前言

本书的内容来源于我 2003 年在加州大学洛杉矶分校给本科生讲授高等实分析系列课程时所用的讲义。该校的本科生普遍认为实分析是最难学的课程之一，其原因不仅仅在于学生都是第一次接触很多抽象的概念（比如：拓扑、极限、可测性等），还因为本课程对于严格性和证明的要求较高。正是由于意识到学习本课程存在这样的困难，教师在授课时往往面临着如下两种艰难的选择：要么选择降低课程的严格性，让学习变得更加容易；要么坚持本课程学习中的严格标准，但是这样大部分本科生在阅读学习材料时就会非常吃力，包括那些既聪明又有学习热情的学生。
面对这种进退两难的局面，我尝试采用一种稍不寻常的方法来教授本课程。按照通常的教学方法，实分析的导论部分都假定学生已经非常了解实数、数学归纳法、初等微积分和集合论基础等知识，并且很快进入课程的核心部分，比如极限的概念。正常情况下，当学生学到核心内容时，教材会介绍必需的预备知识，但是大部分教材都不会对这些预备知识进行详细的论述。例如，虽然学生能够直观地想象出实数和整数，并且对它们进行代数运算，但是很少有学生能够真正定义实数或者整数。在我看来，这真的是错失了一个非常好的机会。实分析、线性代数和抽象代数是学生最先学习的三门课程。通过对实分析的学习，学生能够真正地领悟到严格数学证明的精妙之处。因此，这门课程为我们提供了一个回顾数学基础知识的绝佳机会，特别是为我们正确全面掌握实数的本质提供了良机。
因此，本课程将按照如下的方式展开。第一周，我将给出分析理论中一些比较著名的“悖论”。在这些悖论中，分析理论中的标准法则（如：极限运算与和运算的交换法则，或者和运算与积分运算的交换法则）按照不严格的方式来应用，就会得到一些荒谬的结论，如 0 = 1。这就启发我们要回到这门课程的开端，甚至回到自然数的定义，并要求我们对所有基础理论从头进行验证。例如，给学生的第一个家庭作业就是（只利用皮亚诺公理）证明对所有的自然数，加法结合律均成立（即对任意的自然数 a、b、c，(a + b) + c = a + (b + c) 均成立，见习题 2.2.1）。所以，即便是在刚开始学习本课程的第一周，学生也必须利用数学归纳法写出严格的证明过程。在推导出自然数的所有基本性质之后，我们将开始学习整数（整数最初被定义为自然数的形式差）。一旦学生能证明整数的所有基本性质，我们将开始学习有理数（有理数最初被定义为整数的形式商）。然后，我们（通过柯西序列的形式极限）来学习实数的相关知识。在学习上述内容的同时，我们也会学习集合论的一些基础知识，例如，对实数不可数性质的阐述。只有在学完以上这些内容后（大概十讲之后），我们才开始学习人们通常认为的实分析的核心部分：极限、连续性、可微性等。
按照这样的方式来学习，学生在整个学习过程中的反馈非常有趣。在最初的几周中，因为只需要掌握标准数系的一些基本性质，所以学生认为教材在概念层面上是非常简单的。但是在知识层面上，教材非常具有挑战性。这是由于为了从数系较原始的属性中严格地推导出更高级的属性，我们是从最基础的观点来分析数系的。有一名学生曾经告诉我，他很难向那些没有学习过高等实分析课程的朋友解释清楚如下两个问题：(a) 为什么当自己还在学习如何证明有理数只能为正、负或者零（习题 4.2.4）时，那些学习非高等实分析课程的学生已经在学习如何区分级数的绝对收敛和条件收敛；(b) 即便如此，为什么感觉自己的家庭作业要比那些同学的更难。另外一位学生非常苦恼地告诉我，尽管她很清楚为什么一个自然数 n 除以一个正整数 q 可以得到一个商 a 和一个小于 q 的余数 r（习题 2.3.5），但是要证明这个事实对她来说非常困难，这令她很沮丧。（我告诉她在后续课程中，有些命题的正确性并不是显而易见的，而且她一定能够学会证明这些命题。但是，她看起来并没有因为我说的这些而感到欣慰。）然而，这些学生仍然非常喜欢做家庭作业，因为他们通过自己的不懈努力，给出了关于某个直观事实的严格证明，这加强了规范数学的抽象处理与对数学（以及现实世界）的不规范直觉之间的联系，让他们感到非常满足。当被要求给出实分析中令人厌恶的“ε − δ”证明时，他们已经通过大量的练习形成了直观概念并且已经认识到数理逻辑的精妙之处（例如：“任意”和“存在”两种表述的区别），这样他们就能够轻松地过渡到“ε − δ”这种证明，同时我们也能够快速深入地开展课程。到第十周，我们就已经赶上非高等实分析课程的进度，学生也开始验证黎曼–斯蒂尔杰斯积分的变量替换公式，并且证明分段连续的函数是黎曼可积的。到第二十周，本系列课程就要结束的时候，我们已经（通过课堂讲述和家庭作业）学习了泰勒级数和傅里叶级数的收敛理论，以及多元连续可微函数的反函数和隐函数定理，并且建立了勒贝格积分的控制收敛定理。
为了充分利用本材料，很多关键性的基础结论都作为家庭作业留给学生自己去证明。事实上，这是本课程非常重要的一点，因为这样可以保证学生真正掌握了这些重要的概念。这种模式将保留在学习本书的整个过程当中。绝大部分的习题都是证明课本中的引理、命题和定理。如果你希望利用本书来学习实分析，那么我强烈建议你尽量多做这些习题，包括那些结论看起来“显然”成立的习题。这门课程的精妙之处不是通过单纯地阅读就可以掌握的。本书绝大部分章节的最后都给出了大量的习题供大家学习。
对于专业的数学工作者来说，本书的节奏可能稍微有些慢，特别是刚开始的几章，着重强调了严格性（明确标记为“非正式”的讨论内容除外），并且对那些通常被认为显然成立、可以一带而过的步骤进行了论证。前几章（通过繁琐的证明）给出了标准数系中许多“显然”成立的性质，例如，两个正实数之和仍然是正的（习题 5.4.1），或者任意给定的两个不相等的实数之间一定存在有理数（习题 5.4.5）。这些基础章节也强调了非循环论证。所谓非循环论证是指不能利用后面更加高深的知识来证明前面那些初级的理论。特别是普通代数运算法则，在被推导出来之前是不能被使用的（另外，要分别证明代数运算法则在自然数、整数、有理数、实数中均是成立的）。这样做是为了让学生学会利用给定的有限条件进行抽象推理，并推导出正确的结论。不断进行这样的练习有助于学生在后期学习中，采用同样的推理技巧来掌握更加高深的概念（如勒贝格积分）。
因为本书来源于我教授实分析课程时所用的讲义，所以主要从教学的角度展开；许多关键性的资料都包含在习题当中。很多情况下，我采用了冗长且乏味但具有教育意义的证明过程来代替通俗抽象的证明。在更深层次的教科书中，学生将会发现这些材料的篇幅变得更简短，概念更凝练；而且书中更加强调直观性而非严格性。但是，我认为首先了解如何严格地“动手”进行分析非常重要，因为这有助于学生在研究生及更高的学习阶段中，更好地掌握现代、直观、抽象的分析方法。
本书着重强调了严格性和形式化。但是，这不意味着采用本书作为教材的课程都要按照这样的方式来展开。其实，我在教学过程中会向学生展示更加直观的概念（画一些非规范的图形并举一些具体的例子），从而对书中正式的授课内容给出补充观点。那些被设置为家庭作业的习题是连接直观形象和概念的重要桥梁，它们要求学生把直观形象和形式理解结合起来，帮助学生正确地论证题目。我发现这对于学生来说是最困难的任务，因为这要求学生必须真正理解所学的知识，而不仅仅记住学习内容或者囫囵吞枣地吸收。然而，我从学生那里得到的反馈是：虽然基于上述原因，家庭作业对他们来说是有些吃力，但是对他们也有很大益处，因为这些作业使他们能够把规范数学的抽象处理与对基本概念（如数字、集合、函数）的直观感觉联系起来。当然，在这个过程中，优秀助教的帮助也非常重要。
关于考试部分，我建议采取如下两种方式之一：一种是开卷考试，题目可以类似于本书的习题（题目内容可以更加简短，解题的思路更加常规）；另外一种是家庭作业式的测验，内容应该包含解题思路较为复杂的题目。因为实分析所包含的内容非常广泛，所以不应该强迫学生去记忆定义和定理。因此，我不建议采取闭卷考试，也不建议采取那种通过对书本内容进行反刍式的压缩而做的考试。（事实上，在考试中，我会为学生提供一张附页，这张附页会列出与本次考试内容相关的关键性定义和定理。）将考试设置成类似于家庭作业的形式，有助于促进学生认真、全面地复习和理解作业中的问题（相对于那些使用教学卡片或者类似的教学工具来让学生记忆教材内容的方式），这不仅仅有助于学生备考，同时也能帮助他们为一般的数学研究做好准备。
本书中的一些材料相对于主题而言是次要的，如果时间有限，可以忽略此部分内容。例如，集合论不像数系那样是分析理论的基础内容，所以有关集合论的章节（第 3 章和第 8 章）可以不那么严格地快速略讲，或者把这部分内容当作阅读资料。附录中关于逻辑学和十进制的内容可以作为选学或者补充阅读内容，不必在课堂上讲授；附录中的逻辑学部分特别适合在讲授前几章时作为阅读材料使用。另外，第 16 章（关于傅里叶级数）在本书的其他部分用不到，可以略去。
鉴于篇幅的缘故，本书分为两卷 ①。第一卷的篇幅稍长，但是若将那些次要的材料忽略或者删减掉，本卷可以分为大约 30 讲来教授。第二卷会不时涉及第一卷的内容，但是针对已经通过其他资料学习过分析论入门课程的学生，可以直接向他们讲授第二卷的内容。第二卷也分为大约 30 讲完成。
我非常感谢我的学生。他们参与了整个实分析课程的学习，纠正了赖以编成此书的讲义中许多错误的地方，并且给了我非常宝贵的反馈意见。另外，我非常感谢那些匿名审阅人，他们对本书进行了多次修正并给出了许多重要的修改意见。同时，我非常感谢 Biswaranjan Behera、Tai-Danae Bradley、Brian、Eduardo Buscic-chio、Carlos、EO、Florian、G¨okhan G¨ucl¨u、Evangelos Georgiadis、Ulrich Groh、Bart Kleijngeld、Erik Koelink、Wang Kuyyang、Matthis Lehmk¨uhler、Percy Li、Ming Li、Jason M.、Manoranjan Majji、Geoff Mess、Pieter Naaijkens、Vineet Nair、Cristina Pereyra、David Radnell、Tim Reijnders、Pieter Roffelsen、Luke Rogers、Marc School-derman、Kent Van Vels、Daan Wanrooy、Yandong Xiao、Sam Xu、Luqing Ye。最后，对新墨西哥大学 Math 401/501 和 Math 402/502 班次的同学表示感谢，感谢他们对本书第 1 版和第 2 版进行的修订。
陶哲轩
① 中文版合为一本书出版，第一部分对应原书第一卷，第二部分对应原书第二卷。——编者注