10种解题思路
任平生 (能吃能睡，没心没肺)
读过 写给全人类的数学魔法书
- 章节名：10种解题思路
1. 降次 代数：降低次幂，使运算更容易； 几何：抽出平面图形，使空间想象能力的要求不那么高，图形更“真实”。 陪集定理。。。。这是什么？ 三角函数的半角公式、乘法公式、加法公式 空间向量 三角函数的积分（中国好像没这个） 分部积分 哈密尔顿定理。。。这是什么？ 2. 寻找周期性规律 避免处理庞大数字，把握数字或图形无限延伸的趋势。 数论：同余理论 三角函数的图像 递推公式 ($n$) 次导函数 分部积分 3. 寻找对称性 几何：轴对称、中心对称 代数：轮换下不变的代数式，比如($\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$)。 韦达定理
如果我们能够发现所要求的算式是一个对称式的话，就可以运用对称式的性质来进行运算。 引自 10种解题思路 高次方程中系数的左右对称性，如($x^4+2x^3+3x^2+2x+1=0$)，然后除以中间那一项（不带系数），这里是($x^2$)。 其实这里也有【降次】的思想。 ($3$) 次函数的图像 奇函数和偶函数的积分 4. 逆向思维 把不规则图形转化为规则图形； 碰到题目中含有“至少”字样，那么可以考虑“不含有”的情形，免得分类讨论。 反证法。 指数与对数 微分与积分 函数与反函数 5. 与其考虑相加，不然考虑相乘 代数式的变形以变为乘法为重点，通常乘法含有更多的信息。
在数学当中，相当于具体的数字来说，未知数的数值是大是小都没有什么实质性的问题，但是，未知数是正数还是负数就有很大的区别。 引自 10种解题思路 可以把 ($x>1$) 变形为 ($x-1>0$)。 6. 相对比较 通过“减法运算”看出“差距”。 循环小数、高阶等差数列、直线交点的计数 向量分解 7. 归纳性的思考实验 理解代数式时，可以反过来代入具体的数值，加深理解。 先用例子进行归纳思考，然后用数学归纳法来证明。先猜测/发现，然后证明。 与2【探究周期规律】有关。 数列问题 8. 把数学问题图形化 就是中国这边也常提的“数形结合”。图形直观，好多信息一眼就能看出来。 一个关于方程的题目：($|x^2+x-2|+x-k=0$)有($4$)个实数解，求 ($k$) 的取值范围。 下面的那个关于数列极限的题解答不严谨，但作分析还是很漂亮的。 三角方程、不等式 函数（数列）图像与极限 定积分和面积 函数最值 向量内积 均值定理、介值定理 9. 等值替换 （就是充要性） 代数式的变形 对于代数式的替换，需要注意替换部分的取值范围（这就是等价性），如 ($t=x^2-2x-1\geq -2$) 可以先根据必要条件猜出具体答案（范围），再验证它是不是满足充分条件。 作者举了个例子，人们去超市买香蕉的话，首先会去蔬菜水果区，然后再找香蕉的具体位置。 假若说某式子对所有 ($x$) 都成立，那么必然对一些特殊的数值成立。这就是特殊值法的依据。
不仅仅是数学，当我们在思考一些问题的时候，会不会觉得脑子里面乱糟糟的呢？这时候，如果我们能够给想法“命名”，就可以把脑子里面的东西给理顺了。 …… 如果能够意识到自己所思考的条件是必要条件还是充分条件，或者是充要条件（等值）的话，那么思路也就更加清晰和明确。 引自 10种解题思路 三角方程式 指数与对数方程 10. 通过终点来追溯起点
通常，证明题都会给出相应的结论，也就是说，如果我们不知道该从哪里开始证明的话，不妨通过终点来追溯，先想想终点（结论）的上一步是什么。 引自 10种解题思路 后面的几句评论很有价值，那就是如何看待参考答案中现成的证明。
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