广义协变导数与平坦时空的协变形式不变性

前言

力学研究者都要研习张量分析。但很少有人知道，张量分析是爱因斯坦给起的“名字”。张量分析的前身是协变微分学。

如果问： 协变微分学中，最漂亮、最深刻的思想是什么？答案见仁见智，作者倾向于“协变性思想”。从Gauss，Riemann，Beltrami，Christoffel，Lipschitz，Ricci到LeviCivita，历经伟大先驱们的千锤百炼，协变性思想逐步走向成熟。然而，协变性思想虽然经典，但仍然存在令人难以察觉的细微局限性。其后果是，当我们应用协变微分学于力学研究时，往往陷入巨量计算的泥沼。那么，如何克服局限性？能否免于海量计算？在本专著中，作者将与大家一起，分享研究心得，探索数学力学的新疆界。

经典协变性思想中细微的局限性，是被博士生的疑问“引爆”的。2012年秋季学期，作者给研究生们开设张量分析课程。课堂上，博士生提出了一个看似非常幼稚的问题： “为什么基矢量没有协变导数？”作者回答： “协变导数是针对张量分量定义的概念。”随后又补了一句： “基矢量的协变导数没有定义。”这样的答复中规中矩，令人满意。然而，作者怎么也没想到，正是这个不起眼的疑问，暴露出了经典协变性思想的缺陷——经典协变微分学，只是张量分量的协变微分学。

我们常说“数量”。其实，“数”和“量”可以分开看。“数”有“数系”，即“数的系统”。类似地，“量”有“量系”，即“量的系统”。张量分析的量系构成了庞大集合，而分量仅仅是其中的一个子集。因此，张量分量的协变微分学，就是这个子集中的协变微分学。

本专著的主要目标，就是把经典协变性思想，拓展为广义协变性思想，把经典协变微分学，拓展为广义协变微分学。非常幸运，目标达成了。

当然，达成目标并非易事。作者深信古人的智慧： “磨刀不误砍柴工”。于是，殚精竭虑，打造了两件趁手“利刃”——一是定义了广义分量概念，意图重塑张量分析的量系； 二是抽象出了协变形式不变性公设，意图将广义协变微分学奠定在公理化思想的基础之上。读者可以体验一下：

广义协变导数与平坦时空的协变形式不变性

前言

握紧了这两把利刃，你就会有势如破竹的信心和勇气。

读者也许会问： “广义协变微分学，能带来什么好处？”好处很多，但这里只说其中一个——让张量分析变得致精致简。作者自己做研究生时，被张量分析的优美和深刻深深地吸引，但其中繁杂的计算令人不胜其烦。请教老师： 如何应对是

好？老师回答： 没招儿，只能死算。顾名思义，“死算”就是“往死里算”之意。如此美丽的理论体系，却建立在“死算”的基础之上，实在有美中不足之感。作者的看法是，基础科学发展，计算虽不可或缺，“死算”当尽力避免。很幸运，广义协变微分学绕开了“死算”的沼泽，完美地实现了“用观念代替计算”。

这里要解释一下。名言“用观念代替计算”的“专利”属于狄利克雷。狄利克雷曾这样称赞Gauss： “他一生努力的目标，都是用观念代替计算”。狄利克雷的看法是，有的数学家通过复杂运算开辟新道路，有的数学家则通过构建观念体系发现新数学。Gauss是后者的杰出代表。知Gauss者，狄利克雷也。听一个顶尖高手评价另一个顶尖高手，总能令人受益匪浅。

专著的后半部分被冠以“协变变分学”。协变变分学与协变微分学，只有一字之差。读者肯定会意识到： 协变变分学肯定是跟着协变微分学“学的”。你猜对了，协变变分学确实是照猫画虎的产物。作者正是把协变微分学作为“临摹”对象，一点一滴地“塑造”出了协变变分学。

作者十分敬仰伟大先驱们创造的协变微分学。在“千鉴赏，万揣摩”的过程中，作者发现了一点不足： 张量的协变微分学，主要是“空间”上的协变微分学，“时间”好像被忽视了。

力学研究者一定要熟悉空间。理由很简单： 力学研究物质的运动，而任何运动都发生在特定的空间中，一定要受到空间形式的制约。另一方面，我们所研究的运动，既包括空间上的物质运动，也包括物质空间自身的运动。要刻画物质运动规律，仅有空间是不够的，还必须有时间。

有一天，作者向前辈力学家武际可先生汇报研究进展，费了很大的劲，啰嗦了半天，终于把上述见解阐释清楚了。没想到武先生轻描淡写地讲了一句话： “力学研究空间上的场，但这场函数是带参数的。”听了这一句话，顿开茅塞！当参数取为时间变量时，我啰嗦了半天的内容，瞬间就被一句话概括了。

聪明的读者肯定知道作者下面想说什么了： 空间中，伟大先驱们发展了协变性思想，创作了协变微分学的“画卷”。既然空间和时间形影不离，那么，时间中，有没有类似动人心弦的“画面”呢？凭直觉，作者觉得答案是肯定的。于是，小心翼翼地追寻着先驱们的足迹，模仿着他们在空间中创作的“画作”，描绘出了时间中的“画面”，完成了协变变分学的塑造。虽然有照猫画虎之嫌，但在作者的内心深处，确有向伟大先驱们致敬之意。

作者“胆敢”塑造协变变分学，信心来自哈代的名言。哈代有名言： “数学家与雕塑家和文学家没什么差别，都是造型师。”在哈代看来，数学是可以被塑造的。哈代的观点可以推广到数学力学。作者这样理解： 数学力学规律的内容虽然是客观的，但表达自然规律的形式却是可以塑造的。

既然协变变分学是可以“塑造”的，那就必然会揉入主观性的因素（例如个人的好恶）。这就涉及一个根本问题： 塑造出来的协变变分学，是客观实在吗？作者的答案是肯定的。作者期待，读者在阅读了本专著之后，也能给出肯定的答案。

（广义）协变变分学与（广义）协变微分学，思想是完全一致的，理论体系的结构也是完全对称的。读者理解了（广义）协变微分学，就会毫不费力地理解（广义）协变变分学。

（广义）协变性思想最佳的用武之地是卷曲空间。但限于篇幅，本专著只涉及平坦空间，后继专著再论及卷曲空间。

作者期待聆听读者对本专著的评论和指教。

殷雅俊

2020年1月