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前言
第一篇 无穷大的历史演变与连续统假设的来龙去脉
第1章 无穷概念的起源与第一次数学危机
1.1 无穷概念的起源
1.2 第一次数学危机的解决
1.3 芝诺悖论
1.4 亚里士多德的潜无穷观
第2章 第二次数学危机与数学分析的严格化
2.1 无穷小悖论与第二次数学危机
2.2 柯西在微积分严格化方面的贡献
2.3 外尔斯特拉斯的贡献——微积分的算术化
2.4 例子：芝诺悖论的解决
第3章 实数理论的建立
3.1 戴德金的实数理论
3.2 康托的实数构造理论
第4章 康托集合论的建立过程
4.1 康托迈向集合论的第一步
4.2 康托集合论的诞生
4.3 一个令康托震惊的结果
4.4 康托集合论的完成
第5章 集合论的悖论与第三次数学危机
5.1 集合论悖论的出现
5.2 逻辑主义学派
5.3 直觉主义学派
第6章 公理集合论的建立
6.1 策梅罗的公理集合论
6.2 ZF公理系统
第7章 康托与克罗内克之间的冲突以及康托理论批评者的观点
7.1 康托理论受到批评的一个主要原因
7.2 发生在康托和克罗内克之间的冲突
7.3 弗雷格对康托理论的批评
第8章 康托遗留的一个数学难题——连续统假设
8.1 希尔伯特第一问题
8.2 策梅罗解决了良序问题
8.3 康托遗留下来的一个数学难题——连续统假设
第9章 一个数学梦想的破碎
9.1 哥德尔定理让两千多年来数学家们所追逐的一个梦想
9.2 哥德尔定理给数学家带来的困惑
第10章 公理化方法的诞生和欧几里得几何原理中的家丑
10.1 公理化思想的提出
10.2 欧几里得《几何原本》是演绎证明的一个范本
10.3 “几何原理中的家丑”——平行公理问题
第11章 非欧几何学的建立与数学的无矛盾性研究
11.1 非欧几何学的诞生
11.2 几何学的无矛盾证明
11.3 数学的无矛盾性证明
第12章 希尔伯特计划以及希尔伯特关于连续统假设的“证明概要”
12.1 希尔伯特的早期工作
12.2 几何基础与希尔伯特公理化思想
12.3 形式主义学派和希尔伯特计划
12.4 希尔伯特关于连续统问题的“证明概要”以及其中的几个重要思想
12.5 希尔伯特第6问题把作者带进了连续统假设这一研究领域
第13章 哥德尔的工作以及连续统问题研究的后续进展
13.1 哥德尔简介
13.2 哥德尔的第一项工作：一阶逻辑系统的完全性证明
13.3 哥德尔不完备性定理使希尔伯特计划破灭
13.4 哥德尔不完备性定理的证明方法及其思想
13.5 哥德尔和科恩在连续统问题上的重要贡献
第14章 两位中国数学家的工作以及作者对哥德尔工作的辩证解读
14.1 徐利治和朱梧槚关于连续统问题的研究
14.2 辩证逻辑的一个重要思想：逻辑与历史的统一
14.3 马克思《数学手稿》是用辩证逻辑研究数学问题的一个典范，今天仍然具有重要的方法论意义
14.4 辩证唯物主义的一个基本规律——对立统一规律
14.5 以3次数学危机为例，说明包含在哥德尔定理中的辩证
14.6 哥德尔定理中包含着对立统一的思想
14.7 作者对哥德尔不完备性定理的看法
第15章 对数学方法的历史考察以及两种数学方法的对比
15.1 毕达哥拉斯学派的万物皆数
15.2 第一次数学危机之后，演绎推理方法占据数学主导地位长达两千年之久
15.3 笛卡儿解析几何的创立
15.4 解析几何的创立，把代数与几何的地位又重新颠倒过来
15.5 吴文俊工作进一步说明解析数学方法在某些方面强于逻辑推理方法
15.6 对两种数学方法的点评
第16章 作者解决连续统问题的基本思想
16.1 对连续统问题的两种观点以及作者的看法
16.2 数学中两个最重要的方法——演绎推理与数学计算
16.3 将几何学与集合论作一对比，进而论述连续统假设的困难所在
16.4 把“数”与“集合”这两个概念之间的关系颠倒过来，是解决连续统问题的关键
第二篇 对希尔伯特第一问题的探讨
第17章 自然数﹑整数和有理数
17.1 皮亚诺公理与自然数理论
17.2 整数理论
17.3 有理数理论
17.4 有理数的表示
17.5 有理数的缺陷
第18章 康托的实数理论
18.1 康托的实数定义
18.2 实数的运算
18.3 实数的一些重要性质［120～122］
第19章 实数的公理系统以及表示方法
19.1 实数的公理系统
19.2 实数的小数表示
第20章 实数的进一步扩张
20.1 引入理想元素对实数进行扩张
20.2 鲁滨逊的超实数［123，124］
第21章 用“理想元素”的方法将实数域扩张成为超实数域
21.1 康托只把集合的概念从有限扩展到无穷，而在数的概念上，却没有进行同步的扩展
21.2 从康托实数理论存在的问题，看把实数扩张成为超实数的必要性
21.3 借鉴希尔伯特《论无穷》中的思想，引入一个无穷大的理想元素
21.4 超实数的公理系统
第22章 集合的基本概念与集合代数
22.1 集合的基本概念
22.2 集合代数
第23章 关系、映射和序集
23.1 关系
23.2 映射的概念
23.3 序关系与偏序集
第24章 康托的基数理论
24.1 集合的基数
24.2 可数集
24.3 不可数集
24.4 基数的一些重要性质
第25章 康托基数理论存在的问题以及连续统假设的困难所在
25.1 比较无穷集合大小的两种方法
25.2 连续统假设的困难
第26章 ω基数理论
26.1 从希尔伯特文章中获得的启发
26.2 定义一种新的基数——ω基数
26.3 ω基数与康托基数之间的关系
第27章 连续统假设的证明
27.1 由自然数集合N所生成集合的ω基数
27.2 对第一种情况的讨论
27.3 对第二种情况的讨论
27.4 对连续统假设的证明
第28章 总结：证明连续统假设的3个关键点
28.1 集合论公理系统中究竟缺少了什么？
28.2 解决连续统问题必须使用辩证思想和极限方法
28.3 解决连续统问题只需引入一个无穷大数就够了
28.4 总结：解决连续统问题的3个关键点
参考文献
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