数值分析

《数值分析(第3版)》着重介绍适合于电子计算机上采用的数值计算方法及其理论，内容包括误差分析、非线性方程求根、线性代数方程组数值解法、多项式插值与函数逼近、数值积分与数值微分、常微分方程数值解法、偏微分方程数值解法等。《数值分析(第3版)》内容覆盖了教育部工科研究生数学课程教学指导小组所制订的工科硕士生数值分析课程教学基本要求，同时还增加了一些工科专业所需要的内容，如机器数系、有理函数插值、振荡函数积分等。书中对各种计算方法的构造思想都作了较详细的阐述，对稳定性、收敛性、误差估计以及算法的优缺点等也作了适当的讨论。《数值分析(第3版)》还挑选了部分东南大学工科研究生结合各自专业自选课题的计算实习，以此作为《数值分析(第3版)》各章的应用实例。《数值分析(第3版)》可作为各类工科专业研究生和数学系各专业本科生的教材或教学参考书，也可供从事科学与工程计算...

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《数值分析(第3版)》着重介绍适合于电子计算机上采用的数值计算方法及其理论，内容包括误差分析、非线性方程求根、线性代数方程组数值解法、多项式插值与函数逼近、数值积分与数值微分、常微分方程数值解法、偏微分方程数值解法等。《数值分析(第3版)》内容覆盖了教育部工科研究生数学课程教学指导小组所制订的工科硕士生数值分析课程教学基本要求，同时还增加了一些工科专业所需要的内容，如机器数系、有理函数插值、振荡函数积分等。书中对各种计算方法的构造思想都作了较详细的阐述，对稳定性、收敛性、误差估计以及算法的优缺点等也作了适当的讨论。《数值分析(第3版)》还挑选了部分东南大学工科研究生结合各自专业自选课题的计算实习，以此作为《数值分析(第3版)》各章的应用实例。《数值分析(第3版)》可作为各类工科专业研究生和数学系各专业本科生的教材或教学参考书，也可供从事科学与工程计算的科技工作者阅读参考。

1　绪论　1.1　数值分析的对象和特点　1.2　误差的基本概念　　1.2.1　误差的来源　　1.2.2　绝对误差　　1.2.3　相对误差　　1.2.4　有效数　　1.2.5　数据误差对函数值的影响　1.3　机器数系　　1.3.1　机器数系　　1.3.2　机器数系的运算及误差估计　1.4　数值稳定问题　　1.4.1　数值稳定性　　1.4.2　良态问题与病态问题　　1.4.3　简化计算步骤，减少运算次数　习题12　非线性方程的解法　2.1　概述　　2.1.1　根的搜索　　2.1.2　二分法　2.2　简单迭代法　　2.2.1　迭代格式的构造　　2.2.2　迭代法的收敛性　　2.2.3　迭代法的收敛速度　　2.2.4　Aitken加速法　2.3　Newton法　　2.3.1　Newton迭代格式及其几何意义　　2.3.2　局部收敛　　2.3.3　求重根的修正Newton法　　2.3.4　大范围收敛　　2.3.5　Newton法的变形　2.4　多项式方程的求根　　2.4.1　实系数多项式零点的分布　　2.4.2　劈因子法　2.5　应用实例：薄壳结构的静力计算　　2.5.1　问题的背景　　2.5.2　数学模型　　2.5.3　计算方法与结果分析　习题23　线性代数方程组数值解法　3.1　引言　3.2　消去法　　3.2.1　三角方程组的解法　　3.2.2　Gauss消去法　　3.2.3　追赶法　　3.2.4　列主元Gauss消去法　3.3　矩阵的直接分解法　　3.3.1　矩阵的直接分解法　　3.3.2　对称矩阵的直接分解法　　3.3.3　列主元的三角分解法　3.4　方程组的性态与误差分析　　3.4.1　向量范数　　3.4.2　矩阵范数　　3.4.3　方程组的性态及条件数　　3.4.4　方程组近似解可靠性的判别　3.5　迭代法　　3.5.1　迭代格式的一般形式　　3.5.2　几个常用的迭代格式　　3.5.3　迭代格式的收敛性　3.6　幂法及反幂法　　3.6.1　求主特征值的幂法　　3.6.2　反幂法　3.7　应用实例：纯电阻型立体电路分析　　3.7.1　问题的背景　　3.7.2　数学模型 3.7.3 计算方法与结果分析 习题34 多项式插值与函数最佳逼近 4.1 Lagrange插值 4.1.1 基本插值多项式 4.1.2 Lagrange插值多项式 4.1.3 插值余项 4.2 差商、差分和Newton插值 4.2.1 差商及Newton插值多项式 4.2.2 差分及等距节点Newton插值多项式 4.3 Herrnite插值 4.4 高次插值的缺点及分段插值 4.4.1 高次插值的误差分析 4.4.2 分段线性插值 4.4.3 分段Hermite插值 4.5 3次样条插值 4.5.1 3次样条插值函数 4.5.2 3次样条插值函数的求法 4.5.3 3次样条插值函数的收敛性 4.6 有理函数插值 4. 7最佳一致逼近 4.7.1 线性赋范空间 4.7.2 最佳一致逼近多项式 4.7.3 Chebyshev多项式 4.7.4 近似最佳一致逼近多项式 4.8 最佳平方逼近 4.8.1 内积空间 4.8.2 最佳平方逼近 4.8.3 连续函数的最佳平方逼近 4.8.4 超定线性方程组的最小二乘解 4.8.5 离散数据的最佳平方逼近 4.9 应用实例：用样条函数设计公路平面曲线 4.9.1 问题的背景 4.9.2 数学模型 4.9.3 计算方法与结果分析 习题45 数值积分与数值微分 5.1 数值积分的基本概念 5.2 插值型求积公式 5.2.1 插值型求积公式 5.2.2 代数精度 5.2.3 梯形公式、Simpson公式和Cotes公式的截断误差 5.2.4 求积公式的稳定性 5.3 复化求积公式 5.3.1 复化梯形公式 5.3.2 复化Simpson公式 5.3.3 复化Cotes公式 5.3.4 复化求积公式的阶 5.4 Romberg求积法 5.4.1 Romberg求积公式 5.4.2 Romberg求积法的一般公式 5.5 Gauss求积公式 5.5.1 Gauss求积公式 5.5.2 正交多项式 5.5.3 区间[—1，1]上的GaUSS公式 5.5.4 区间[a，b]上的GaUSS公式 5.5.5 Gauss公式的截断误差 5.5.6 Gauss公式的稳定性和收敛性 5.5.7 带权积分 5.6 振荡函数的积分 5.7 重积分的近似计算 5.8 数值微分 5.8.1 数值微分问题的提出 5.8.2 插值型求导公式 5.8.3 样条求导 5.9 应用实例：混频器中变频损耗的数值计算 5.9.1 问题的背景 5.9.2 数学模型 5.9.3 计算方法与结果分析 习题56 常微分方程数值解法 6.1 微分方程数值解法概述 6.1.1 问题及基本假设 6.1.2 离散化方法 6.2 Euler方法 6.2.1 Euder公式 6.2.2 后退Euler公式 6.2.3 梯形公式 6.2.4 预测校正系统与改进Euler公式 6.2.5 整体截断误差 6.3 Runge—Kutta方法 6.3.1 Runge—Kutta方法的基本思想 6.3.2 2阶Runge—Kutta公式 6.3.3 高阶Runge—Kutta公式 6.3.4 隐式Runge—Kutta公式 6.4 单步方法的收敛性和稳定性 6.4.1 单步方法的收敛性 6.4.2 单步方法的稳定性 6.4.3 单步方法的自适应算法 6.4.4 单步方法的加速 6.5 线性多步法 6.5.1 基于数值积分的构造方法 6.5.1.1 Adams显式公式 6.5.1.2 Adams隐式公式 6.5.1.3 Adams预测校正方法 6.5.1.4 Adams公式的加速 6.5.2 基于Taylor展开的待定系数方法 6.5.3 多步法的收敛性和稳定性 6.5.4 绝对稳定性和绝对稳定域 6.6 1阶微分方程组与高阶微分方程 6.6.1 1阶微分方程组 6.6.2 高阶微分方程 6.6.3 刚性问题 6.7 边值问题的数值解法 6.7.1 试射法 6.7.2 差分法 6.8 应用实例：磁流体发电通道的数值计算 6.8.1 问题的背景 6.8.2 数学模型 6.8.3 计算方法与结果分析 习题67 偏微分方程数值解法 7.1 抛物型方程的差分解法 7.1.1 网格剖分 7.1.2 古典显格式 7.1.3 古典隐格式 7.1.4 Crank—Nicolson格式 7.1.5 Richardson格式 7.2 差分格式的稳定性和收敛性 7.2.1 差分格式的稳定性 7.2.2 差分格式的收敛性 7.3 双曲型方程的差分解法 7.3.1 显格式 7.3.2 隐格式 7.4 椭圆型方程的差分解法 7.4.1 差分格式的建立 7.4.2 差分格式解的存在唯一性及其收敛性 7.5 应用实例：水污染方程的有限差分解法 7.5.1 问题的背景 7.5.2 数学模型 7.5.3 计算方法与结果分析 习题7习题参考答案参考文献

1　绪论　1.1　数值分析的对象和特点　1.2　误差的基本概念　　1.2.1　误差的来源　　1.2.2　绝对误差　　1.2.3　相对误差　　1.2.4　有效数　　1.2.5　数据误差对函数值的影响　1.3　机器数系　　1.3.1　机器数系　　1.3.2　机器数系的运算及误差估计　1.4　数值稳定问题　　1.4.1　数值稳定性　　1.4.2　良态问题与病态问题　　1.4.3　简化计算步骤，减少运算次数　习题12　非线性方程的解法　2.1　概述　　2.1.1　根的搜索　　2.1.2　二分法　2.2　简单迭代法　　2.2.1　迭代格式的构造　　2.2.2　迭代法的收敛性　　2.2.3　迭代法的收敛速度　　2.2.4　Aitken加速法　2.3　Newton法　　2.3.1　Newton迭代格式及其几何意义　　2.3.2　局部收敛　　2.3.3　求重根的修正Newton法　　2.3.4　大范围收敛　　2.3.5　Newton法的变形　2.4　多项式方程的求根　　2.4.1　实系数多项式零点的分布　　2.4.2　劈因子法　2.5　应用实例：薄壳结构的静力计算　　2.5.1　问题的背景　　2.5.2　数学模型　　2.5.3　计算方法与结果分析　习题23　线性代数方程组数值解法　3.1　引言　3.2　消去法　　3.2.1　三角方程组的解法　　3.2.2　Gauss消去法　　3.2.3　追赶法　　3.2.4　列主元Gauss消去法　3.3　矩阵的直接分解法　　3.3.1　矩阵的直接分解法　　3.3.2　对称矩阵的直接分解法　　3.3.3　列主元的三角分解法　3.4　方程组的性态与误差分析　　3.4.1　向量范数　　3.4.2　矩阵范数　　3.4.3　方程组的性态及条件数　　3.4.4　方程组近似解可靠性的判别　3.5　迭代法　　3.5.1　迭代格式的一般形式　　3.5.2　几个常用的迭代格式　　3.5.3　迭代格式的收敛性　3.6　幂法及反幂法　　3.6.1　求主特征值的幂法　　3.6.2　反幂法　3.7　应用实例：纯电阻型立体电路分析　　3.7.1　问题的背景　　3.7.2　数学模型 3.7.3 计算方法与结果分析 习题34 多项式插值与函数最佳逼近 4.1 Lagrange插值 4.1.1 基本插值多项式 4.1.2 Lagrange插值多项式 4.1.3 插值余项 4.2 差商、差分和Newton插值 4.2.1 差商及Newton插值多项式 4.2.2 差分及等距节点Newton插值多项式 4.3 Herrnite插值 4.4 高次插值的缺点及分段插值 4.4.1 高次插值的误差分析 4.4.2 分段线性插值 4.4.3 分段Hermite插值 4.5 3次样条插值 4.5.1 3次样条插值函数 4.5.2 3次样条插值函数的求法 4.5.3 3次样条插值函数的收敛性 4.6 有理函数插值 4. 7最佳一致逼近 4.7.1 线性赋范空间 4.7.2 最佳一致逼近多项式 4.7.3 Chebyshev多项式 4.7.4 近似最佳一致逼近多项式 4.8 最佳平方逼近 4.8.1 内积空间 4.8.2 最佳平方逼近 4.8.3 连续函数的最佳平方逼近 4.8.4 超定线性方程组的最小二乘解 4.8.5 离散数据的最佳平方逼近 4.9 应用实例：用样条函数设计公路平面曲线 4.9.1 问题的背景 4.9.2 数学模型 4.9.3 计算方法与结果分析 习题45 数值积分与数值微分 5.1 数值积分的基本概念 5.2 插值型求积公式 5.2.1 插值型求积公式 5.2.2 代数精度 5.2.3 梯形公式、Simpson公式和Cotes公式的截断误差 5.2.4 求积公式的稳定性 5.3 复化求积公式 5.3.1 复化梯形公式 5.3.2 复化Simpson公式 5.3.3 复化Cotes公式 5.3.4 复化求积公式的阶 5.4 Romberg求积法 5.4.1 Romberg求积公式 5.4.2 Romberg求积法的一般公式 5.5 Gauss求积公式 5.5.1 Gauss求积公式 5.5.2 正交多项式 5.5.3 区间[—1，1]上的GaUSS公式 5.5.4 区间[a，b]上的GaUSS公式 5.5.5 Gauss公式的截断误差 5.5.6 Gauss公式的稳定性和收敛性 5.5.7 带权积分 5.6 振荡函数的积分 5.7 重积分的近似计算 5.8 数值微分 5.8.1 数值微分问题的提出 5.8.2 插值型求导公式 5.8.3 样条求导 5.9 应用实例：混频器中变频损耗的数值计算 5.9.1 问题的背景 5.9.2 数学模型 5.9.3 计算方法与结果分析 习题56 常微分方程数值解法 6.1 微分方程数值解法概述 6.1.1 问题及基本假设 6.1.2 离散化方法 6.2 Euler方法 6.2.1 Euder公式 6.2.2 后退Euler公式 6.2.3 梯形公式 6.2.4 预测校正系统与改进Euler公式 6.2.5 整体截断误差 6.3 Runge—Kutta方法 6.3.1 Runge—Kutta方法的基本思想 6.3.2 2阶Runge—Kutta公式 6.3.3 高阶Runge—Kutta公式 6.3.4 隐式Runge—Kutta公式 6.4 单步方法的收敛性和稳定性 6.4.1 单步方法的收敛性 6.4.2 单步方法的稳定性 6.4.3 单步方法的自适应算法 6.4.4 单步方法的加速 6.5 线性多步法 6.5.1 基于数值积分的构造方法 6.5.1.1 Adams显式公式 6.5.1.2 Adams隐式公式 6.5.1.3 Adams预测校正方法 6.5.1.4 Adams公式的加速 6.5.2 基于Taylor展开的待定系数方法 6.5.3 多步法的收敛性和稳定性 6.5.4 绝对稳定性和绝对稳定域 6.6 1阶微分方程组与高阶微分方程 6.6.1 1阶微分方程组 6.6.2 高阶微分方程 6.6.3 刚性问题 6.7 边值问题的数值解法 6.7.1 试射法 6.7.2 差分法 6.8 应用实例：磁流体发电通道的数值计算 6.8.1 问题的背景 6.8.2 数学模型 6.8.3 计算方法与结果分析 习题67 偏微分方程数值解法 7.1 抛物型方程的差分解法 7.1.1 网格剖分 7.1.2 古典显格式 7.1.3 古典隐格式 7.1.4 Crank—Nicolson格式 7.1.5 Richardson格式 7.2 差分格式的稳定性和收敛性 7.2.1 差分格式的稳定性 7.2.2 差分格式的收敛性 7.3 双曲型方程的差分解法 7.3.1 显格式 7.3.2 隐格式 7.4 椭圆型方程的差分解法 7.4.1 差分格式的建立 7.4.2 差分格式解的存在唯一性及其收敛性 7.5 应用实例：水污染方程的有限差分解法 7.5.1 问题的背景 7.5.2 数学模型 7.5.3 计算方法与结果分析 习题7习题参考答案参考文献
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