Large Scale Geometry

Large scale geometry is the study of geometric objects viewed from a great distance. The idea of large scale geometry can be traced back to Mostow's work on rigidity and the work of Švarc, Milnor, and Wolf on growth of groups and is greatly influenced by Gromov's work on geometric group theory. In the last decades, large scale geometry has found important applications in group ...

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Large scale geometry is the study of geometric objects viewed from a great distance. The idea of large scale geometry can be traced back to Mostow's work on rigidity and the work of Švarc, Milnor, and Wolf on growth of groups and is greatly influenced by Gromov's work on geometric group theory. In the last decades, large scale geometry has found important applications in group theory, topology, geometry, higher index theory, computer science, and large data analysis.

This book provides a friendly approach to the basic theory of this exciting and fast growing subject and offers a glimpse of its applications to topology, geometry, and higher index theory. The authors have made a conscientious effort to make the book accessible to advanced undergraduate students, graduate students, and non-experts.

The second edition has been updated to cover recent developments involving constructions of groups and metric spaces with exotic properties as well as results charting new directions in index theory, and it also includes minor improvements in the presentation and an updated bibliography.

Preface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Notation and conventions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
1 Metric spaces and large scale geometry. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Groups as metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Quasi-isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
· · · · · · (更多)

Preface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Notation and conventions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
1 Metric spaces and large scale geometry. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Groups as metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Quasi-isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Coarse equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Hyperbolic spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Notes and remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Asymptotic dimension and decomposition complexity. . . . . . . . . . . . . 27
2.1 Topological dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Asymptotic dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Dimension of hyperbolic groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Upper bounds for asymptotic dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Asymptotic dimension of solvable groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6 Groups with infinite asymptotic dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7 Decomposition complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8 Invariance and permanence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.9 Groups with finite decomposition complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Notes and remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Amenability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1 Følner conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 The Hulanicki–Reiter condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Invariant means . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Notes and remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Property A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1 Definition and basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 The Higson–Roe condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Finite asymptotic dimension implies property A . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4 Property A and residually finite groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.5 Locally finite examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Notes and remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5 Coarse embeddings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1 Coarse embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 Embeddability into Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.3 Examples of embeddable spaces without property A . . . . . . . . . . . . 93
5.4 Convexity and reflexivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.5 Coarse embeddings and finite subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.6 Expanders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.7 A geometric characterization of non-embeddability . . . . . . . . . . . . . 105
5.8 Compression of coarse embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.9 Compression > ½ implies property A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Notes and remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6 Group actions on Banach spaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.1 Affine isometric actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.2 Metrically proper actions and a-T-menability . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.3 Actions on 𝓁𝑝-spaces and reflexive Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . 129
6.4 Kazhdan’s property (T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.5 Fixed points and Kazhdan’s property (T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.6 Construction of expanders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.7 Property (T) and spectral conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Notes and remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7 Coarse homology. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.1 Coarse locally finite homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.2 Uniformly finite homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.3 Eilenberg swindles and Ponzi schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.4 Aperiodic tiles and non-amenable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.5 Coarsening homology theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.6 The coarsening homomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Notes and remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8 Survey of applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.1 Topological rigidity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.2 Geometric rigidity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.3 Index theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
· · · · · · (收起)