第67页 非交换环

[原文引用开始]
如果算子

($
\mathcal{D} = \begin{bmatrix}
1 & 0\\ 
0 & \!\!\!-1
\end{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} + 
\begin{bmatrix}
\ \ 0 & \!\!\!-1\\ 
-1 & 0
\end{bmatrix} \frac{\partial}{\partial y}
$)

作用在列 ($\begin{bmatrix}
u\\ 
v
\end{bmatrix}$) 上，则方程 ($\mathcal{D}\begin{bmatrix}
u\\ 
v
\end{bmatrix} = 0$) 给出：

($ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x}, $)

这就是 Cauchy-Riemann 方程.
[原文引用结束]


这里有个地方没有交待清楚，实际上所谓的列 ($\begin{bmatrix}u \\ v\end{bmatrix}$) 不应理解为列向量（否则上述方程就相当于 ($\mathcal{D}u = \mathcal{D} v = 0$)，这样是得不到 C-R 方程的），而应理解为 Clifford 代数 ($C(L)$) 中的元素 ($u e_1 + v e_2$) ，这样：

($
\begin{align}
\mathcal{D}\begin{bmatrix}u \\ v\end{bmatrix} & = \mathcal{D}(u e_1 + v e_2) \nonumber\\
 & = (e_1 \frac{\partial}{\partial x} + e_2 \frac{\partial}{\partial y}) (u e_1 + v e_2) \nonumber\\
 & = (\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}) + (\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}) e_1e_2 \nonumber \nonumber\\
 & = 0 \nonumber
\end{align}
$)

这里 1 和 ($e_1e_2$) 是 ($C(L)$) 中的两个线性无关的基向量，由此可以导出 C-R 方程：

($ \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x}, $)

需要注意的是上面原文引用里给出的 C-R 方程少了个负号（印刷错误？），一般教材给出的是：

($ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}, $)

还要注意的是按 Shafarevich 这种讲法给出的 C-R 方程实际上是反着的。要想不反，就不能用算子 ($\mathcal{D}$) ，而应该用 ($\overline{\mathcal{D}} = e_1 \frac{\partial}{\partial x} - e_2 \frac{\partial}{\partial y}$) ，因为算子 ($\mathcal{D}$)  按我的理解实际上对应于 ($\frac{\partial}{\partial z}$) ，($\overline{\mathcal{D}}$) 则对应于 ($\frac{\partial}{\partial \overline z}$)，函数 ($f$) 可微等价于 ($\overline{\mathcal{D}} f = 0$)