哥德尔证明 (豆瓣)

作者: 欧内斯特·内格尔（Ernest Nagel） / 詹姆士 R. 纽曼（James R. Newman）
出版社: 中国人民大学出版社
原作名: Gödel’s Proof
译者: 陈东威 / 连永君
出版年: 2008-3
页数: 112
定价: 18.00元
装帧: 平装
丛书: 当代世界学术名著·哲学系列
ISBN: 9787300088907

豆瓣评分

9.3

446人评价

5星

67.5%
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评价:

内容简介 · · · · · ·

《哥德尔证明》是第一本既面向学者又面向非专业人士，对哥德尔证明的主要思路和广泛含义作了易读的解释的书。对任何具有逻辑和哲学品味的受过教育的人士来说，它提供了一个深入了解先前无法企及的论题的机会。

在此书的新版中，普利策奖的获奖作者道格拉斯•R·霍夫斯塔特对这一经典著作的原文进行了重新斟酌和更新，澄清了模糊之处，使论述更为清晰，并使行文更具可读性。

作者简介 · · · · · ·

欧内斯特·内格尔（Ernest Nagel） (1901—1985）

内格尔出生于现在捷克共和国的首都布拉格（当时是奥匈帝国的一部分），十岁时随家庭移居美国。1923年获纽约城市学院学士学位，1925年获哥伦比亚大学数学硕士学位，1930年获该校哲学博士学位。此后除了在洛克菲勒大学工作过一年之外，一直在哥伦比亚大学任教：1946年起任教授，1956年至1966年任杜威讲座哲学教授，1967年至1970年退休前成为校级教授。其间，1940年至1946年任《符号逻辑》杂志编委；1939年至1956年担任《哲学杂志》编委；1956年至1959年任《科学哲学》杂志编委。曾任美国哲学和科学方法研究会主席，美国符号逻辑协会主席，美国哲学协会东部分会主席。他于1961年出版的《科学的结构》（The Structure of Science）被公认为科学分析哲学的开...

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目录 · · · · · ·

新版序言
致谢
一导论
二一致性问题
三一致性的绝对证明
四形式逻辑的系统编码
· · · · · · (更多)

豆瓣成员常用的标签(共160个) · · · · · ·

数学哲学哥德尔数理逻辑逻辑科普逻辑学 Godel

丛书信息

　　当代世界学术名著·哲学系列 (共29册), 这套丛书还有《黑格尔的变奏》,《人类文明的结构》,《意向》,《心灵与世界》,《证据与探究》等。

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我来说两句

短评 · · · · · · ( 全部 156 条 )

哥德尔证明的话题 · · · · · · ( 全部条 )

什么是话题

无论是一部作品、一个人，还是一件事，都往往可以衍生出许多不同的话题。将这些话题细分出来，分别进行讨论，会有更多收获。

我要写书评

哥德尔证明的书评 · · · · · · ( 全部 16 条 )

给真的想了解一点哥德尔工作的人

太多关于哥德尔定理的讨论，都是就着一点感性认识随意发挥，实在太不着边际。我们都不是逻辑学专家（就我自己而言，在朝着专家的方向努力，能否成功还得两说，但至少现在肯定不是），要完全搞清哥德尔的工作然后再去讨论，既无可能也无必要。但在讨论之前，至少要了解哥德尔的... (展开)

13回应

十四 2013-01-05 23:14:21

“哥德尔不完备定理”论证策略简述

　哥德尔不完备定理根本策略：　　1.建立一个系统PM，使得其序列号与元理论中公理及其引理建立映射关系——得到哥德尔数；　　2.利用特殊的定义策略，使得映射建立的序号巨大化、不重复，且有规律性；在哥德尔的论文中，天才地利用里质数、指数、乘积三者的可还原关系。 ... (展开)

1 6回应

指甲盖少男 2014-01-02 13:54:13

笔记

PM：一种形式演算系统，在其中能表达所有通常的算术概念。 1.构造一个公式G，代表元数学命题“使用PM规则，公式G不可证”。 2.从1可以看出，G是可证的，当且仅当，～G是可证的。而在PM中，如果G与～G都可证，那么PM不一致。所以，如果PM一致，那么G不可证。 3.如果PM一致，G不... (展开)

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反骨 2014-12-10 20:43:53

文科生要看啊

所谓数的不完备性，即哥德尔证明：存在无穷多个真的算数命题，无法用一套封闭的演绎规则和一组公理推导出来。也就是说，数理无法推知一切。这篇东西不过是思路整理加上自己的一些想法，前面是对哥德尔论证的梳理，自然不能入专业人士的眼；后面就有点脑洞大开了，和哥德尔没啥... (展开)

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金元宝 2014-02-24 13:30:43

[搬运]关于哥德尔定理

该定理的另一个主要应用领域，是数学的一个应用分枝——计算机和人工智能。现在把我文中提过的停机问题简单介绍一下。计算机到现在有了极大的发展，但是基本原理还是冯·诺依曼提出来的，只是速度和效率大大提高了。从根本上说，计算机的程序，就是一种基于2进制数字运算的命题... (展开)

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crazysheep 2018-01-03 13:58:37

浅易好懂的一本书，看完后感觉自己智商都提高了

我看的是1958年的版本，大概是4美元左右购于eBay。在阅读过程中虽然时不时遇到需要读两三遍的句子，但是整体来说这本书还是比较浅易好懂的。不考虑英文水平，高中水平应该就可以读懂。当然此书对于哥德尔证明当然也只是提纲挈领的概述，很多细节没有深入探讨下去。当然这也没... (展开)

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30天 2016-06-23 14:36:32

一点废话

写一点废话，加深记忆试图以模型论为数学基础的3个思路 1.寻找一个模型作为解释使其一致（无限后退） 2.几何→代数（同上） 3.Hilbert：把元数学和对象数学分开元数学：关于符号（种类、排列、运作规则）对象数学：通常数学沿用思路3：分析完全形式化的演算系统所包含的... (展开)

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小红鸭 2014-02-03 22:22:56

关于数学的一些看法

关于数学的一些看法：数学是一个非常有趣的学科，它与很多东西相关联，比如到现在为止我都能觉得我们能抽象出1,2，3，4……抽象出来数字是一件神奇的事。两小儿辩数，比谁说的数字更大： A：一百 B：一千 A：一万 B：一亿 A：一亿加一 B：一亿加一再加一 A：反正我是你说... (展开)

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倍魄 2014-10-09 20:10:47

哥德尔错了，你造吗？

哥德尔不完全性定理不是仿悖论，它本身就是一个悖论，所以，哥德尔真的错了，你造吗？【哥德尔想证明“形式化”并非那么靠谱，却用自己的错误反证了“形式化”总比“聪明人”靠谱】(算术系统N若一致，哥德尔语句U不可判定)→(U可一致扩充N)→(N的一切证明都可遗传到N')→(U在... (展开)

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qhors苗广飞 2009-12-22 10:51:33

哥德尔的证明

这篇书评可能有关键情节透露

他的证明不仅是具有重要意义的，还有一些令人诧异之处，因此需要仔细的理解才能够清楚的知道他的证明。例如对应关系应该对偶的或者对称的理解，他们之间应该具有某种对称关系，比如数和世界的对称关系，数论和人类之间的对偶关系。 (展开)

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读书笔记 · · · · · · (共18篇)

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oliver (存在并不单指有形之物)

数学家们构建的形式系统，属于标着“数学”这个名称的文档；而对这个系统的描述、讨论和推测，属于标着“元数学”这个名称的文档。元数学描述的是数学本身的属性，而数学描述的是某一具体数学领域里定理公理之间的相互关系和联系。
2012-07-14 01:55 1人喜欢

数学家们构建的形式系统，属于标着“数学”这个名称的文档；而对这个系统的描述、讨论和推测，属于标着“元数学”这个名称的文档。
元数学描述的是数学本身的属性，而数学描述的是某一具体数学领域里定理公理之间的相互关系和联系。

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丽拉先生 (丫的人做事？)

1.具有形式S1∨S2的公式，如果S1和S2都在K2中，则也放在K2类中；否则放入K1。（或 2.具有形式S1⊃S2的公式，如果S1在K1中，S2在K2中，则放入K2；否则放入K1。 3.具有形式S1∧S2的公式，如果S1和S2都在K1中，则放在K1类中；否则放入K2。（与 4.具有形式~S公式，如果S在K1中，则放入K2；否则放入K1。一个公式是重言式⇔一个公式属于K1 ，不论构成它的基本公式放在两类中的哪一类。
2015-03-13 10:24

1.具有形式S1∨S2的公式，如果S1和S2都在K2中，则也放在K2类中；否则放入K1。（或
2.具有形式S1⊃S2的公式，如果S1在K1中，S2在K2中，则放入K2；否则放入K1。
3.具有形式S1∧S2的公式，如果S1和S2都在K1中，则放在K1类中；否则放入K2。（与
4.具有形式~S公式，如果S在K1中，则放入K2；否则放入K1。
一个公式是重言式⇔一个公式属于K1 ，不论构成它的基本公式放在两类中的哪一类。

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丽拉先生 (丫的人做事？)

点明当前的论证与理查德悖论之间的相似与不同之处是有用的。关键在于G不等于与之对应的元数学命题，而只是在PM内部表达了（或映射了）后者。在理查德悖论中，数n是与一个特定的元数学命题相连的数。而在哥德尔的建构中，数n是和属于PM的一个特定的公式相连的，而这个公式可以说是凑巧表达了一个元数学命题。在展开理查德悖论时，问题是数n是否具有是理查德数的元数学性质。而在哥德尔建构中，问题是数g=sub(n,17,n)是否具有某一算..
2015-03-12 00:04

点明当前的论证与理查德悖论之间的相似与不同之处是有用的。关键在于G不等于与之对应的元数学命题，而只是在PM内部表达了（或映射了）后者。在理查德悖论中，数n是与一个特定的元数学命题相连的数。而在哥德尔的建构中，数n是和属于PM的一个特定的公式相连的，而这个公式可以说是凑巧表达了一个元数学命题。在展开理查德悖论时，问题是数n是否具有是理查德数的元数学性质。而在哥德尔建构中，问题是数g=sub(n,17,n)是否具有某一算术性质——即不存在数x使命题‘dem(x,g)’成立的性质。因此就哥德尔的建构来说，与理查德悖论不同，在PM内的命题和关于PM的命题之间不存在混淆之处。

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丽拉先生 (丫的人做事？)

在上面的论述过程中，一个在定义的顺序排列过程中重要却未明确表述的要求被悄悄丢掉了。当初考虑的定义，应该是对整数的纯算术性质的定义，对这种性质的描述可以使用算术中加、乘等概念。但是前面的论述中，在没有预警的情况下，我们被要求在定义序列中接受涉及描述算术性质时所用的语言的性质定义。明确地说，理查德数的定义，不属于我们开始时所说的定义序列，因为这个定义涉及定义表达句的语言（如英文）中字母（或符号）的数目...
2015-03-04 19:47

在上面的论述过程中，一个在定义的顺序排列过程中重要却未明确表述的要求被悄悄丢掉了。当初考虑的定义，应该是对整数的纯算术性质的定义，对这种性质的描述可以使用算术中加、乘等概念。但是前面的论述中，在没有预警的情况下，我们被要求在定义序列中接受涉及描述算术性质时所用的语言的性质定义。明确地说，理查德数的定义，不属于我们开始时所说的定义序列，因为这个定义涉及定义表达句的语言（如英文）中字母（或符号）的数目等元数学概念。

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3 (不鸣则已，一鸣惊人！)

在计算机问题上应用哥德尔的想法，可以看到，由于计算机说到底是操作数字的，而数字又是体现任何种类的模式的普遍中介，因而计算机能对应任意类型的模式，不管它们是逻辑的还是非逻辑的，是一致的还是非一致的。简言之，当你站得离成千上万内部相互联系着的各种数字模式足够远时，你就能看出其他领域的模式，就像肉眼看一个显示屏上的像素，能从中看出一张熟悉的脸，而非0和1组成的阵列一样。
2011-05-23 22:37

在计算机问题上应用哥德尔的想法，可以看到，由于计算机说到底是操作数字的，而数字又是体现任何种类的模式的普遍中介，因而计算机能对应任意类型的模式，不管它们是逻辑的还是非逻辑的，是一致的还是非一致的。简言之，当你站得离成千上万内部相互联系着的各种数字模式足够远时，你就能看出其他领域的模式，就像肉眼看一个显示屏上的像素，能从中看出一张熟悉的脸，而非0和1组成的阵列一样。

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oliver (存在并不单指有形之物)

真正的数学不研究任何问题，因为问题的定义往往基于现实世界。或者说，罗素或者哥德尔笔下的数学，研究的是问题产生背后的机制，有了机制，问题不过是一个简单结构的衍生品。自然对于机制的研究要高于对于问题的讨论，通过机制产生问题，通过问题得到答案，通过答案描述世界。而纯数学做的，就是建立机制。
2012-07-13 15:42

真正的数学不研究任何问题，因为问题的定义往往基于现实世界。或者说，罗素或者哥德尔笔下的数学，研究的是问题产生背后的机制，有了机制，问题不过是一个简单结构的衍生品。自然对于机制的研究要高于对于问题的讨论，通过机制产生问题，通过问题得到答案，通过答案描述世界。而纯数学做的，就是建立机制。

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丽拉先生 (丫的人做事？)

罗素提出的二律背反可引述如下。类可被分为两种：一种是本身不是其成员的类，一种是本身是其成员的类。一个类叫做“常规”的，当且仅当它本身不是其自身的成员；否则就称为“非常规”的。常规类的一个例子是所有数学家这个类，显然这个类本身不是个数学家，因而不是其本身的成员。非常规类的一个例子是所有可思索的东西组成的类；由于所有可思索的东西的类本身是可思索的，因而是其本身的成员。定义“N”为所有常规类所组..
2015-01-31 09:10

罗素提出的二律背反可引述如下。类可被分为两种：一种是本身不是其成员的类，一种是本身是其成员的类。一个类叫做“常规”的，当且仅当它本身不是其自身的成员；否则就称为“非常规”的。
常规类的一个例子是所有数学家这个类，显然这个类本身不是个数学家，因而不是其本身的成员。非常规类的一个例子是所有可思索的东西组成的类；由于所有可思索的东西的类本身是可思索的，因而是其本身的成员。
定义“N”为所有常规类所组成的类。我们的问题是，N 本身是否是常规类。如果 N 是常规的，它就是它自身的一个成员（因为根据定义 N 包括所有的常规类）；但是，在这种情况下，N 是非常规的，因为根据定义，一个包含自身为成员的类是非常规的。另一方面，如果 N 是非常规的，它就是其自身的成员（根据“非常规”的定义）；但是在这种情况下，N 是
常规的，因为根据定义 N 的成员都是常规的类。简言之，N 是常规的，当且仅当 N 是非常规的。由此而论，“N 是常规的”这一命题又真又假。这个致命的矛盾，源自对看似澄明的概念“类”的非严格使用。

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数学家们构建的形式系统，属于标着“数学”这个名称的文档；而对这个系统的描述、讨论和推测，属于标着“元数学”这个名称的文档。元数学描述的是数学本身的属性，而数学描述的是某一具体数学领域里定理公理之间的相互关系和联系。
2012-07-14 01:55 1人喜欢

数学家们构建的形式系统，属于标着“数学”这个名称的文档；而对这个系统的描述、讨论和推测，属于标着“元数学”这个名称的文档。
元数学描述的是数学本身的属性，而数学描述的是某一具体数学领域里定理公理之间的相互关系和联系。

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丽拉先生 (丫的人做事？)

1.具有形式S1∨S2的公式，如果S1和S2都在K2中，则也放在K2类中；否则放入K1。（或 2.具有形式S1⊃S2的公式，如果S1在K1中，S2在K2中，则放入K2；否则放入K1。 3.具有形式S1∧S2的公式，如果S1和S2都在K1中，则放在K1类中；否则放入K2。（与 4.具有形式~S公式，如果S在K1中，则放入K2；否则放入K1。一个公式是重言式⇔一个公式属于K1 ，不论构成它的基本公式放在两类中的哪一类。
2015-03-13 10:24

1.具有形式S1∨S2的公式，如果S1和S2都在K2中，则也放在K2类中；否则放入K1。（或
2.具有形式S1⊃S2的公式，如果S1在K1中，S2在K2中，则放入K2；否则放入K1。
3.具有形式S1∧S2的公式，如果S1和S2都在K1中，则放在K1类中；否则放入K2。（与
4.具有形式~S公式，如果S在K1中，则放入K2；否则放入K1。
一个公式是重言式⇔一个公式属于K1 ，不论构成它的基本公式放在两类中的哪一类。

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丽拉先生 (丫的人做事？)

点明当前的论证与理查德悖论之间的相似与不同之处是有用的。关键在于G不等于与之对应的元数学命题，而只是在PM内部表达了（或映射了）后者。在理查德悖论中，数n是与一个特定的元数学命题相连的数。而在哥德尔的建构中，数n是和属于PM的一个特定的公式相连的，而这个公式可以说是凑巧表达了一个元数学命题。在展开理查德悖论时，问题是数n是否具有是理查德数的元数学性质。而在哥德尔建构中，问题是数g=sub(n,17,n)是否具有某一算..
2015-03-12 00:04

点明当前的论证与理查德悖论之间的相似与不同之处是有用的。关键在于G不等于与之对应的元数学命题，而只是在PM内部表达了（或映射了）后者。在理查德悖论中，数n是与一个特定的元数学命题相连的数。而在哥德尔的建构中，数n是和属于PM的一个特定的公式相连的，而这个公式可以说是凑巧表达了一个元数学命题。在展开理查德悖论时，问题是数n是否具有是理查德数的元数学性质。而在哥德尔建构中，问题是数g=sub(n,17,n)是否具有某一算术性质——即不存在数x使命题‘dem(x,g)’成立的性质。因此就哥德尔的建构来说，与理查德悖论不同，在PM内的命题和关于PM的命题之间不存在混淆之处。

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丽拉先生 (丫的人做事？)

在上面的论述过程中，一个在定义的顺序排列过程中重要却未明确表述的要求被悄悄丢掉了。当初考虑的定义，应该是对整数的纯算术性质的定义，对这种性质的描述可以使用算术中加、乘等概念。但是前面的论述中，在没有预警的情况下，我们被要求在定义序列中接受涉及描述算术性质时所用的语言的性质定义。明确地说，理查德数的定义，不属于我们开始时所说的定义序列，因为这个定义涉及定义表达句的语言（如英文）中字母（或符号）的数目...
2015-03-04 19:47

在上面的论述过程中，一个在定义的顺序排列过程中重要却未明确表述的要求被悄悄丢掉了。当初考虑的定义，应该是对整数的纯算术性质的定义，对这种性质的描述可以使用算术中加、乘等概念。但是前面的论述中，在没有预警的情况下，我们被要求在定义序列中接受涉及描述算术性质时所用的语言的性质定义。明确地说，理查德数的定义，不属于我们开始时所说的定义序列，因为这个定义涉及定义表达句的语言（如英文）中字母（或符号）的数目等元数学概念。

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丽拉先生 (丫的人做事？)

p⊃(~p⊃q) （读作如果p，那么如果非p那么q）是从公理中推到出的演算中的一条定理。假设，有某一命题S及其形式否定~S都能从这组公理中推导出来。在上面的定理中用S替换变量“p”(使用替换规则)，然后连着应用分离规则两次，就可推导出公式“q”。【通过用S替换p，首先得到：S⊃(~S⊃q)。其次因已假设S是可证的，应用分离规则我们就可以得到~S⊃q。最后，因为~S也已嘉定为可证的，再次用分离规则，我们就得到q。】如..
2015-02-23 11:25

p⊃(~p⊃q) （读作如果p，那么如果非p那么q）是从公理中推到出的演算中的一条定理。
假设，有某一命题S及其形式否定~S都能从这组公理中推导出来。在上面的定理中用S替换变量“p”(使用替换规则)，然后连着应用分离规则两次，就可推导出公式“q”。【通过用S替换p，首先得到：S⊃(~S⊃q)。其次因已假设S是可证的，应用分离规则我们就可以得到~S⊃q。最后，因为~S也已嘉定为可证的，再次用分离规则，我们就得到q。】如果这个含有变量“q”的公式是可证的，那么立刻就会看到，不论什么样的公式带入“q”，这个公式都可以从这组公理推导出来。如果有某个公式和其形式否定~S都可从这组公理导出，则任何公式均可从这组公理导出。总之一句话，如果这个演算系统不是一致的，则每一个公式都是定理，或者说从一组相互矛盾的公理出发任何共识都可被推导出来。反过来说，如果不是每个公式都是定理（即如果至少有一个公式不能从这组公理推导出来），那么这个演算系统是一致的。因此，我们的任务就是要去证明至少有一个公式是无法从这组公理推导出来的。

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建议学文科的人士读读	来自[已注销]	9 回应	2013-01-05
如果只是想最粗浅的了解哥德尔的证明，更好的办法...	来自Y君		2012-07-23