数学分析简明教程

本书共八章。

第一章“实数的十进表示及运算”严格讲述初级中学数学课本叙述的有理数、无理数和实数的概念。严格讲述数列极限的概念。使用实数的十进表示, 借助极限概念, 用“算数的方式”处理正数的“幂运算”。讲清楚高级中学课本中所说的指数函数。

第二章“函数”是中学数学对于函数概念的讨论的深化。严格介绍和讨论函数的连续性等概念, 顺带给出了指数函数的解析方式的定义。同时介绍Rn的基本拓扑概念。

第三章“微分学”从“Rm 到Rn的映射”出发, 严格讲述导数概念。

第四章“积分学”系统讲解 Lebesgue 积分理论。包括测度、可测函数、积分的定义和基本理论。其中包括Rn上积分的变量替换法, 并介绍线段上几乎连续函数的积分的 Riemann 算法（经典的 Riemann 积分）、微积分基本定理及以其为基础的积分算法。

第五章、第六章、第七章, 这三章 讲述积分...

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本书共八章。

第一章“实数的十进表示及运算”严格讲述初级中学数学课本叙述的有理数、无理数和实数的概念。严格讲述数列极限的概念。使用实数的十进表示, 借助极限概念, 用“算数的方式”处理正数的“幂运算”。讲清楚高级中学课本中所说的指数函数。

第二章“函数”是中学数学对于函数概念的讨论的深化。严格介绍和讨论函数的连续性等概念, 顺带给出了指数函数的解析方式的定义。同时介绍Rn的基本拓扑概念。

第三章“微分学”从“Rm 到Rn的映射”出发, 严格讲述导数概念。

第四章“积分学”系统讲解 Lebesgue 积分理论。包括测度、可测函数、积分的定义和基本理论。其中包括Rn上积分的变量替换法, 并介绍线段上几乎连续函数的积分的 Riemann 算法（经典的 Riemann 积分）、微积分基本定理及以其为基础的积分算法。

第五章、第六章、第七章, 这三章 讲述积分学的应用。

第五章讲两方面的问题。 一方面是如何计算Rn中常见几何体的体积。另一方面的内容是一些常见的积分以及积分的极限的计算, 兼论及可积函数用光滑函数近似的问题。

第六章讲述Rn中的k(1≤k＜n)维流形（C1类流形）上的测度和积分 —— 第一型积分。

第七章讲述Rn中的一维流形(曲线)上的第二型积分以及R3中的二维流形（曲面）上的第二型积分。作为应用, 给出了二维和三维情形的 Brouwer 不动点定理的证明。

第八章“函数的级数展开”一方面讨论光滑函数的 Taylor 级数, 另一方面对于可积函数(当然是 Lebesgue 可积函数）的 Fourier 展开做一个基本的介绍。可作为大学数学系一、二年级本科生教材。

前言
第一章 实数的十进表示及运算
1 比例数列的极限
2 实数的十进表示的定义, 比例数的十进表示
3 R中的算术运算及大小次序
4 正数的开方运算以及幂运算
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前言
第一章 实数的十进表示及运算
1 比例数列的极限
2 实数的十进表示的定义, 比例数的十进表示
3 R中的算术运算及大小次序
4 正数的开方运算以及幂运算
5 实数列与实数集的一些性质, 一些练习
6 非比例数比比例数多得多, 基数的概念
第二章 函数
1 一元函数
2 再谈指数函数
3 n维Euclid 空间Rn
4 多元函数
第三章 微分学
1 导数
2 Taylor 公式和Taylor 展开式
3 可微变换
4 隐变换
5 条件极值
6 几何应用
7 原函数
第四章 积分学
1 测度
2 可测函数
3 积分的定义及基本理论
4 几乎连续函数及其积分
5 微积分基本定理
第五章 积分学的应用(一)
1 常见几何体的测度
2 用积分解决几何的和物理的问题的例子
3 积分号下取极限的定理应用于参变积分
4 一类重要的参变积分------Euler积分
5 可积函数用紧支撑光滑函数近似
第六章 积分学的应用(二)------曲线和曲面上的第一型积分
1 Rn的子空间中的测度
2 曲线的长度及曲线的自然表示
3 曲线上的测度及积分
4 Rn(n≥3)中的2 维曲面上的测度和积分
5 Rn中的k维(1≤k＜n)曲面上的测度和积分
第七章 积分学的应用(三)------曲线和曲面上的第二型积分
1 场的概念\quad 数量场的梯度场
2 第二型曲线积分
3 沿曲线的Newton-Leibniz 公式
4 R2中的Green公式
5 第二型曲面积分
6 Gauss公式 向量场的散度
7 Stokes公式 旋度
第八章 函数的级数展开
1 收敛判别法
2 一致收敛
3 求和号下取极限
4 幂级数与Taylor展开
5 三角级数与Fourier 展开
6(选读) 用代数多项式一致逼近连续函数
索引
· · · · · · (收起)