目录
序
前言
译者的话
第1章 微分方程 1
1.1 微分方程概述 2
1.2 线性微分方程的回顾和补充 4
1.2.1 线性微分方程的定义以及线性Cauchy-Lipschitz(柯西-利普希茨)定理 4
1.2.2 朗斯基行列式和常数变易法 6
1.2.3 常系数线性微分方程 13
1.2.4 求解微分方程的例子 13
1.3 非线性微分方程 21
1.3.1 非线性Cauchy-Lipschitz定理及其推论 21
1.3.2 变量分离方程 24
1.3.3 将非线性方程转化成线性方程的例子 25
1.3.4 自治方程 25
1.3.5 定性研究的例子 28
1.4 附录 29
1.4.1 线性Cauchy-Lipschitz定理的证明 29
第2章 积分 35
2.1 正值函数的积分 36
2.1.1 可积的正值函数和正值函数的积分 36
2.1.2 积分的性质 37
2.1.3 与广义积分收敛性的联系 42
2.1.4 参考积分 45
2.1.5 正值函数可积性的判据 46
2.1.6 比较关系的积分 49
2.2 实值或复值函数的积分 53
2.2.1 可积和积分的定义 53
2.2.2 积分的性质 56
2.2.3 空间L1(I)和L2(I) 58
2.2.4 比较关系的积分 61
2.3 证明可积性和/或计算积分的工具 63
2.3.1 简单的判据 63
2.3.2 比较法 65
2.3.3 分部积分 66
2.3.4 换元积分 67
2.3.5 级数积分比较 70
2.4 函数项序列与积分 71
2.4.1 问题的阐述 71
2.4.2 闭区间的情况 71
2.4.3 单调收敛定理和Beppo-Levi定理 72
2.4.4 Lebesgue(勒贝格)控制收敛定理 74
2.4.5 函数项级数在任意区间上的积分 75
2.5 含参数的积分 76
2.5.1 控制的概念和证明的原理 76
2.5.2 含参积分的连续性和可导性 77
2.5.3 Γ(伽马)函数 86
2.6 双变量函数的积分 90
2.6.1 在闭矩形区域上的Fubini(富比尼)定理 90
2.6.2 正值函数在区域I×J上的积分 92
2.6.3 实值或复值函数在区域I×J上的积分 93
2.6.4 Fubini定理 94
2.6.5 二重积分的计算 97
2.6.6 二重积分的换元法 99
第3章 概率 100
3.1 事件σ代数的概念和概率测度的定义(回顾)101
3.1.1 事件σ代数及其性质 101
3.1.2 概率测度 105
3.2 实随机变量、分布函数和概率分布律 108
3.2.1 实随机变量 108
3.2.2 实随机变量的分布函数和概率分布律 112
3.3 有密度的实随机变量/连续型随机变量 115
3.3.1 定义和例子 115
3.3.2 有密度的随机变量的概率分布律和第一转换定理 116
3.3.3 数学期望及其性质,以及第二转换定理 122
3.3.4 方差和标准差 125
3.3.5 Markov(马尔可夫)不等式和Bienayme-Tchebychev(别奈梅-切比雪夫)不等式 127
3.4 常见的连续型概率分布律 129
3.4.1 均匀分布/一致分布 129
3.4.2 指数分布 130
3.4.3 正态分布 133
3.4.4 Gamma(伽马)分布的随机变量 137
3.5 独立性 140
3.5.1 与独立性有关的主要定义和性质的回顾 140
3.5.2 两个独立且有密度的随机变量的和的密度 144
3.6 收敛性 149
3.6.1 几乎必然收敛和依概率收敛 149
3.6.2 大数定律 153
3.6.3 依分布收敛 156
3.6.4 不同收敛模式的比较 158
3.6.5 中心极限定理 160
3.6.6 离散型随机变量的近似 161
第4章 幂级数和复分析初步 168
4.1 单复变量函数的求导 169
4.1.1 定义和例子 169
4.1.2 C-可导与R2-可微的联系,Cauchy-Riemann(柯西-黎曼)条件 171
4.1.3 全纯函数以及C-可导函数的运算 175
4.2 幂级数和收敛半径的定义 177
4.2.1 幂级数的定义和运算 177
4.2.2 收敛半径 178
4.2.3 收敛半径的实际计算 180
4.2.4 幂级数的运算以及收敛半径的关系 182
4.3 幂级数的和函数的性质 183
4.3.1 幂级数的和以及收敛开圆盘 183
4.3.2 幂级数的积分和求导 184
4.4 展成幂级数 192
4.4.1 定义以及与Taylor(泰勒)级数的联系 192
4.4.2 常见函数的幂级数展开 194
4.4.3 幂级数展开的其他方法 197
4.4.4 幂级数和Fourier(傅里叶)级数的联系 197
4.4.5 幂级数展开在微分方程求解中的应用 198
4.4.6 解析函数 198
4.5 全纯函数和积分计算 200
4.5.1 连续函数在路径上的积分 200
4.5.2 点关于路径的指数(indiced’un point par rapport a un chemin) 202
4.5.3 凸开集上的Cauchy定理 205
4.5.4 全纯函数的解析性 205
4.5.5 解析函数零点孤立性定理 207
4.5.6 留数定理 211
4.5.7 利用留数定理来计算积分的例子 215
4.5.8 使得计算闭路径上的积分时可以忽略某些部分的工具 220
4.5.9 补充部分：复对数 226
第5章 准Hilbert空间 235
5.1 实的准Hilbert空间 236
5.1.1 双线性型和对称的双线性型 236
5.1.2 R-向量空间上的内积 239
5.1.3 重要的等式和不等式 240
5.2 复的准Hilbert空间 242
5.2.1 半双线性型 243
5.2.2 埃尔米特积 246
5.2.3 重要的等式和不等式 247
5.3 准Hilbert空间中的正交性 250
5.3.1 定义 250
5.3.2 性质 252
5.3.3 正交直和 254
5.3.4 Schmidt(施密特)正交化过程 257
5.3.5 有限维空间中规范正交基的存在性以及到有限维子空间上的投影 261
5.3.6 欧几里得空间和埃尔米特空间 263
5.4 准Hilbert空间的自同态的伴随算子 265
5.4.1 定义 265
5.4.2 伴随算子的性质 266
5.4.3 有限维的情况 267
5.5 欧几里得空间或埃尔米特空间中重要的自同态 270
5.5.1 对称或自伴随的自同态 270
5.5.2 正交自同态或酉自同态 271
5.5.3 正交矩阵和酉矩阵 275
5.5.4 自伴随算子在规范正交基下的矩阵刻画 279
5.5.5 基本定理：有限维空间中自伴随算子的化简 280
5.6 实对称矩阵或埃尔米特矩阵的化简 283
5.6.1 基本定理 283
5.6.2 正的或正定的自伴随自同态或对称矩阵或埃尔米特矩阵 284
第6章 Fourier(傅里叶)级数 289
6.1 Fourier级数的理论框架 290
6.1.1 准Hilbert空间D 290
6.1.2 准Hilbert空间D中的一些结果 292
6.1.3 不等式在全纯函数中的应用 295
6.1.4 三角多项式以及用三角多项式函数来逼近连续函数或D中的函数 295
6.1.5 正则化函数(Fonctions regularisees) 297
6.2 函数的Fourier系数和相应的Fourier级数 299
6.2.1 Fourier系数和Fourier级数的定义 299
6.2.2 Fourier系数的性质 302
6.3 Fourier级数的收敛性 307
6.3.1 均方(或在D中)收敛 308
6.3.2 正规收敛 310
6.3.3 简单收敛 316
6.4 推广到T-周期函数的简短介绍 317
6.5 附录 318
6.5.1 逼近定理的证明 318
6.5.2 Dirichlet(狄利克雷)定理的证明 322
译者后记 325
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