大唐狄公案

解谜的艺术3 迷宫补记(迷宫案，篆香炉，均匀支撑树) 一片春愁待酒浇。江上舟摇，楼上帘招。秋娘渡与泰娘桥，风又飘飘，雨又萧萧。 何日归家洗客袍？银字笙调，心字香烧。流光容易把人抛，红了樱桃，绿了芭蕉。 ——蒋捷 《一剪梅·舟过吴江》 小阁藏春，闲窗销昼，画堂无限深幽。 篆香烧尽，日影下帘钩。…… ——李清照 《满庭芳》 古人多有焚香之趣。除祭祀、去浊等普通用途，焚香对于文人而言其主要作用莫过于营造一种风雅的艺术氛围。轻烟氤氲中，抚琴、作画、弈棋、品茗诸事平添几分雅致。如《听琴图》(局部)所示：苍松下，徽宗道冠缁衣，轻拨琴弦，意态闲雅。其右立高几，上设熏炉。松风竹韵，袅袅青烟，再加俩懂行的大臣作陪，徽宗琴事办得果然不赖。《听琴图》清丽疏朗，而年代稍晚的《伯牙鼓琴图》更古雅些。俞伯牙右侧根形炉架上摆着博山熏炉，这种熏炉是汉、晋时期常见的焚香器具。以高雅著称的林妹妹当然也嗜好焚香，如《红楼梦》第二十七回中展现林小姐雅致生活最集中的一句：“林黛玉便回头叫紫鹃道：‘把屋子收拾了，撂下一扇纱屉；看那大燕子回来，把帘子放下来，拿狮子倚住；烧了香就把炉罩上。’”说起闺中人，自然生出“红袖添香”的美妙意象。而古代焚香所用之香并非现在常见的三根一组的立香，而是香丸、香球、香饼、香粉之类。至于如何添香、焚香我略去不谈，对此网上多篇文章有生动的细节刻画。在诸多焚香炉具中，印(篆)香炉颇具趣味。其独特之处在于有一个印(篆)香模，上面镂空成篆字或吉祥图案。使用时，将香料铺在香模上，轻压并刮去多余香料，然后提出香模，便可以得到香篆了。蒋捷词中提到的香即是心字香篆。1878年，有人将各种香篆图汇集成书，取名《香印图考》。若干年后，书中的一幅图衍化出一个美妙的谜题。设计这个谜题的正是荷兰传奇汉学家高罗佩(Robert Hans van Gulik)。

宋徽宗《听琴图》局部

《伯牙鼓琴图》局部 元 王振朋

印香模

明 高濂 《遵生八笺》 香印图

宋 陈敬 《新纂香谱》 香印图

高芝台短暂的一生可谓参差多态，他一不小心学了15种语言，因外交事务周游诸国；他痴迷汉学，娶中国老婆，琴棋书画样样精通，撰写极具东方风情的狄公案系列小说，并把其中的《The Chinese Maze Murder》(即陈来元、胡明译本《迷宫案》，老高自译本题为《狄仁杰奇案》)用古白话译出。芝台雅俗通吃，娱乐活动也颇多，其日记中精当的香艳片段绝不亚于“局长日记”。然而，局长玩玩而已，芝台以《中国古代房内考》遗世，填补巨大学术空白。学养与性灵相融，芝台的想象力天马行空，古雅的风物在狄公小说中化成一个个玄妙的谜题。《迷宫案》中，老高参考《香印图考》设计了一个形似篆书“虚空楼阁”的迷宫。 (原书后记里老高对迷宫的设计来源有下述描述：“The design of the maze reproduced in the present story is in reality that of the cover of a Chinese incense burner. It is an old Chinese custom to place a thin plate of copper with a cut-out and continuous design, on top of a vessel filled to the brim with incense powder. When the powder is lighted at one end of the design, it slowly burns on like a fuse following the design. During past centuries, there were published in China a number of books reproducing various designs of this kind, usually representing some auspicious phrase, and often of great ingenuity. The design utilized in the present story was borrowed from the Hsiang-yin-t'u-k'ao, a book on this subject published in 1878.”) 当然，老高对篆刻艺术的喜好应该也是灵感来源之一。只要你不是傻瓜且有耐心，对任何有限的迷宫而言走到目标位置只是时间长短的问题，更何况还有算法作参考。可惜一般方法对老高的迷宫失效，因为这个迷宫的目标位置是正径所不能到达的，这点恰好暗合“虚空”二字。芝台高明之处不仅在此，破解迷宫的方法也被藏在一幅山水画中。而要识破天机，还得排除藏在画的夹层中假遗嘱的误导作用。在后记里，老高说画中夹带遗嘱的设计模仿了《龙图公案》的一个案子。老高熟谙装裱法(参见高的著作《中国绘画鉴赏》——中国及日本以卷轴装裱为基础的传统绘画手法)，谜题的设计也得力于此。

高罗佩《五朵祥云》之盘香图；高罗佩《迷宫案》之迷宫图

虚空楼阁“迷你繁篆书”（篆书在线转换）

海淀2013创建全国文明城区logo，可与迷宫图对照

值得注意的是，老高的迷宫图与香印图有根本的不同之处。仔细观察会发现所有的香印图拓扑结构都是树，即图中不含圈。具备这种性质的原因有二：1 香篆必须是连通图，否则点燃一处之后不能保证香全部燃尽； 2 香模也必须是连通的，即为一个整体。又因为香模与香篆互为对偶图，所以它们都是树(将香模的边界看做一个点)。显然，老高的迷宫图中含圈，所以原书中的香印图肯定被调整过。

一些香模的形状比较“正规”，如“印香模”一图右下角展示的香模可以看做是矩形整点格子图的支撑树(外边界看做一个点)。又如上图为方形整点格子图的一棵支撑树。把此树看做围墙的投影图，从而我们得到一个迷宫。围墙内部空白区域的图结构恰好也是树，并与围墙树互为对偶图。由于格子图的支撑树有许多棵，为考察“典范”的支撑树的几何结构，我们可以等概率地选取其中之一，于是得到均匀支撑树(Uniform Spanning Tree)。由均匀支撑树我们便构造了一个(均匀)随机迷宫。利用擦圈随机游动(Loop Erased Random Walk)，1996年Wilson给出了一种非常有效的生成均匀随机迷宫(均匀支撑树)的算法。演示程序链接：http://weblog.jamisbuck.org/2011/1/20/maze-generation-wilson-s-algorithm 下面为均匀支撑树的几个有趣的性质： 1、 令Bn表示中心为原点边长为n的方形格子图，Pn表示Bn的均匀支撑树测度。则当n趋于无穷时，Pn收敛于平面格子图均匀支撑树测度。从而我们以很自然的方式构造出平面上的无穷大均匀随机迷宫。此迷宫任意两个空格只有一条路相连，且从任意一个空格出发也只有一条路能通往无穷远。(Pemantle, 1991) 2、两只蚂蚁在1中构造的无穷大均匀随机迷宫中做独立随机游动，则它们几乎必然相遇。（Barlow, Peres, Sousi, 2012）

3、将B(n)压缩为单位正方形B(1)。显然B(1)的左下角到右上角在随机迷宫中存在唯一一条路，当n 趋于无穷时，此路收敛于chordal SLE(2) path (Lawler, Schramm, Werner, 2004; 其中Werner为2006年菲尔兹奖得主，也是第一个获此殊荣的概率学家).

4、考虑环带A(m,n)上的均匀支撑树，若n/m趋于无穷，环带内圈到外圈的随机路环绕原点的圈数有什么性质？在假定内圈到外圈有两条或三条不交路的条件下呢？参见Kenyon, 2000, Long-range properties of spanning trees. 对于临界渗流(critical percolation)双色路的类似问题，本人最近证得中心极限定理，见博文http://blog.sina.com.cn/s/blog_8d1adcb301016lao.html 及EJP论文http://ejp.ejpecp.org/article/view/2285（这两类模型环带中的随机路可以视为某种不规则的随机对数螺线）

我们甚至可以在环面上构造均匀随机迷宫，如图所示。Russell Lyons提出如下公开问题：迷宫中的圈(图中以紫罗兰色线圈表示)有多长？假设环面周长为n，Lyons猜测迷宫圈长大致为n^(5/4)。参见http://www.math.indiana.edu/gallery/maze.phtml ————————————-————————————————————

《印香炉式图》中的“虚空楼阁”与高罗佩的迷宫图

2015年4月3日我在网上下载了丁月湖的《印香炉式图》（或称《香印篆册》）电子书，发现书中被高罗佩的《大唐狄公案》采用的“五朵云”与“虚空楼阁”。前者与五朵祥云完全一致，后者略有改动，与我之前的推测相符：原图不含“圈”，而高罗佩的迷宫图却有“圈”。

西谚云：黑暗中总有光明（Every cloud has a silver lining. --a western proverb） 本案中，狄公解谜破案还是一如既往的精彩曲折。但此案令人印象深刻的还有破案过程中的一段插曲：故事伊始，就提到跟班马荣从京师的二叔那里获继两枚金锭，狄公在金山乐苑歇脚时，特意提醒马荣不可只图快活而将这笔财富遗落此处——“被歹人诈去，偷儿窃去，姐儿哄去”。马荣则满口应承，声称会珍惜这笔用做晚岁生计的巨款，留着买房买船，至于吃酒泡妞，二两碎银已足够了。 阅读及此，已经非常熟悉高罗佩叙事方式的读者，自然会猜到此处并非插科打诨的无关之笔。并进一步预料到随着故事终了，风流放浪的马荣必然保不住这两锭金子，只是不知何时以何种方式失去。 故事渐渐展开，马荣作为狄公的得力助手，在缉凶过程中与一位沦落烟花柳巷的同乡女子银仙两情相悦，并发展到马荣认为可以谈婚论嫁的地步。高罗佩做足了这一情感发展过程中的细节铺垫，自然不是这里几句话就能概括得尽的。 闲言少叙，总之马荣最后在银仙毫不知情的情况下为其赎身，以便娶其为妻。两锭金子的去向终于明了——只是若能换得情投意合的伴侣同归，也是物有所值，不枉白花。

正当读者以为银仙会因此欢喜，两人从此幸福快乐的生活在一起的时候，事情却急转直下。马荣向银仙告白之际，却发现银仙因为被赎身而悲啼哀怨，原来她与马荣只是逢场作戏，一颗芳心早已暗许高穷帅的贾秀才，两人已定下鸳盟，只是秀才为钱所困，一直未能如愿。此时被赎身意味着银仙必须听命新主人的摆布，有情人不能成为眷属，两人正商量一齐上吊赴死。 马荣本来一腔欢喜，却被兜头冷水浇灭，并且两人还都当他为路人甲而向他求助。最终，马荣亮出赎身契，成全这二人，并用言语掩饰了自己的真实意图。爱她就让她自由——这是怎样的一种爱啊？！两锭金子的最终下落至此也被狄公不幸言中了。 这一副线的叙述，与案情主线融合一体，展开过程是那么曲折自然。这丰富了案情，也丰满了人物形象（狄公的先知先觉、马荣的风流和大度，青楼女子的无情与有情），显现了高罗佩高超的情节设计和文字驾驭能力，在叙述血腥的惨案和残忍的罪犯的同时，还不忘提及人性柔弱而又温馨的一面，让读者在案情紧张之余，也能对马荣为他人作嫁衣裳的意外结局进行解嘲，得到片刻放松。 可作为对比的是，HBO历史剧《罗马》也有类似情节。泰特斯·波罗（Titus Pullo）为心仪的女奴赎身，亦是一厢情愿地将其当成红颜知己，怎奈女奴同样心有所属。激情受挫时分，波罗的选择却与马荣所为迥异：他在雄性荷尔蒙的驱使下打破了情敌的脑袋——这虽然更符合实际，但尽显人性之恶。

作者在后记里讲：那个时候插画露出女人的裸足，会被认为非常下流，此书将来可能在中国发行，故而隐去。