拓扑学

《研究生数学系列规划教材:拓扑学》是一本拓扑学的基础教材，全书分成三十二讲，内容包括三个部分：点集拓扑学部分、代数拓扑学部分和拓扑群部分，重点放在前两部分。前十三讲属于点集拓扑学部分，主要讲点集拓扑学的基本概念，连续映射与同胚，拓扑空间的几种常见运算（如积空间、商空间等）以及主要的拓扑性质（如分离性、可数性、紧性、连通性等），并简要地介绍了曲面分类、函数空间和网与滤子的基本知识；第十四至二十九讲属于代数拓扑学部分，主要讲基本群、复叠空间、单纯同调群及相关的基本知识及其经典的应用；最后三讲属于拓扑群部分，主要介绍一些基本概念。《研究生数学系列规划教材:拓扑学》内容丰富（有意识地编入了许多资料性的内容），结构严谨，叙述深入浅出，定理证明详尽明白。为便于理解，还配备了相当数量的图形、大量的例题和书后习题。《研究生数学系列规划教材:拓扑学》可作为综合性大学数...

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《研究生数学系列规划教材:拓扑学》是一本拓扑学的基础教材，全书分成三十二讲，内容包括三个部分：点集拓扑学部分、代数拓扑学部分和拓扑群部分，重点放在前两部分。前十三讲属于点集拓扑学部分，主要讲点集拓扑学的基本概念，连续映射与同胚，拓扑空间的几种常见运算（如积空间、商空间等）以及主要的拓扑性质（如分离性、可数性、紧性、连通性等），并简要地介绍了曲面分类、函数空间和网与滤子的基本知识；第十四至二十九讲属于代数拓扑学部分，主要讲基本群、复叠空间、单纯同调群及相关的基本知识及其经典的应用；最后三讲属于拓扑群部分，主要介绍一些基本概念。《研究生数学系列规划教材:拓扑学》内容丰富（有意识地编入了许多资料性的内容），结构严谨，叙述深入浅出，定理证明详尽明白。为便于理解，还配备了相当数量的图形、大量的例题和书后习题。《研究生数学系列规划教材:拓扑学》可作为综合性大学数学系和师范院校高年级本科生的教学用书，也可以作为非拓扑学专业的数学系研究生学位课的教材，对于其他数学工作者而言，也是一本好用的拓扑学参考资料。

符号说明
编者序言
引言
第一部分点集拓扑学
第一讲预备知识10
1.1集合代数与关系10
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符号说明
编者序言
引言
第一部分点集拓扑学
第一讲预备知识10
1.1集合代数与关系10
1.2函数与等价关系12
1.3序关系与选择公理14
1.4集合的可数性18
1.5基数简介20
习题122
第二讲拓扑空间的基本概念25
2.1拓扑空间的定义25
2.2度量拓扑27
2.3拓扑空间的几个基本概念28
2.4子空间33
习题234
第三讲拓扑空间之间的连续映射与同胚37
3.1连续映射的定义37
3.2连续映射的性质39
3.3同胚映射42
3.4嵌入与嵌入映射44
习题344
第四讲拓扑基与Tychonoff积空间47
4.1拓扑基与子基47
4.2乘积空间51
习题457
第五讲分离性公理与可数性公理61
5.1分离性公理61
5.2可数性公理69
5.3拓扑性质的可遗传性与可乘性72
习题573
第六讲Uryshon引理及其应用76
6.1Uryshon引理76
6.2Tietze扩张引理79
6.3Uryshon度量化定理82
习题684
第七讲拓扑空间的紧致性与列紧性87
7.1紧致与列紧的定义88
7.2列紧空间的性质89
7.3紧致空间的性质91
习题796
第八讲局部紧性与仿紧性99
8.1局部紧性99
8.2仿紧性103
习题8110
第九讲连通性与道路连通性112
9.1连通性的定义及例子112
9.2连通空间的性质113
9.3连通分支116
9.4局部连通性117
9.5道路及其运算118
9.6道路连通空间119
9.7道路连通分支121
9.8局部道路连通122
习题9125
第十讲商空间与商映射127
10.1商空间127
10.2拓扑锥130
10.3贴空间130
10.4映射柱与映射锥132
10.5商映射133
10.6几个例子137
习题10138
第十一讲闭曲面及其分类141
11.1拓扑流形的概念141
11.2闭曲面141
11.3两类闭曲面142
11.4闭曲面分类定理144
习题11149
第十二讲点网、滤子与收敛性概念的扩张151
12.1点网151
12.2滤子157
习题12160
第十三讲函数空间162
13.1点态收敛拓扑162
13.2X上的一致收敛拓扑163
13.3紧开拓扑166
13.4k—空间与Ascoli定理169
习题13172
第二部分代数拓扑学
第十四讲映射的同伦与基本群的定义176
14.1映射的同伦176
14.2道路类的逆与乘积181
14.3道路类的运算性质183
14.4空间的基本群定义185
14.5连续映射诱导的基本群同态185
14.6基本群与基点的关系186
习题14187
第十五讲球面Sn的基本群190
15.1S1的基本群190
15.2n≥2时Sn是单连通的194
15.3T2的基本群195
习题15196
第十六讲基本群的同伦不变性198
16.1同伦的映射所诱导的基本群的同态之间的关系198
16.2拓扑空间的同伦等价200
16.3形收缩核201
16.4可缩空间208
习题16209
第十七讲基本群的计算212
17.1Seifert—VanKampen定理212
17.2Seifert—VanKampen定理应用举例216
17.3轨道空间与基本群220
习题17222
第十八讲基本群的若干应用224
18.1闭曲面分类定理证明的完成224
18.2Brouwer不动点定理2维情形的证明226
18.3代数基本定理的证明227
18.4曲面的边界问题227
18.5扭结群的Wirtinger表示228
18.6平面的分离问题233
习题18235
第十九讲复叠空间及其基本性质236
19.1复叠映射与复叠空间236
19.2映射的提升问题240
19.3复叠空间的基本群244
19.4复叠空间的分类249
习题19250
第二十讲复叠换与正则复叠空间253
20.1复叠换253
20.2正则复叠空间255
20.3泛复叠空间258
20.4四元数简介261
习题20262
第二十一讲单纯复形的同调群263
21.1单纯形263
21.2单纯复（合）形265
21.3多面体与可剖分空间267
21.4承载单形269
21.5单形的定向270
21.6链群270
21.7边缘同态271
21.8同调群274
习题21277
第二十二讲同调群的简单性质、G系数同调群280
22.1同调群的简单性质280
22.20—维同调群281
22.31—维同调群与基本群的关系282
22.4Euler—Poincare公式284
22.5以交换群G为系数群的同调群285
习题22286
第二十三讲同调群的基本计算288
习题23296
第二十四讲单纯映射与单纯逼近298
24.1单纯映射298
24.2单纯映射诱导的同调群的同态300
24.3单纯逼近303
24.4重心重分306
24.5单纯逼近存在定理308
习题24310
第二十五讲连续映射诱导的同调群同态313
25.1链复形、链映射和链同伦313
25.2同调群的重分不变性317
25.3诱导同调fq的定义320
25.4多面体与可剖分空间的同调群321
习题25324
第二十六讲同调群的同伦不变性326
26.1同调群的同伦不变性326
26.2同调群计算再举例327
习题26333
第二十七讲Mayer—Vietoris同调序列334
27.1简约同调群334
27.2相对同调群335
27.3同调代数的基本知识，正合同调序列337
27.4Mayer—Vietoris同调序列342
习题27347
第二十八讲球面自映射的映射度及其应用349
28.1球面自映射的映射度的定义和性质349
28.2对径映射的映射度及其应用352
28.3保径映射的映射度356
28.4Borsuk—Ulam定理359
习题28361
第二十九讲Lefschetz不动点定理363
29.1代数准备363
29.2有限复形K的迹数365
29.3可剖分空间的Lefschetz数367
习题29370
第三部分拓扑群基础
第三十讲拓扑群的基本概念与基本性质372
30.1拓扑群的概念372
30.2拓扑群的性质374
习题30380
第三十一讲拓扑群的子群、商群与拓扑换群382
31.1拓扑群的子群382
31.2拓扑群的商群385
31.3拓扑换群390
习题31394
第三十二讲拓扑群的可乘性、分离性、连通性与逆极限396
32.1拓扑群的积396
32.2拓扑群的分离性397
32.3拓扑群的连通性401
32.4逆极限404
习题32407
索引409
参考文献418
· · · · · · (收起)