绍
1.1古典变分问题
1.2变分问题解的必要条件
1.3Rn中的变分问题
2一维数学物理问题的变分问题
2.1两点边值问题的变分形式
2.2非齐次约束边界条件的处理
2.3第二、三类边界条件
3高维数学物理问题的变分问题
3.1第一类边值问题的变分问题
3.2其他边值问题
3.3间断系数问题——有内边界的情形
3.4重调和方程边值问题的变分问题
4变分问题的近似计算
4.1Ritz方法
4.2Galerkin方法
4.3古典变分方法的数值例子
5权余量方法及其他方法
第7章 有限元离散方法
1一维问题的有限元方法、线性元
1.1单元剖分及试探函数空间的构造
1.2有限元方程的形成
1.3数值例子
2二维问题、三角形线性元
2.1单元剖分及试探函数空间的构造
2.2有限元方程的形成
2.3例子
3高次插值
3.1一维问题的高次插值
3.1.1Lagrange插值Lagrange插值
3.1.2Hermite插值Hermite插值
3.2二维问题三角形元的高次插值
3.2.1线性插值和面积坐标
3.2.2二次插值
3.2.3三次插值
3.3二维问题的矩形元
3.3.1双线性插值双线性插值
3.3.2双二次插值双二次插值
3.3.3Hermite插值
3.4等参数单元
3.4.1任意四边形单元
3.4.2等参数单元的概念和例
第8章 其他一些课题
1基于变分原理的差分格式
1.1一维问题
1.2二维问题
2抛物型方程的有限元方法
3一些非线性问题
3.1非线性问题的一个例子
3.2变分不等方程简介
3.2.1Rn中光滑函数的最小问题
3.2.2障碍问题障碍问题
3.2.3水坝的渗流问题
4特征值问题的变分形式及有限元方法
4.1特征值问题
4.2特征值问题的Galerkin变分形式
4.3特征值问题的极小形式
4.4特征值问题的有限元方法
4.5例子
5边界元方法
5.1基本的边界积分关系式
5.2边界元近似
5.3数值例子
6多重网格方法
6.1模型问题，迭代法的分析
6.1.1一维和二维的模型例子
6.1.2网格方程迭代法的分析
6.1.3两层网格方程组的联系
6.2二重网格方法
6.2.1粗、细网上函数值的转移
6.2.2二重网格上的一个循环
6.3多重网格方法
6.3.1多重网格的一个V循环
6.3.2完全的多重网格方法
· · · · · · (收起)