目录
前言
第1章 绪论 1
1.1 对称性理论 2
1.2 守恒律的相关理论 3
1.3 近似对称的方法 4
1.4 Darboux变换方法 4
1.5 本书的主要工作 5
第2章 几类非线性系统的非局部留数对称及相互作用解 7
2.1 方法简介7
2.1.1 非局部留数对称的概念及其求解方法 7
2.1.2 CRE方法的介绍及其求解步骤 9
2.2 (2+1)维色散长波方程组的留数对称及相互作用解 10
2.2.1 (2+1)维色散长波方程组的留数对称及其局部化 11
2.2.2 (2+1)维色散长波方程组(2.2.1)的CRE可解及相互作用解 14
2.3 高阶Broer-Kaup方程组的留数对称及相互作用解 18
2.3.1 高阶Broer-Kaup方程组的CTE展开及其CTE可解性 21
2.3.2 高阶Broer-Kaup方程组的精确解 23
2.4 (2+1)维修正色散长波系统的CTE可解及相互作用解 27
2.5 修正的Boussinesq方程组的相容Riccati展开可解性及相互作用解 31
2.5.1 修正的Boussinesq方程组的相容Riccati展开可解性 31
2.5.2 修正的Boussinesq方程组的精确解 32
2.6 小结 35
第3章 利用辅助系统Lax对研究几类方程的非局部对称及群不变解 36
3.1 引言 36
3.2 基本的定义及方法简介 38
3.3 耦合KdV方程组的非局部对称、Painlevé可积性及相互作用解 40
3.3.1 耦合KdV方程的非局部对称 41
3.3.2 耦合KdV方程组非局部对称的局部化 42
3.3.3 耦合KdV方程组的对称约化 46
3.3.4 耦合KdV方程组的对称约化和Painlevé可积性 47
3.3.5 耦合KdV方程组的对称约化和群不变解 50
3.4 变系数耦合Newell-Whitehead方程组的非局部对称及群不变解研究 55
3.4.1 变系数耦合Newell-Whitehead方程组的非局部对称 55
3.4.2 变系数耦合Newell-Whitehead方程组非局部对称的局部化 57
3.4.3 变系数耦合Newell-Whitehead方程组的对称约化及群不变解 60
3.5 变系数AKNS方程组的非局部对称及群不变解 64
3.5.1 变系数AKNS系统非局部对称的局部化 65
3.5.2 变系数AKNS系统的对称约化和群不变解 69
3.6 广义变系数浅水波方程的非局部对称及精确解 74
3.6.1 广义变系数浅水波方程的截断Painlevé分析 74
3.6.2 广义变系数浅水波方程的非局部对称 75
3.6.3 广义变系数浅水波方程非局部对称的局部化 76
3.7 广义变系数浅水波方程的对称约化和精确解 79
3.8 小结 81
第4章 几类非线性系统的Lie对称分析、自伴随性及其守恒律 84
4.1 经典Lie群法 84
4.2 求守恒律的基本定义及定理 85
4.3 修正的Boussinesq方程组的自伴随性、Lie对称分析及其守恒律 87
4.3.1 修正的Boussinesq方程组的非线性自伴随性 88
4.3.2 修正的Boussinesq方程组的Lie对称分析及最优系统 89
4.3.3 修正的Boussinesq方程组的守恒律 91
4.4 MDWW系统的自伴随性、Lie对称分析及守恒律 93
4.4.1 MDWW系统的自伴随性 93
4.4.2 MDWW系统的Lie对称分析 95
4.4.3 MDWW系统的守恒律 96
4.5 HBK方程组的Lie群分析、自伴随性及守恒律 99
4.5.1 HBK方程组的Lie群分析99
4.5.2 HBK方程组的自伴随性 101
4.5.3 HBK方程组的守恒律 102
4.6 DLW方程组的Lie点对称分析及守恒律 105
4.6.1 DLW方程组的Lie点对称分析 105
4.6.2 DLW方程组的守恒律 106
4.7 小结 110
第5章 反应扩散方程组的条件Lie-B.cklund对称和不变子空间 111
5.1 主要的定义及定理 111
5.2 方程组(5.1.6)允许的条件Lie-B.cklund对称和不变子空间 114
5.3 方程组(5.1.6)的广义变量分离解 122
5.4 小结 125
第6章 带弱源项的非线性反应扩散方程的扰动不变子空间及近似广义泛函
变量分离解 126
6.1 引言 126
6.2 扰动的不变子空间及近似广义泛函变量分离解的相关理论 128
6.3 允许近似广义条件对称(6.3.1)的方程(6.1.5)的分类 130
6.4 方程(6.1.5)的近似广义变量分离解 134
6.5 小结 137
第7章 几类非局部方程的可积性、Darboux变换及精确解 138
7.1 引言 138
7.2 非局部Hirota方程的可积性、Darboux变换及精确解 139
7.2.1 可积非局部Hirota方程的推导 139
7.2.2 非局部Hirota方程的Darboux变换 140
7.2.3 非局部Hirota方程的孤子解 145
7.3 非局部耦合AKNS方程组的可积性、Darboux变换及精确解 153
7.3.1 非局部耦合AKNS方程组的Darboux变换 155
7.3.2 非局部耦合AKNS方程组的1阶Darboux变换 158
7.4 变系数非线性Schr.dinger方程的Darboux变换 160
7.4.1 变系数的非局部Schr.dinger方程 161
7.4.2 变系数非局部Schr.dinger方程的Darboux变换 162
7.4.3 变系数非线性Schr.dinger方程的精确解 166
7.4.4 小结 170
第8章 总结与展望 171
8.1 总结 171
8.2 展望 173
8.2.1 非线性方程保对称离散化的研究 173
8.2.2 变系数局部偏微分方程研究 174
8.2.3 变系数非局部偏微分方程研究 177
参考文献 179
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