实变函数与泛函分析基础 第四版的笔记(8)

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  • Présence (俯仰岁将暮,知交半零落)

    1.设c为全体实数R的基数,a为全体正整数Z+的基数,那么c>a。 称全体实数R的基数c为「连续基数」。 2.任意区间(a,b) [a,b) (a,b] (0,∞) [0,∞)均具有连续基数c。(其中b>a) 3.一组具有连续基数c且互不相交的集合的并集,也具有连续基数c。

    2021-11-24 16:03:45

  • Présence (俯仰岁将暮,知交半零落)

    一,「实数的正规表示」 (0,1)中每一个实数a都可以唯一地表示为十进制无穷小数: a=0.a1a2a3……= ∑(n=1,∞)(an/10^n) 的形式, 其中: 1.an是0-9中的某一个数字, 2.不全为9且不以0为循环节。 二,要证明全体实数不可列,只需证明(0,1)不可列即可,因为全体实数与(0,1)是对等的,或者说是一一对应的,双射的。

    2021-11-24 15:46:24

  • Présence (俯仰岁将暮,知交半零落)

    1.有理数在实数中是处处稠密的,即在数轴上任何小区间中都有有理数存在(并且有无穷多个)。 2.有理数集与正整数集一一对应,有理数集是可数集。 3.综上,有理数集兼具「可数性」与「稠密性」。

    2021-11-23 15:57:11

  • Présence (俯仰岁将暮,知交半零落)

    1.非空有限集的典型特性是具有一个标志其元素个数的正整数。 2.两个非空有限集元素个数相等的充要条件是他们能和正整数列的同一截段一一对应,而这又等价于这两个集合彼此一一对应。 3.A,B是两个非空集合,且彼此双射,则称A与B对等,记作A~B。 4.一个无限集可以和它的真子集对等,但是一个有限集不能和它的真子集对等。 5.对等关系符合,自反性,传递性,对称性,替代性。 6.当两集合对等,则他们有相同的基数。 7.伯恩斯坦定理:

    2021-11-18 17:05:24

  • Présence (俯仰岁将暮,知交半零落)

    极限的唯一性: 极限的唯一性是指若数列的极限存在,则极限值是唯一的,且他的任何子列的极限都与原数列相等。

    2021-11-17 16:24:43

  • Présence (俯仰岁将暮,知交半零落)

    {fn(x)}有界的充要条件是存在M>0对任意n,|fn(x)|≤ M。 1.这里的存在是并集运算表示,因为只要所有的n所指定的x的集合中,最少有一个成立就可以。 2.任意用交集表示,因为任意需要检查所有的n对应的x集合必须都符合条件,才能使任意选定n成立,于是所有n指定的x集合必须在这一条件上相交。

    2021-11-16 15:41:16

  • Présence (俯仰岁将暮,知交半零落)

    1. 这个式子肯定是对的没错,但是没看出来这么表达的意义在哪里,除非就是想强行用一下并集运算。 2. 这个用并集表达的有理数的定义就很妙,完全就是信达雅。

    2021-11-13 16:40:06

  • Présence (俯仰岁将暮,知交半零落)

    一个集合里的各个元素必须是彼此互异的,元素的界限必须是明确的。 例如:「全体高个子」并不构成一个集合,因为「高个子」并没有一个明确的定义可用于集合的界限划分。

    2021-11-12 17:11:07

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