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第五章 Rewriting Maxwell's Equations
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### 第一小节 第一对方程


目的：将
($$ \nabla \cdot B = 0 $$)
($$ \nabla \times E + \partial_t B = 0 $$)

推广到任意流形。

首先把B作为2-形式处理：
($$ B = B_x dy∧dz + B_y dz∧dx + B_z dx∧dy $$)

E作为1-形式处理：
($$ E = E_x dx + E_y dy + E_z dz $$)

定义统一电磁场($ F $)为($ R^4 $)上的2-形式：
($$ F = B + E∧dt $$)
($$ F =  \frac{1}{2} F_{μυ} dx^μ∧dx^υ $$)

其分量组成一个反对称的矩阵，见书中。

第一对方程可以简单地写成：
($$ dF = 0 $$)

通过将其拆成类空部分和类时部分，不难重新推导出第一对方程。

但这个方程的普遍性不仅仅适用于可以将流形M拆成($ R \times R^3 $)的情形。

注意：我们通常概念意义上的电场和磁场，则只有在可以将流形M拆成($ R \times R^3 $)的情形下，才有定义。

### 第二小节 度规


第一对方程，并不涉及度规。它们是普遍协变的，也就是无论怎么伸缩扭曲时空的微分同胚，都可以用其push back得到对应的解。

度规是一种广义的距离，或者说间距。

定义向量空间V上的度规g为：
($$ g: V \times V \rightarrow R $$)

满足：

双线性条件：
($$ g(cv + v', w) = c g(v, w) + g(v', w) $$)
($$ g(v, cw + w') = c g(v, w) + g(v, w') $$)

可交换：
($$ g(v, w) =  g (w, v) $$)

非退化：
($$ \forall w \in V [ g(v, w) == 0 ]  \Rightarrow v = 0 $$)

有了度规，可以选取一组正交的基：($ \{ e_μ \} $)

正交，也就是满足： 
($$ g(e_μ, e_υ) = ( μ==υ ? 0 : ± 1 ) $$)
 
($ Signature(p, q) $)：($ q $)是正交基中-1的数目。($ p+q=n $)

对 ($ γ: [0,1] \rightarrow M $)定义弧长（类空时）或原时（类时时）：
($$\int \sqrt{g(γ'(t), γ'(t))} dt $$)
($$ g_{μυ} = g(e_μ, e_υ)  $$)
($$ g^{μυ} = g_{μυ}^{-1} $$)

度规的指标升降不在此敷述。

定义1-形式的内积：
($$ <ω, μ> = g^{αβ} ω_α μ_β $$)

再定义 p-形式的内积：
($$ < e^1 ∧ ... ∧ e^p, f^1 ∧ ... ∧ f^p > = det[ < e^i, f^j >] $$)

### 第三小节 体积形式

给定V的两组基： ($ \{ e_μ \} $)， ($ \{ f_μ \} $)

有映射 ($ T : V \rightarrow V $)，使得： 
($$ T e_μ = f_μ $$)

如果，($ det T > 0 $)，我们说，这两组基，具有相同的取向。

定义体积元为 
($$ e_1 ∧ ... ∧ e_n $$)

 ，它是 ($ ∧^n V $) 中的非零元素。

设另一组基 ($ f_υ = T^μ_υ e_μ $)，则得到：
($$
f_1 ∧ ... ∧ f_n
= (T^i_1 e_i) ∧ ... ∧ ( T^i_n e_i) 
= sign(σ) T^σ(1)_1 ... T^σ(1)_1 e_1 ∧ ... ∧ e_n
= det T e_1 ∧ ... ∧ e_n
$$)

其中($ σ $)是一组1..n的全排列/全置换，($ sign(σ) $)则是n维的Levi-Civita符号，详见维基百科。

定义M上的体积形式ω为无处消失的n-形式，其标准形式为：
($$ ω = dx^1 ∧ ... ∧ x^n $$)

对于每一个点，($ ω_p $)都是($ T^*_p M $)的一个体积元。

从上面可以看出，体积形式和基的取向密切相关，实际上，如果体积形式不存在，流形是不可取向的。比如在Mobius strip上，无法选定一组光滑变化的基。

若有取向的($chart$) ($ φ_α : U_α \rightarrow R^n $)覆盖($ M $)，则
($$ g_{μυ} = g(\partial_μ, \partial_υ) $$)

而体积形式的正则形式为：
($$ vol = \sqrt{|det g|} dx^1 ∧ ... ∧ x^n $$)

这个形式的体积形式，将不受($ chart $)选择的变化的影响，保持不变。证明见书。

第四小节 Hodge Star Operator（星算符？）

可以参考：http://planetmath.org/encyclopedia/HodgeStarOperator.html

面元到面元的映射：
($$ * : Ω^p（M）\rightarrow Ω^{n-p} (M) $$)

满足：
($$ \forall ω,  μ \in Ω^p（M）：ω ∧ * μ = <ω, μ> vol $$)

从此定义，不难推算出落实到按基的Hodge Star Operator的计算方法。详细见书中习题。

### 第五小节 第二对方程

不难看出第二对方程和第一对方程在做了如下变换之后非常相似，只剩下右侧的区别：
($$ E \rightarrow -B, B \rightarrow E $$)

也不难算出， ($ *F $)正好起了类似的效果。

定义

电流密度
($$ j = j_i dx^i $$)

在加上电荷成分，定义 current
($$ J = j - ρdt $$)

按同样的把戏，不难验算第二对方程可以写成：
($$ *d*F=J $$)

根据上一节，我们知道：在($ R^4 $)上，($ **=±1 $)

当($ **=1 $)时，也就是当流形是黎曼的时候，书中讨论了2-形式的self-dual和anti-self-dual。

书中还讨论了maxwell方程在真空中的解。

第六章 DeRham Theory in Electromagnetism
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