微分方程Ⅱ

本书是为高等院校基础数学和计算数学等专业本科“偏微分方程”课程编写的教材, 入选为教育部数学“101 计划”核心教材。本书的前身是《北京大学数学教学系列丛书》中的《偏微分方程》。 本书是根据教育部关于“101 计划”核心教材的精神和要求，在原教材上进行修改补充而成的升级版和精练版。全书共分为四章, 重点论述偏微分方程中最简单的位势方程、热方程与波动方程的基础理论和基本方法。在各章节中, 分别介绍位势方程的边值问题、热方程与波动方程的初值问题和混合问题的求解方法, 同时介绍关于这些问题的一些先验估计, 从而解决这些问题的解的存在性、唯 一性和稳定性等关键问题。本书的基本想法是利用微积分的知识来讲解偏微分方程. 在选题上,充分论述偏微分方程中的基础理论和基本方法; 在内容处理上, 由浅入深,循序渐进; 在叙述表达上, 严谨精练, 清晰易读. 为了方便教学...

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本书是为高等院校基础数学和计算数学等专业本科“偏微分方程”课程编写的教材, 入选为教育部数学“101 计划”核心教材。本书的前身是《北京大学数学教学系列丛书》中的《偏微分方程》。 本书是根据教育部关于“101 计划”核心教材的精神和要求，在原教材上进行修改补充而成的升级版和精练版。全书共分为四章, 重点论述偏微分方程中最简单的位势方程、热方程与波动方程的基础理论和基本方法。在各章节中, 分别介绍位势方程的边值问题、热方程与波动方程的初值问题和混合问题的求解方法, 同时介绍关于这些问题的一些先验估计, 从而解决这些问题的解的存在性、唯 一性和稳定性等关键问题。本书的基本想法是利用微积分的知识来讲解偏微分方程. 在选题上,充分论述偏微分方程中的基础理论和基本方法; 在内容处理上, 由浅入深,循序渐进; 在叙述表达上, 严谨精练, 清晰易读. 为了方便教学与自学, 帮助读者理解和拓广所学知识, 每章配置了大量富有启发性的习题, 书末附有习题答案和提示, 其中对一些困难的习题给出详尽的解答，便于教师和学生参考。本书可作为高等院校基础数学、计算数学、应用数学、金融数学、统计学、物理学、力学、生物数学等专业以及相关专业本科“偏微分方程”课程的教材或教学参考书, 也可供需要应用偏微分方程的相关知识的科研人员参考。

第一章引言 1
1.1偏微分方程的基本概念 2
1.2实例 5
1.3适定性 10
习题一 13
第二章位势方程 15
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第一章引言 1
1.1偏微分方程的基本概念 2
1.2实例 5
1.3适定性 10
习题一 13
第二章位势方程 15
2.1调和函数 19
2.1.1实例 19
2.1.2平均值公式 20
2.1.3单调性不等式 30
2.2基本解和Green函数 34
2.2.1基本解 34
2.2.2 Green函数 39
2.3极值原理和最大模估计 51
2.3.1极值原理 51
2.3.2最大模估计 55
2.4能量模估计 58
2.5零延拓问题 60
2.5.1内部零延拓问题 61
2.5.2边界零延拓问题 64习题二 66
第三章热方程 77
3.1初值问题 80
3.1.1 Fourier变换和 Fourier积分 80
3.1.2热核和基本解 90
3.2混合问题 95
3.2.1特征值问题 95
3.2.2 Green函数 102
3.3极值原理和最大模估计 108
3.3.1极值原理 108
3.3.2混合问题的最大模估计 110
3.3.3初值问题的最大模估计 114
3.4混合问题的能量模估计 118
3.5反向问题的不适定性 120
习题三 123
第四章波动方程 133
4.1初值问题 136
4.1.1问题的简化 136
4.1.2一维初值问题 139
4.1.3一维半无界问题 143
4.1.4多维初值问题 147
4.1.5特征锥 158
4.1.6能量不等式 161
4.2混合问题 166
4.2.1分离变量法 167
4.2.2驻波法与共振 173
4.2.3能量不等式 175
4.2.4广义解 179
习题四 187
习题答案与提示 199
名词索引 229
符号索引 233
参考文献 237
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