第2版前言

这本书是我15 年前写的。毫不夸张地说，这15 年对今天的我来说就是半辈子。在这期间，我远离家乡，来到一个陌生的城市攻读研究生学位、教书、撰写学术论文、辅导研究生，并且娶妻生子。现在我对生活和数学的看法显然与我15岁时是不一样的。我已经很长一段时间没有参与过解题竞赛了。如果让我现在写一本关于解题竞赛的书，那么书的内容与你此刻正在读的这本将有很大不同。
数学是一门涉及面较广的学科。伴随着时间的推移和经验的不断积累，我们对数学的理解和感悟会逐渐发生改变。当我还是一名小学生时，通过反复使用一些简单的法则就可以得到一个非凡的结果。数学的这种令人震惊的能力以及形式运算的抽象美，让我对其产生了浓厚的兴趣。在我读高中的时候，通过参与数学竞赛，我把数学当作一种消遣，解答那些设计巧妙的数学谜题（比如本书中的题目）以及寻找解决问题的“窍门”是一个令人享受的过程。进入大学以后，我首次接触到现代数学的核心内容|| 丰富、深刻而又令人神往的数学理论和体系， 敬畏感油然而生。作为一名研究生，我为拥有自己的研究课题而感到骄傲。对前人未曾解决的开放性问题提供独创性的论证使我得到了无与伦比的满足感。当我成为一名专业的研究型数学家之后，我开始考察隐藏在现代数学理论和问题背后的直观力和推动力。我惊喜地发现，即便那些非常复杂的、深奥的结果，也常常可以利用一些相当简单，甚至是常识性的原理推导出来。当你领悟到其中的一个原理，并突然看到该原理是如何阐明一个庞大的数学体系时，你会忍不住惊喜地喊出“啊哈”。这的确是一种不寻常的体验。在数学中仍然有很多领域等待我们去探索。直到最近，我了解了足够多的数学领域之后，才开始明白整个现代数学学科的努力方向，以及数学是如何与科学和其他学科联系在一起的。
这本书是在我成为一名专业数学学者之前写的，我当时并没有现在这样的见解和经验，因此书中的很多阐述有些无知，甚至幼稚。我并不想对这些地方做过多的修改，因为当时年轻的我比现在的我更能融入高中生的解题世界。但是，我在结构方面做出了一些调整：用LaTeX 对本书重新排版；按照我个人觉得更具逻辑性的顺序对素材进行重新组织；修订了书中那些用词不准确、语句不恰当、容易引起混淆的部分和结构松散的部分。另外，我还在书中添加了部分习题。书中有一部分内容有些陈旧（例如，费马大定理现在已经有了严谨的证明）；而我现在也意识到，采用更“先进”的数学工具可以更快速、更简洁地解决其中一些问题。然而，本书的关键不在于展示最简洁的解题方法，也不在于提供最新的结论综述。本书是为了说明，当人们第一次接触数学问题时应该怎样处理，如何努力地去尝试一些正确的思路并排除掉其他杂念，以及如何稳妥地处理问题从而最终得到满意的答案。
我非常感谢Tony Gardiner 对本书再版所给予的鼓励和支持，同时感谢这些年来父母对我的全力支持。我所有的朋友和多年来我遇到的本书第1 版的读者都深深地感动着我。最后，同样也是非常重要的，我要特别感谢我的父母以及Flinders 医疗中心的计算机技术支持部门，感谢你们从我陈旧的苹果电脑中找回15 年前的本书电子版原稿！
陶哲轩
{--:}美国加州大学洛杉矶分校数学系
2005 年12 月