e的故事

8，9章重温微积分的历史牛顿和莱布尼茨以及双方的支持者就谁先发明微积分展开了一场世纪大撕逼($\dot{x}$)是牛顿式技法，难怪在物理学里总是写成这样 ($\frac{dy}{dx}$)是莱布尼茨式写法，微积分里是按这套来的10章 ($e^x$)的导数等于自身，指数函数($y=b^x$)的变化率与自身成比例，例如放射性元素的衰变率，放到恒温房间的物体的冷却速率，声波在介质中传播时强度的衰减率，人口的增长韦伯-费希纳定律：人的反应不是与刺激的绝对增量成正比，而是与刺激的相对增量成正比，即与刺激的对数成正比。例如分贝。11章：对数螺线12章：悬链线13章：欧拉引入虚数，($e^{\pi i}+1=0$) 14章：复变函数，基本上都是大段的数学推导，和现实没有半毛钱关系，懒的看15章：数域终于看完了（翻完了？），这本书几乎可以看做一部简明的数学史，用来重新找回一点大一学微积分时候的感觉还是不错的。

在所有图形中，双曲线是最难求曲线和坐标轴之间的面积的，由此推动了笛卡尔的解析几何、费马的数论的出现

在一本《算术》（Arithmetica，一本经典的数论著作，由公元前3世纪亚历山大大帝时期的丢番图所著，后在1621年被翻译为拉丁文）的复印本的页面空白处，他这样写道：“要把一个立方体划分成2个立方体，或者更普遍的，要将任何一个指数大于2的乘方分成两个同样指数的乘方，这都是不可能的。我已经找到一种绝妙的证明方法，只是这里的空白处太窄，写不下”

费马实际得到了($y=x^n$)形式对($x\in N,n\neq -1$)的积分形式而n=-1时的积分是lg形式的，一个持续了2000年的双曲线求积的问题终于得到了解决

古希腊之前，数学是纯实用性质的——测量、财务、时间计算等。古希腊人在公元前6世纪创建了毕达哥拉斯，将数学从应用学科转变为纯追求知识的理论学科。直到十五六世纪地理的大发现，哥白尼、开普勒等人才把应用数学带到一个新高度。

开普勒是由旧世界体系转变到新体系的时代标志：他曾经是一位最高级别的应用数学家、一个狂热的毕达哥拉斯学者、一位受玄学和科学共同影响的神秘主义者（即使他完成饿他伟大的天文发现之后，他依然从事占星术活动）

一块公元前1700年的美索不达米亚泥板上记录一个问题，如果年复利（一年结算一次利息，然后把利息归入本金）是20%，几年后才能使本金翻倍？也就是这个问题：($$1.2^x=2$$) (使用72法则，72/20=3.6，实际是3.8)设年复利为r，第一年初本金为P，第t年末的账户余额是：($$S=P(1+r)^t$$) 如果不是一年结算一次复利，而是一年内结算n次，而每次结算的利率为r/n，则t年年，结算nt次，第t年末的账户余额是：($$S=P(1+r/n)^{nt}$$) 考虑P=1，r=1，t=1的特殊情况：($$S=(1+1/n)^n$$) 当n增加时，S接近2.71828两种对n很大时($(1+1/n)^n$)的错误的思考：1.n很大时，1/n接近0，那么1+1/n越来越接近1，但始终大于1，那么1+1/n可以用1代替，1的幂都是1，那么($(1+1/n)^n$)应该接近12.因为底数大于1时，幂会随指数增加而增加，而1+1/n总是大于1，那么n很大时，($(1+1/n)^n$)应该会无限增大为什么会得到1和无穷大两种结果？因为无穷大不是普通的数。($(1+1/n)^n$)是一个不定式（0/0,($\infty/\infty$),($0\times\infty$),($\infty-\infty$),($0^0$),($\infty^0$),($1^\infty$)），结果取决于极限运算的精确程度。如何得到($(1+1/n)^n$)的极限值呢？可以用二项式定理展开 ($$(1+\frac{1}{n})^n=1+1+\frac{(1-\frac{1}{n})}{2!}+\frac{(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})}{3!}+\cdots+\frac{1}{n^n}$$) ($n\to\infty$)时,1/n,2/n,...的极限都是0，于是有 ($$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots$$) 可以证明这个极限是存在的，极限值用e表示。简单计算级数的和前几项的和，可以发现随着n增大，n!急剧增大，级数的和快速收敛到2.718...