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 对话《螃蟹卡农》又非常奇妙，从头开始往后看和从尾部开始往前读这则对话都可以读得通，而且意思也是颠倒的。且这则对话里提到的埃舍尔，巴赫的作品也具有相同结构。但这则对话与这一章的内容之间的关联似乎并不是特别大，仅仅是体现了形式和内容双重的重要性。
第八章名为印符数论，主要内容是在命题演算的基础上建立一个叫TNT的形式系统，并试图用这个系统囊括数论中的一切内容。（连TNT这个名字作者都想到了双关）。上一章使用印符的方式表示命题推理，这一章就开始尝试用印符的方式表示整个数论了。
开始：
数字以0，SS0，SSS0等表示，符号S表示它后面那个自然数的后续。
变元用a以及在a上加撇表示，在书中为了表达方便，使用a，b，c，d，e五个字母。
符号上，加号+和乘号*连接两个数时必须使用括号，同时引入等号=
命题演算中除P，Q，R的所有内容均包含在该系统中。
在式子（b+S0）=SS0中，由于b为自由变元，我们把这个公式称作开公式。我们于是引入存在断言∃与全称断言∀，至此完成该系统词汇表。
该系统良构规则：包括数字，变元，项，原子，否定，复合，量化，开公式，闭公式等的良构要求。
该系统的五条公理与第一组规则：
1. ∀a：~Sa=0
2. ∀a：（a+0）=a
3. ∀a：∀b：（a+Sb）=S（a+b）
4. ∀a：（a*0）=0
5. ∀a：∀b：（a*Sb）=（（a*b）+a）
在介绍新规则之前，作者介绍了五条皮亚诺公设，根绝这五条公设可以建立起皮亚诺一阶算术系统。有趣的是，第五条公设正是数学归纳法。这个方法并非是证明得来，而是一条公设。至此感觉对这一块的理解又深了些，即数学某种程度上时人类思维的一种游戏，我们所选取的公设一方面当然是因为它看上去很对，另一方面则是我们需要一些东西来为更高的东西奠基。查了些资料，在更深层次的数论研究里还有彼此矛盾的公设：比如选择公设和决定公设。
好像欧几里得第五公设，它的结论那么明显但许多年来没人可以证明它，只能把它当做公设，而也正是对这条公设的研究，并且用不同的想法理解其中“点”和“线”的概念，才发展出了非欧几何。
之后继续为该系统添加新的规则
对全称量词，添加特称规则和概括规则；对存在量词，添加互换规则和存在规则。对于等号，添加等号的对称规则，传递规则，以及两条后继规则。
到目前为止，这个系统仍有有着非常明显的缺失，即，虽然我们已经可以产生任何数相加的定理，但对于像第二条公理那样概括性表达加法性质的串却无法产生。将这种不完全性称作w不一致性。它的具体定义时：如果在一个系统中所有串都是定理，而全称化的概述串却不是，那么这个系统是w不一致的。
为解决w不一致性，引进最后一条规则，也就是类似于皮亚诺第五公设的归纳规则。
现在，TNT系统已经完全了，它已经到达了一个临界点，我们可以期望它来表示数论中一切东西。当然我们还可以通过增加“元定理”使这个系统变得更加容易操作，但是它所能表达的内容不会因此增加了。
然后作者抛出最后一个问题：我们是否能够信赖该系统的一致性。能否证明该系统的严谨性，而且证明过程不需要构造一个更强的系统而是用一个弱于TNT的系统？这是希尔伯特等数学家在面对《数学原理》时所考虑到的问题，如果能够，那么数论家都可以赋闲了，一切工作都可以机械地进行。当然结果前文已经提到过了：哥德尔粉碎了人们的这个伟大梦想。