有限域及其应用

在这本小册子里，我们在第一部分先给出全部有限域，并且介绍有限域的各种奇妙的性质．在第二部分讲述有限域的一些应用．这是一本通俗读物，爱好数学的中学生可以读懂本书的大部分内容．此外，《有限域及其应用》还需要线性代数的初步知识，主要是向量空间概念，矩阵的运算和域上解线性方程组的知识．除了“域”之外，我们还使用了抽象代数中另两个术语：“群”和“环”．这些术语并不深奥，我们主要涉及很简单的交换群、多项式环和有限域．问题的叙述和证明都尽量做得通俗，并举出例子加以说明，我们也常常加一些注记，为了使了解更多代数知识的人画龙点睛地指明事情的实质，或者描述一下有限域更深刻的理论进展，更广泛的应用，以及尚未解决的问题．在数学发展的历史长河和广泛天地之中，有限域(finitefield)只是数学田野(field)中一朵清新的小花，作者希望通过这朵小花使读者感受到数学之美，数...

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在这本小册子里，我们在第一部分先给出全部有限域，并且介绍有限域的各种奇妙的性质．在第二部分讲述有限域的一些应用．这是一本通俗读物，爱好数学的中学生可以读懂本书的大部分内容．此外，《有限域及其应用》还需要线性代数的初步知识，主要是向量空间概念，矩阵的运算和域上解线性方程组的知识．除了“域”之外，我们还使用了抽象代数中另两个术语：“群”和“环”．这些术语并不深奥，我们主要涉及很简单的交换群、多项式环和有限域．问题的叙述和证明都尽量做得通俗，并举出例子加以说明，我们也常常加一些注记，为了使了解更多代数知识的人画龙点睛地指明事情的实质，或者描述一下有限域更深刻的理论进展，更广泛的应用，以及尚未解决的问题．在数学发展的历史长河和广泛天地之中，有限域(finitefield)只是数学田野(field)中一朵清新的小花，作者希望通过这朵小花使读者感受到数学之美，数学应用的广泛，以及数学和应用的相互促进．

《有限域及其应用》
续编说明1
编写说明3
引言5
理论部分
一 来自初等数论的有限域1
· · · · · · (更多)

《有限域及其应用》
续编说明1
编写说明3
引言5
理论部分
一 来自初等数论的有限域1
1.1 整除性和同余性1
习题14
1.2p元有限域15
习题30
二 一般有限域31
2.1 域上的多项式环31
习题43
2.2 构作一般有限域43
习题55
三 有限域上的函数57
3.1 广义布尔函数57
习题61
3.2 幂级数61
习题78
.3.3 加法特征和乘法特征79
习题92
3.4 高斯和与雅可比和92
习题104
四 有限域上的几何106
4.1 有限仿射几何107
习题117
4.2 有限射影几何118
习题128
4.3 平面仿射曲线和平面射影曲线128
习题135
五 有限域中解方程136
5.1 谢瓦莱-瓦宁定理:解的存在性136
习题150
5.2 多元二次方程150
习题167
5.3 费马曲线和阿廷-施莱尔曲线168
习题179
5.4 韦依定理179
习题189
应用部分
六 组合设计191
6.1 正交拉丁方191
习题205
6.2 区组设计205
习题212
6.3 阿达玛方阵212
习题218
七 纠错码219
7.1 纠错码220
习题229
7.2 线性码230
习题238
7.3 汉明码、多项式码和里德-马勒二元线性码240
习题255
7.4 循环码256
习题274
八 密码和信息安全275
8.1 凯撒大帝的密码277
8.2 m序列与图论——周游世界和一笔画282
习题293
8.3 构作m序列(并圈方法)293
习题303
8.4 公钥体制303
8.5 密钥的分配、更换和共享315
8.6 椭圆曲线算法329
结束语339
· · · · · · (收起)