数论导引

第1章　素数(1)　1
1.1　整除性　1
1.2　素数　2
1.3　算术基本定理的表述　3
1.4　素数序列　4
1.5　关于素数的某些问题　5
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第1章　素数(1)　1
1.1　整除性　1
1.2　素数　2
1.3　算术基本定理的表述　3
1.4　素数序列　4
1.5　关于素数的某些问题　5
1.6　若干记号　6
1.7　对数函数　8
1.8　素数定理的表述　9
本章附注　10
第2章　素数(2)　11
2.1　Euclid第二定理的第一个证明　11
2.2　Euclid方法的推论　11
2.3　某种算术级数中的素数　12
2.4　Euclid定理的第二个证明　13
2.5　Fermat数和Mersenne数　14
2.6　Euclid定理的第三个证明　16
2.7　关于素数公式的进一步结果　17
2.8　关于素数的未解决的问题　18
2.9　整数模　19
2.10　算术基本定理的证明　20
2.11　基本定理的另一个证明　21
本章附注　21
第3章　Farey数列和Minkowski定理　23
3.1　Farey数列的定义和最简单的性质　23
3.2　两个特征性质的等价性　24
3.3　定理28和定理29的第一个证明　25
3.4　定理28和定理29的第二个证明　25
3.5　整数格　26
3.6　基本格的某些简单性质　27
3.7　定理28和定理29的第三个证明　29
3.8　连续统的Farey分割　29
3.9　Minkowski定理　30
3.10　Minkowski定理的证明　32
3.11　定理37的进一步拓展　33
本章附注　35
第4章　无理数　37
4.1　概论　37
4.2　已知的无理数　38
4.3　Pythagoras定理及其推广　38
4.4　基本定理在定理43至定理45证明中的应用　40
4.5　历史杂谈　41
4.6　sqrt5无理性的几何证明　42
4.7　更多的无理数　43
本章附注　45
第5章　同余和剩余　47
5.1　最大公约数和最小公倍数　47
5.2　同余和剩余类　48
5.3　同余式的初等性质　49
5.4　线性同余式　50
5.5　Euler函数φ(m)　52
5.6　把定理59和定理61应用到三角和中　54
5.7　一个一般性的原理　57
5.8　正十七边形的构造　58
本章附注　62
第6章　Fermat定理及其推论　64
6.1　Fermat定理　64
6.2　二项系数的某些性质　65
6.3　定理72的第二个证明　67
6.4　定理22的证明　67
6.5　二次剩余　68
6.6　定理79的特例：Wilson定理　70
6.7　二次剩余和非剩余的初等性质　71
6.8　a(mod m)的阶　73
6.9　Fermat定理的逆定理　74
6.10　2p-1-1是否能被p2整除　75
6.11　Gauss引理和2的二次特征　76
6.12　二次互倒律　79
6.13　二次互倒律的证明　81
6.14　素数的判定　82
6.15　Mersenne数的因子和Euler定理　84
本章附注　84
第7章　同余式的一般性质　86
7.1　同余式的根　86
7.2　整多项式和恒等同余式　86
7.3　多项式(mod m)的整除性　88
7.4　素数模同余式的根　88
7.5　一般定理的某些应用　90
7.6　Fermat定理和Wilson定理的Lagrange证明　92
7.7　[1/2( p–1)]!的剩余　93
7.8　Wolstenholme定理　94
7.9　von Staudt定理　95
7.10　von Staudt定理的证明　97
本章附注　99
第8章　复合模的同余式　100
8.1　线性同余式　100
8.2　高次同余式　102
8.3　素数幂模的同余式　102
8.4　例子　104
8.5　Bauer的恒等同余式　105
8.6　Bauer的同余式：p=2的情形　107
8.7　Leudesdorf的一个定理　108
8.8　Bauer定理的进一步的推论　110
8.9　2p-1和(p-1)!关于模p2的同余式　112
本章附注　114
第9章　用十进制小数表示数　115
9.1　与给定的数相伴的十进制小数　115
9.2　有限小数和循环小数　118
9.3　用其他进位制表示数　119
9.4　用小数定义无理数　120
9.5　整除性判别法　122
9.6　有最大周期的十进制小数　122
9.7　Bachet的称重问题　123
9.8　Nim博弈　125
9.9　缺失数字的整数　127
9.10　测度为零的集合　128
9.11　缺失数字的十进制小数　130
9.12　正规数　131
9.13　几乎所有的数都是正规数的证明　133
本章附注　136
第10章　连分数　137
10.1　有限连分数　137
10.2　连分数的渐近分数　138
10.3　商为正的连分数　139
10.4　简单连分数　140
10.5　用简单连分数表示不可约有理分数　141
10.6　连分数算法和Euclid算法　143
10.7　连分数与其渐近分数的差　145
10.8　无限简单连分数　147
10.9　用无限连分数表示无理数　148
10.10　一个引理　150
10.11　等价的数　151
10.12　周期连分数　154
10.13　某些特殊的二次根式　156
10.14　Fibonacci数列和Lucas数列　158
10.15　用渐近分数作逼近　161
本章附注　165
第11章　用有理数逼近无理数　166
11.1　问题的表述　166
11.2　问题的推广　167
11.3　Dirichlet的一个论证方法　168
11.4　逼近的阶　170
11.5　代数数和超越数　171
11.6　超越数的存在性　172
11.7　Liouville定理和超越数的构造　173
11.8　对任意无理数的最佳逼近的度量　175
11.9　有关连分数的渐近分数的另一个定理　176
11.10　具有有界商的连分数　177
11.11　有关逼近的进一步定理　180
11.12　联立逼近　182
11.13　e的超越性　182
11.14　π的超越性　186
本章附注　189
第12章　k(1), k(i), k(p)zhongde算术基本定理
12.1　代数数和代数整数　191
12.2　有理整数、Gauss整数和k(p)中的整数　191
12.3　Euclid算法　193
12.4　将Euclid算法应用到k(1)中的基本定理　193
12.5　关于Euclid算法和基本定理的历史注释　195
12.6　Gauss整数的性质　195
12.7　k(i)中的素元　197
12.8　k(i)中的算术基本定理　199
12.9　k(p)中的整数　201
本章附注　204
第13章　某些Diophantus方程　205
13.1　Fermat大定理　205
13.2　方程x2+y2=z2　205
13.3　方程x4+y4=z4　206
13.4　方程x3+y3=z3　208
13.5　方程x3+y3=3z3　211
13.6　用有理数的三次幂之和表示有理数　213
13.7　方程x3+y3+z3=t3　215
本章附注　218
第14章　二次域(1)　220
14.1　代数数域　220
14.2　代数数和代数整数, 本原多项式　221
14.3　一般的二次域k(√m 222
14.4　单位和素元　223
14.5　k(√2）中的单位　225
14.6　基本定理不成立的数域　227
14.7　复Euclid域　228
14.8　实Euclid域　230
14.9　实Euclid域(续)　232
本章附注　234
第15章　二次域(2)　235
15.1　k(i)中的素元　235
15.2　k(i)中的Fermat定理　236
15.3　k(o)中的素元　237
15.4　k(sqrt 2)和k(sqrt 5)中的素元　238
15.5　Mersenne数M4n+3的素性的Lucas判别法　241
15.6　二次域算术上的一般性注释　243
15.7　二次域中的理想　244
15.8　其他的域　247
本章附注　248
第16章　算术函数φ(n),μ(n),d(n),σ(n),r(n)　249
16.1　函数φ(n)　249
16.2　定理63的进一步证明　250
16.3　M\oius函数　250
16.4　Moius反转公式　252
16.5　进一步的反转公式　253
16.6　Ramanujan和的估计　253
16.7　函数d(n)和σk(n)　255
16.8　完全数　256
16.9　函数r(n)　257
16.10　r(n)公式的证明　258
本章附注　259
第17章　算术函数的生成函数　261
17.1　由Dirichlet级数生成算术函数　261
17.2　ζ函数　262
17.3　ζ(s)在s→1时的性状　263
17.4　Dirichlet级数的乘法　265
17.5　某些特殊算术函数的生成函数　267
17.6　Moius公式的解析说明　268
17.7　函数A\(n)　271
17.8　生成函数的进一步例子　273
17.9　r(n)的生成函数　274
17.10　其他类型的生成函数　275
本章附注　277
第18章　算术函数的阶　279
18.1　d(n)的阶　279
18.2　d(n)的平均阶　282
18.3　σ(n)的阶　285
18.4　φ(n)的阶　286
18.5　φ(n)的平均阶　287
18.6　无平方因子数的个数　288
18.7　r(n)的阶　289
本章附注　291
第19章　分划　292
19.1　加性算术的一般问题　292
19.2　数的分划　292
19.3　p(n)的生成函数　293
19.4　其他的生成函数　295
19.5　Euler的两个定理　296
19.6　进一步的代数恒等式　298
19.7　F(x)的另一个公式　299
19.8　Jacobi定理　300
19.9　Jacobi恒等式的特例　302
19.10　定理353的应用　304
19.11　定理358的初等证明　305
19.12　p(n)的同余性质　306
19.13　Rogers-Ramanujan恒等式　308
19.14　定理362和定理363的证明　310
19.15　Ramanujan连分数　312
本章附注　314
第20章　用两个或四个平方和表示数　316
20.1　Waring问题：数g(k)和G(k)　316
20.2　平方和　317
20.3　定理366的第二个证明　318
20.4　定理366的第三个和第四个证明　319
20.5　四平方定理　320
20.6　四元数　322
20.7　关于整四元数的预备定理　324
20.8　两个四元数的最高右公约数　326
20.9　素四元数和定理370的证明　327
20.10　g(2)和G(2)的值　329
20.11　定理369的第三个证明的引理　329
20.12　定理369的第三个证明：表法个数　330
20.13　用多个平方和表示数　333
本章附注　334
第21章　用立方数以及更高次幂,表示数　336
21.1　四次幂　336
21.2　三次幂：G(3)和g(3)的存在性　337
21.3　g(3)的界　338
21.4　更高次幂　339
21.5　g(k)的一个下界　340
21.6　G(k)的下界　341
21.7　受符号影响的和：数v(k)　344
21.8　v(k)的上界　345
21.9　Prouhet-Tarry问题：数P(k,j)　347
21.10　对特殊的k和j, P(k,j)的估计　349
21.11　Diophantus分析的进一步问题　351
本章附注　354
第22章　素数(3)　360
22.1　函数θ(x)和ψ(x)　360
22.2　θ(x)和ψ(x)的阶为x的证明　361
22.3　Bertrand假设和一个关于素数的“公式”　363
22.4　定理7和定理9的证明　366
22.5　两个形式变换　367
22.6　一个重要的和　368
22.7　∑p-1与∏(1–p-1)　　 370
22.8　Mertens定理　372
22.9　定理323和定理328的证明　374
22.10　n的素因子个数　376
22.11　ω(n)和Ω(n)的正规阶　377
22.12　关于圆整数的一个注解　379
22.13　d(n)的正规阶　380
22.14　Selberg定理　381
22.15　函数R(x)和V(ξ)　383
22.16　定理434、定理6和定理8证明的完成　386
22.17　定理335的证明　389
22.18　k个素因子的乘积　389
22.19　区间中的素数　392
22.20　关于素数对p,p+2分布的一个猜想　393
本章附注　395
第23章　Kronecker定理　397
23.1　一维的Kronecker定理　397
23.2　一维定理的证明　398
23.3　反射光线的问题　400
23.4　一般定理的表述　402
23.5　定理的两种形式　403
23.6　一个例证　405
23.7　Kronecker定理的Lettenmeyer证明　405
23.8　Kronecker定理的Estermann证明　407
23.9　Kronecker定理的Bohr证明　409
23.10　一致分布　411
本章附注　413
第24章　数的几何　414
24.1　基本定理的导引和重新表述　414
24.2　简单的应用　415
24.3　定理448的算术证明　417
24.4　最佳不等式　419
24.5　关于ξ2+ξ2的最佳不等式　420
24.6　关于ξ2+η2 的最佳不等式　421
24.7　关于非齐次型的一个定理　423
24.8　定理455的算术证明　425
24.9　Tchebotaref定理　426
24.10　Minkowski定理(定理446)的逆定理　428
本章附注　432
附录　436
参考书目　438
特殊符号以及术语索引　441
常见人名对照表　444
总索引　446
补遗　457
· · · · · · (收起)