线性与非线性泛函分析及其应用(上册修订版)

前辅文
第1章 实分析和函数论: 快速回顾
引言
1.1 集合
1.2 映射
1.3 选择公理和Zorn 引理
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前辅文
第1章 实分析和函数论: 快速回顾
引言
1.1 集合
1.2 映射
1.3 选择公理和Zorn 引理
1.4 集合R 和C 的构造
1.5 基数
1.6 拓扑空间
1.7 拓扑空间中的连续性
1.8 拓扑空间中的紧性
1.9 拓扑空间中的连通和单连通性
1.10 距离空间
1.11 距离空间的连续性和一致连续性
1.12 完备距离空间
1.13 距离空间中的紧性
1.14 Rn 中的Lebesgue 测度
1.15 Rn 中的Lebesgue 积分
1.16 Rn 上Lebesgue 积分的变量代换
1.17 Rn 中的体积、面积和长度
1.18 空间Cm(Ω) 和Cm(Ω)
第2章 赋范向量空间
引言
2.1 向量空间; Hamel 基
2.2 赋范向量空间; 基本性质和例
2.3 K 为紧集时的空间C(K; Y )
2.4 空间`p
2.5 Lebesgue 空间Lp(Ω)
2.6 空间Lp(Ω) (1 ⩽ p < ∞) 的正则化与逼近
2.7 紧性和有限维赋范向量空间
2.8 有限维赋范向量空间中紧性的应用
2.9 赋范向量空间上的连续线性算子; 空间L(X; Y )
2.10 赋范向量空间上的紧线性算子
2.11 赋范向量空间上的连续多重线性映射; 空间Lk(X1; X2;…;Xk
2.12 Korovkin 定理
2.13 Korovkin 定理对多项式逼近的应用
2.14 Korovkin 定理应用于三角多项式逼近
2.15 Stone-Weierstrass 定理
2.16 凸集
2.17 凸函数
第3章 Banach 空间
引言
3.1 Banach 空间
3.2 Banach 空间的例子; 空间C(K; Y ), 其中K 为紧集,Y 完备, 和空间L(X
3.3 取值于Banach 空间的单实变量连续函数的积分
3.4 Banach 空间的例: 空间`p 和Lp(Ω)
3.5 赋范向量空间的对偶; 例
3.6 Banach 空间的级数
3.7 Banach 不动点定理
3.8 Banach 不动点定理的应用: 非线性常微分方程解的存在性;Cauchy-Lipschitz 定理
3.9 Banach 不动点定理的应用: 非线性两点边值问题解的存在性
3.10 Ascoli-Arzelà 定理
3.11 Ascoli-Arzelà 定理的应用: 非线性常微分方程解的存在性
Cauchy-Peano 定理
第4章 内积空间和Hilbert 空间
引言
4.1 内积空间和Hilbert 空间; 基本性质; Cauchy-Schwarz-Bunyakovskiǐ 不等式
4.2 内积空间和Hilbert 空间的例子
4.3 投影定理
4.4 投影定理的应用: 线性系统的最小二乘解
4.5 直交性
4.6 Hilbert 空间中的FRiesz 表示定理
4.7 FRiesz 表示定理的应用: Hilbert 空间中的Hahn-Banach 定理;伴随算子
4.8 内积空间的极大规范正交系
4.9 Hilbert 空间中的Hilbert 基和Fourier 级数
4.10 内积空间中的自伴算子的特征值和特征向量
4.11 紧自伴算子的谱定理
第5章 线性泛函分析中的重要定理
引言
5.1 Baire 定理
5.2 Baire 定理的应用: 连续而无处可微函数的存在性
5.3 Banach-Steinhaus 定理, 即一致有界性原理
5.4 Banach-Steinhaus 定理的应用: Lagrange 插值的发散性
5.5 Banach-Steinhaus 定理的应用: Fourier 级数的发散
5.6 Banach 开映射定理
5.7 Banach 闭图像定理
5.8 向量空间中的Hahn-Banach 定理
5.9 赋范向量空间的Hahn-Banach 定理
5.10 Hahn-Banach 定理的几何形式: 凸集的分离
5.11 对偶算子
5.12 弱收敛和弱∗ 收敛
5.13 Banach-Saks-Mazur 定理
5.14 自反空间
第6章 线性偏微分方程
引言
6.1 二次极小化问题
6.2 Lax–Milgram 引理
6.3 Lloc(Ω) 中的弱偏导数
6.4 Δ 的次椭圆性
6.5 Sobolev 空间Wm,p(Ω) 及Hm(Ω): 基本性质
6.6 关于区域Ω 的Sobolev 空间Wm,p(Ω) 和Hm(Ω): 嵌入定理, 迹,Green 公式
6.7 二阶线性椭圆边值问题的例
6.8 四阶线性边值问题的实例
6.9 与变分不等式相应的非线性边值问题的实例
6.10 二阶椭圆算子的特征值问题
6.11 空间W−m,q(Ω) 与H−m(Ω)
6.12 Babuška-Brezzi 上下确界定理
6.13 Babuška-Brezzi 上下确界定理的应用: 变分问题的原始, 混合及对偶形式
6.14 Babus̆ka-Brezzi 上下确界定理及JLLions 引理的应用: Stokes方程组
6.15 JLLions 引理的第二个应用: Korn 不等式
6.16 Korn 不等式的应用: 三维线性化弹性方程组
6.17 经典Poincaré 引理, 及其作为JLLions 引理和Δ 次椭圆性应用的弱形式
6.18 Poincaré 引理的应用: 经典的和弱Saint-Venant 引理
6.19 JLLions 引理的另一个应用: Donati 引理
6.20 Pfaff 方程组
文献注释
参考文献
主要符号
索引
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