心皿对《规范场、纽结和引力》的笔记(2)

第一部分 Electromagnetism ========================= 第一章 Maxwell's Equations ----------------------------- 通过引入复值向量场($ E+iB $)，利用Maxwell方程中的duality将其化为两个方程，再展开回Maxwell方程的常见形式。 分析了Maxwell方程的Lorentz不变性，指出在本部分结束时，我们能够意识到Maxwell方程其实可以写成：

第二章 Manifolds ------------------------- 本章意在以坐标无关的方式介绍流形。 以开集、拓扑空间、领域等概念开场，介绍了($ chart $)这种能够把拓扑空间映射为($ R^n $)的东西，从而定义了($ n $)维流形。 从而自然也就可以把定义在($ n $)维流形上的函数($ f $)，通过($ f \rightarrow f \cdot chart^{-1} $)的方式，变成了在($ R^n $)上定义的函数。 稍微讨论了一下流形的连续和光滑。 ($ C^∞(M) $) 表示流形($ M $)上的光滑实值函数的集合。 第三章 Vector Fields -------------------------- ### 第一小节 向量场 这一小节革新了我们对向量场的传统观念。 不再把向量视为具有大小和方向的箭头，而视为在其方向上的对任意($ f $)的方向导数，即($ v = v^μ \partial_μ $)。 进一步抽象地将流形($ M $)上的向量场($ v $)定义为：

并且满足线性法则以及Leibniz法则:

并定义了向量场的和与积。 随后证明了($ \{ \partial_μ \} $) 形成($ Vect(R^n) $)的一组基，也即任意($ v $)都可以唯一地表示为($ v^μ \partial_μ $)的形式，。 综上，我们意识到了向量场的方向导数本质，并回归了向量的分量定义。 ($ Vect(M) $)，表示($ M $)上所有向量场的集合。 ($ v $)在点($ p $)，定义了切向量。点($ p $)的所有的切向量组成($ T_p M $)。 ($ γ： R \rightarrow M $)，定义了曲线。 ### 第二小节 逆变和协变 我稍微滥用一下定义域这个词来解释： 如果有微分同胚（diffeomorphism）($ φ: M \rightarrow N $)，另有($ f : N \rightarrow R $)，那么：($ f φ ： M \rightarrow R $)。 如果我们定义 ($ φ^* f = f φ $)，那么($ φ^* $)就是一种把一个定义域在($ N $)的函数($ f $)“拉回（pullback）”定义域($ M $)的操作。 这样我们也就定义具有这种性质的东东是逆变的，在这里，也就是($ C^∞(M) $)是逆变的，因为一个明明正向的($ φ $)，起到的却是一种拉回的效果。 那么再给出“推前（pushforward）”定义：

其中，($ f: N \rightarrow R， v: C^∞(M) \rightarrow C^∞(M) $)。 注意看： 右边是通过先把($ f $)从定义域($ N $)拉回到($ M $)，然后将向量场作用其上。 左边是通过先把向量场从($ M $)推前到($ N $)，然后将其作用在($ f $)上。 ### 第三小节 流和李括号 顺着($ v $)，我们可以得到积分曲线($ γ $)。想象一个点顺着($ γ $)流动，在时间($ t $)我们就得到了这么一个映射：

($ \{φ_t \} $)也就成为了($ v $)生成的流。 李括号其实很像柏松括号，或者说算符的互易子。

李括号也就表征了“先顺($ v $)流再顺($ w $)流的流”与“先顺($ w $)流再顺($ v $)流的流”之间不可互易的程度。 第四章 Differential Forms -------------------------- ### 第一小节 1-形式 向量场是倒腾函数的，1-形式则是把向量场倒腾成另外的函数。

同样需要满足线性法则：

注意，这里从向量场定义里的数乘变成了函乘。 同样，很容易定义1-形式的和与函积。 ($ Ω^1(M) $)表示M上的所有1-形式的集合。 定义一种特殊的1-形式——外微分($ df $)：

接下来通过对 ($ d \sin x = \cos x dx $)两边的分别变形，在外微分的语境下，阐释了微分形式不变形的真谛。 ($ \{ dx^μ \} $) 形成 1-形式在($ R^n $)上的一组基。 于是可以定义：

得到：

这样1-形式也被我们展开成了分量形式。 ### 第二小节 余切向量 于是我们很自然得到了余切向量：

点($ p $)的所有余切向量组成($ T^*_p M $)。 余切向量是逆变的。 ### 第三小节 坐标变换 以上的讨论都是不涉及具体坐标的。 在不同的坐标选择之间，如何变换？

很容易推得：

而且这个变换关系也适用在向量场和1-形式上：

### 第四小节 p-形式 通过定义 只需满足

的外代数 ($ ∧ $)。 这个代数构成了($ ∧V $)。 严格的代数规则见书中，其中这个反交换规则是不包含在内的，而是作为一个自然的推论。 我们定义p-形式为“p个1-形式的∧乘”的线性组合。 一般情况下，p-形式具有如下的形式：

($ v∧ w $)和($ u ∧ v ∧ w $)我们得到了类似叉乘($ v × w $)和三乘 ($ u \cdot (v × w) $)的结果，区别在于，叉乘的结果是向量， 三乘的结果是标量，而这里的结果分别是2-形式和3-形式。 在这个过程中，我们发现叉乘的右手规则，其实是不必要的，唯有当我们企图把一个2-形式映射为一个1-形式的时候，才会涉及到手性。 ### 第五小节 外微分 我们定义严格的外微分：

1. ($ p $)从($ 0 \rightarrow 1 $)的定义还是基于之前的外微分定义； 2. 满足线性规则 3. ($ d(ω ∧μ) = dω∧μ + (-1)^p ω∧ dμ $)。 4. ($ d^2 ω = 0 $)。 于是我们看得很清楚，在($ R^3 $)中 1. ($ Grad $)是($ p $)从($ 0 \rightarrow 1 $) 2. ($ Curl $)是($ p $)从($ 1 \rightarrow 2 $) 3. ($ Div $)是($ p $)从($ 2 \rightarrow 3 $) 第五第六章见下一则笔记。

第五章 Rewriting Maxwell's Equations ------------------------------------- ### 第一小节 第一对方程 目的：将

推广到任意流形。 首先把B作为2-形式处理：

E作为1-形式处理：

定义统一电磁场($ F $)为($ R^4 $)上的2-形式：

其分量组成一个反对称的矩阵，见书中。 第一对方程可以简单地写成：

通过将其拆成类空部分和类时部分，不难重新推导出第一对方程。 但这个方程的普遍性不仅仅适用于可以将流形M拆成($ R \times R^3 $)的情形。 注意：我们通常概念意义上的电场和磁场，则只有在可以将流形M拆成($ R \times R^3 $)的情形下，才有定义。 ### 第二小节 度规 第一对方程，并不涉及度规。它们是普遍协变的，也就是无论怎么伸缩扭曲时空的微分同胚，都可以用其push back得到对应的解。 度规是一种广义的距离，或者说间距。 定义向量空间V上的度规g为：

满足： 双线性条件：

可交换：

非退化：

有了度规，可以选取一组正交的基：($ \{ e_μ \} $) 正交，也就是满足：

($ Signature(p, q) $)：($ q $)是正交基中-1的数目。($ p+q=n $) 对 ($ γ: [0,1] \rightarrow M $)定义弧长（类空时）或原时（类时时）：

度规的指标升降不在此敷述。 定义1-形式的内积：

再定义 p-形式的内积：

### 第三小节 体积形式 给定V的两组基： ($ \{ e_μ \} $)， ($ \{ f_μ \} $) 有映射 ($ T : V \rightarrow V $)，使得：

如果，($ det T > 0 $)，我们说，这两组基，具有相同的取向。 定义体积元为

，它是 ($ ∧^n V $) 中的非零元素。 设另一组基 ($ f_υ = T^μ_υ e_μ $)，则得到：

其中($ σ $)是一组1..n的全排列/全置换，($ sign(σ) $)则是n维的Levi-Civita符号，详见维基百科。 定义M上的体积形式ω为无处消失的n-形式，其标准形式为：

对于每一个点，($ ω_p $)都是($ T^*_p M $)的一个体积元。 从上面可以看出，体积形式和基的取向密切相关，实际上，如果体积形式不存在，流形是不可取向的。比如在Mobius strip上，无法选定一组光滑变化的基。 若有取向的($chart$) ($ φ_α : U_α \rightarrow R^n $)覆盖($ M $)，则

而体积形式的正则形式为：

这个形式的体积形式，将不受($ chart $)选择的变化的影响，保持不变。证明见书。 第四小节 Hodge Star Operator（星算符？） 可以参考：http://planetmath.org/encyclopedia/HodgeStarOperator.html 面元到面元的映射：

满足：

从此定义，不难推算出落实到按基的Hodge Star Operator的计算方法。详细见书中习题。 ### 第五小节 第二对方程 不难看出第二对方程和第一对方程在做了如下变换之后非常相似，只剩下右侧的区别：

也不难算出， ($ *F $)正好起了类似的效果。 定义 电流密度

在加上电荷成分，定义 current

按同样的把戏，不难验算第二对方程可以写成：

根据上一节，我们知道：在($ R^4 $)上，($ **=±1 $) 当($ **=1 $)时，也就是当流形是黎曼的时候，书中讨论了2-形式的self-dual和anti-self-dual。 书中还讨论了maxwell方程在真空中的解。 第六章 DeRham Theory in Electromagnetism ---------------------------------------------