Paul Erdős：离散数学的魅力

Paul Erdős在其一生中发表的论文比任何其他数学家都多，尤其是在离散数学领域。他善于发现漂亮且陈述简洁的问题，他的解决方案对整个数学界产生了深远影响。这本引人入胜的书籍专为学生撰写，通过提出引发Erdős兴趣的问题及其处理这些问题的卓越方法，向读者提供了一本易于理解的离散数学入门书籍。书中包括年轻时Erdős证明的Bertrand假设、Erdős-Szekeres幸福结局定理、De Bruijn-Erdős定理、Erdős-Rado Δ 系统、Erdős-Ko-Rado定理、Erdős-Stone定理、Erdős-Rényi-Sós友谊定理、Erdős-Rényi随机图、Chvátal-Erdős关于Hamilton环的定理，以及Erdős的其他成果；另外还有一些与其工作相关的成果，如Ramsey定理或关于弱Δ系统的Deza定理。附录涵盖了通常...

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Paul Erdős在其一生中发表的论文比任何其他数学家都多，尤其是在离散数学领域。他善于发现漂亮且陈述简洁的问题，他的解决方案对整个数学界产生了深远影响。这本引人入胜的书籍专为学生撰写，通过提出引发Erdős兴趣的问题及其处理这些问题的卓越方法，向读者提供了一本易于理解的离散数学入门书籍。书中包括年轻时Erdős证明的Bertrand假设、Erdős-Szekeres幸福结局定理、De Bruijn-Erdős定理、Erdős-Rado Δ 系统、Erdős-Ko-Rado定理、Erdős-Stone定理、Erdős-Rényi-Sós友谊定理、Erdős-Rényi随机图、Chvátal-Erdős关于Hamilton环的定理，以及Erdős的其他成果；另外还有一些与其工作相关的成果，如Ramsey定理或关于弱Δ系统的Deza定理。附录涵盖了通常在入门课程中缺失的内容。书中穿插了关于Erdős的个人轶事，提供了与这位传奇合作者互动的一些幕后故事。

前辅文
第一章 光荣的开端：Bertrand假设
1.1 二项式系数
1.2 一个引理
1.3 唯一分解定理
1.4 Legendre公式
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前辅文
第一章 光荣的开端：Bertrand假设
1.1 二项式系数
1.2 一个引理
1.3 唯一分解定理
1.4 Legendre公式
1.5 Erdős对Bertrand假设的证明
1.5.1 计划
1.5.2 一个e(p,N)的公式
1.5.3 一个pe(p,N)的上界
1.5.4 分离(1.9)的左边
1.5.5 合在一起
1.6 Bertrand假设原始形式的证明
1.7 Bertrand假设更早的证明
1.7.1 Chebyshev
1.7.2 Landau
1.7.3 Ramanujan
1.8 更多关于素数的问题和结论
1.8.1 Landau的问题
1.8.2 相邻素数间的小间隔
1.8.3 相邻素数间的大间隔
1.8.4 素数中的算术级数
1.8.5 我们总是回到我们的初恋
第二章 离散几何及其衍生
2.1 幸福结局定理
2.2 Sylvester-Gallai定理
2.3 一个De Bruijn-Erdős定理
2.4 De Bruijn-Erdős定理的其他证明
2.4.1 Hanani
2.4.2 Motzkin
2.4.3 Ryser
2.4.4 Basterfield、Kelly、Conway
第三章 Ramsey定理
3.1 图的Ramsey定理
3.2 Ramsey数
3.3 Ramsey定理的一个更一般的版本
3.4 应用到幸福结局定理
3.5 完整的Ramsey定理
3.6 一个自我中心的补充：自我互补的图
第四章 Delta系
4.1 Erdős和Rado的Δ系
4.2 Ramsey定理和弱Δ系
4.3 Deza定理
第五章 极值集合理论
5.1 Sperner定理
5.1.1 Sperner定理的一个简单证明
5.1.2 Bollobás集合对不等式
5.2 Erdős-Ko-Rado定理
5.2.1 Erdős-Ko-Rado定理的一个简单证明
5.2.2 Erdős-Ko-Rado定理中取到极值的族
5.3 Turán数
5.3.1 T(n,l,k)的一个下界
5.3.2 Turán数和Steiner系
5.3.3 T(n,l,k)的一个上界
5.4 Turán函数
5.5 超图的色数
第六章 Van der Waerden定理
6.1 这个定理
6.1.1 Van der Waerden对W(3, 2)≤325的证明
6.1.2 Van der Waerden对W(3, 3)≤MN的证明，其中M=7(2·37 + 1),N= 2·3M+ 1
6.1.3 Van der Waerden对W(4, 2)≤MN的证明，其中M=[3/2W(3, 2)],N=[3/2W(3, 2M)]
6.2 一个证明
6.2.1 热身的例子
6.2.2 证明概览
6.2.3 C(1,d)对所有d成立
6.2.4 C(k,d)对所有d成立蕴涵C(k+ 1, 1)
6.2.5 C(k,d)蕴涵C(k,d+ 1)
6.3 Van der Waerden数
6.3.1 确切值
6.3.2 上界
6.3.3 下界
6.4 Szemerédi定理
6.5 Ramsey理论
第七章 极值图论
7.1 Turán定理
7.1.1 两个定理
7.1.2 一个贪心算法
7.1.3 定理7.2的一个证明
7.1.4 Turán定理和Turán数
7.2 Erdős-Stone定理
7.3 Erdős-Stone-Simonovits公式
7.4 当F是二部图
7.4.1 一个Erdős-Simonovits猜想
7.4.2 当F是一个完全二部图
7.4.3 当F的每个子图有一个度数不超过r的顶点
7.4.4 当F是一个圈
7.5 史前
7.6 Turán函数之外
第八章 友谊定理
8.1 友谊定理
8.2 强正则图
第九章 色数
9.1 色数
9.2 X≥ω不能承受之弱
9.3 Hajós猜想的终点
9.4 不含三角形的大色数图
9.4.1 Zykov
9.4.2 Tutte
9.4.3 Mycielski
9.4.4 Erdős和Hajnal
9.4.5 Lovász
9.5 不含短圈的大色数图
9.6 色数的一个上界
9.7 小的子图不能确定色数
第十章 图的属性阈值
10.1 连通性
10.1.1 容斥原理和Bonferroni不等式
10.1.2 关于孤立顶点的引理
10.1.3 关于单个非平凡连通分支的引理
10.1.4 定理10.1的证明
10.2 子图
10.2.1 一个引理
10.2.2 定理10.7的证明
10.3 随机图的演化和双跳跃
10.4 有限概率论
第十一章 Hamilton圈
11.1 一个涉及顶点度数的定理
11.1.1 定理11.4的一个算法证明
11.1.2 一次偏离：测试定理11.2的条件
11.2 一个涉及连通性和稳定性的定理
11.3 随机图中的Hamilton圈
附录A 一些招数
A.1 不等式
A.1.1 两位主力
A.1.2 Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz不等式
A.1.3 Jensen不等式
A.2 阶乘和Stirling公式
A.3 二项式系数的一个渐近表达式
A.4 二项式分布
A.5 二项式分布的尾部
A.6 超几何分布的尾部
A.7 随机图的两种模型
附录B 定义、术语和记号
B.1 图
B.2 超图
B.3 渐近记号
B.4 杂项
附录C 关于Erdős的更多信息
C.1 文章 精选
C.2 书籍精选
C.3 电影
C.4 网站
C.5 一份FBI档案
C.6 一部相册
参考文献
名词索引
· · · · · · (收起)