莫里斯·克莱因：数学的概念、新数学运动以及上帝
以下采访是1981年Omni前执行主编弗兰克·肯迪格在克莱因教授位于纽约大学的办公室里进行的。
文章转载于公众号“哲学园”
OMNI：你的新书非常受欢迎，尽管它的主题很复杂。你认为这本书的成功和它的副标题“确定性的消失”有关系吗？
克莱因：是的，我当时给了牛津大学出版社好几个参考，他们很果断地采用了“确定性的消失”作为副书名。这个选择的考虑之一是我们如今已经进入一个新文化的时代，那个崇拜理性的时代——认为我们可以通过数学来发现科学、自然、政治和经济体系的真理——已然成为历史。因此，“确定性的消失”对于今天这个时代而言特别贴切。
OMNI：“确定性的消失”对我们而言从何说起呢？
克莱因：数学起源于希腊。虽然在希腊人之前也有人关心数学，但不幸的是，关于这些人的早期文献很少。希腊人相信宇宙是按照数学设计的。例如柏拉图会说，即便没有人类，数学也会存在。亚里士多德不同，他认为人有必要把数学从物理现实中抽象出来。但两人都认为数学本身就是真理。
OMNI：在这种观念里，上帝的作用是什么？
克莱因：希腊人相信上帝——罗马人也相信上帝，叫法不同——但认为上帝在数学与自然的关系中并不发挥作用。认为上帝和数学相关的信念出现在中世纪的欧洲，并一直延续到了文艺复兴时期，然后是17和18世纪。这种信念认为上帝设计了宇宙——数学化的宇宙。这种信念在伽利略、牛顿和笛卡尔身上都很强烈。这些人并不完全认同物理的法则，但却一致认为上帝是按照数学的方法设计宇宙的，且只要人们足够努力地去探索，就能发现这些数学规律。
OMNI：如果宇宙是按照数学法则构成的，那么掌握数学是否就意味着能够了解过去并预测未来？
克莱因：是的。有一个很有名的说法，大致的意思是说，如果你知道所有的数学定律和初始的条件，比如物体的初始速度，那么你就能够预测未来。
OMNI：那就意味着用不着上帝喽？
克莱因：这个问题大家意见不一。有的哲学家认为，上帝所做的事情早在一开始就做完了。而有的哲学家则认为，上帝可以在任何时候干预这个世界，或者改变这个世界的结构。
OMNI：就如牛顿的钟表匠。（这里是一个梗，牛顿曾预言航海中的时间问题不可解决，但这一说法后来被一个钟表匠推翻。这就说明上帝在干预世界。）
克莱因：嗯。牛顿说，上帝必须介入，以便让世界按照计划运转。不过，明确表达这一观点的是莱布尼茨，他认为上帝可以在任何时候改变世界的设计。希腊数学家和基督教数学家所持的观点也大致如此：前者说宇宙呈现出数学的结构，后者说是上帝创造了数学。
OMNI：那么确定性的消失是从什么时候开始的呢？我们究竟是在哪里出了错？
克莱因：数学确定性的消失开始于1800年，问题出在几何学。我通常喜欢引用马克·吐温的一句话，他说，人类是真正的宗教动物，是唯一一种能够信仰一种或几种宗教的动物。这句话放在几何学身上也是适用的。
我们一般把起源于希腊的几何学称作欧式几何，以欧几里得命名。但在19世纪初，其他几何——非欧几何——突然发展起来了。非欧几何的兴起究竟是谁的功劳？这一点历史学家有争论，但我认为是高斯，他曾直截了当地表明，我们再也无法相信欧式几何能够正确地描述这个物理世界了。各种几何理论之间是不相兼容的，而根据我们几千年的传统来看，其中必有一种应该是正确的。这就是问题所在。
OMNI：您能举一个其他几何理论的例子吗？
克莱因：在欧式几何中，三角形内角之和是180度；在双曲几何中，三角形内角和小于180度；在双椭圆非欧几何中，三角形内角和大于180度。然而，就人类能够测量的三角形的内角和而言，所有这些理论都是同样正确的。
OMNI：您的意思是说，这些几何理论在土地测量上也都是同样有效的？
克莱因：是的。高斯认为，三角形越大，其内角和越是偏离180度。你刚刚说的只是小三角形的情形，因此内角和的偏差几乎不可测量。高斯预测，如果我们研究一个非常大的三角形，比如由地球、太阳和木星组成的三角形，这种偏差就会很明显。可惜高斯没有相关的数据，19世纪的时候没人有这方面的数据，但是高斯认为我们必须考虑这种可能性。
OMNI：当几何学陷入低谷之后，数学家们都是如何回应的呢？
克莱因：许多数学家试图挽救或维护数学中以算术为基础的那部分。到1850年，算术对科学的影响比几何深远而又广泛。不幸的是，其他令人震惊的事件接踵而至：算术和代数成了下一个被真理抛弃的学科。关于这一点最好的例子是伟大的数学物理学家哈密顿在1843年提出的四元数。在四元数中，乘法交换律是无效的。换句话说，在四元数中，我不能说3乘以4等于4乘以3。此外，其他各种代数也纷纷出现。这就使得人们开始担心普通算术的规律。如果一种合理的代数不适用于我们熟悉的法则，那么它还能否适用于实数系呢？一位名叫赫尔曼·冯·赫姆霍尔兹的数学家站了出来，承认我们确实无法知道这一点：代数法则在有些情况下成立，但不适用于所有情况。
OMNI：这种代数有什么例子么？比如在什么情况下，2+2=6，或者，在什么情况下，5乘以7等于35，但是7乘以5却是34呢？
克莱因：我能想到几个例子。取1夸脱40℃的水和1夸脱50℃的水混合，能得到2夸脱90℃的水吗？不会，你可能得到的是2夸脱45℃的水。因此，不能简单地把40和50相加，然后得到90，这取决于实际的情况。再举一个音乐的例子：一个频率为100Hz和另一个频率为200Hz的单音叠加，得到的并不是频率300Hz的单音，事实上合成音的频率还是100Hz。
OMNI：所以说，代数和算术算是步了几何的后尘。那数学家们后来革新了吗？
克莱因：是的。在19世纪，数学家们终于认识到，数学不一定是关于物理世界的真理。但他们依然相信数学本身是正确的、健全的、符合逻辑的。在之后的数学公理化运动中，人们发现了以往论证中的错误，并予以纠正。到了1900年，数学家们自认为数学取得了一个奇妙的、完美的、符合逻辑的推进。但数学与现实的关系问题依然悬而未决。1900年之后，人们在数学中发现了自身的矛盾：一个完备的逻辑体系却在数学的所有分支中都引发了矛盾。这简直不能忍。如果数学不是一个完备的推理体系，如果数学的分支中存在漏洞，那么你几乎可以证明任何事情。（译者注：根据实质蕴涵的规律，你可以从任何错误的命题出发，逻辑地证明所有命题。这也就反过来意味着，所有的证明都失效了。）罗素在这方面很有贡献。
OMNI：所以，数学家们再一次革新了？
克莱因：是的，他们这次分成了四个阵营，共同消除数学中的逻辑矛盾，以便挽救数学的基础。
OMNI：这就是所谓的一致性的问题吗？您可否解释一下一致性和完备性，我觉得这些都是很重要的概念吧。
克莱因：一致性意味着在数学的任何一个分支中都不应该存在矛盾，任何矛盾都不可能出现。这就引出了哥德尔在1931年的论文。如果哥德尔的证明是正确的——似乎的确如此——那么我们就永远无法在数学的任一分支里建立起一致性。完备性不涉及矛盾的问题，如果一个数学分支是完备的，那就意味着，其中的任何一个有意义的陈述都可以被证明或者证否。哥德尔证明了，在数学的任一分支中总会有一些有意义的命题既不能被证明，也不能被证否。他称这些命题为不可判定陈述。这就是确定性消失的主要原因。哥德尔的证明是关键。
OMNI：如果数学不是真理，如果数学充满了矛盾和不确定性，那为什么数学这么有用呢？
克莱因：这个很难讲，也许数学就是有用而已。我们关于数学的可靠性——不是确定性——的唯一测试是它可以被用在物理问题中并做出预测。如果预测成功，那么我们就可以说，数学具备现实基础，但不是确定性。人们总是情不自禁地被数学所取得的成果而打动。比如向月亮发射航空飞船，整个任务都是数学的工作。当然，这里面会有大量的工程方面的技术，比如得有修建航空飞船的技术，但是整个发射计划的核心都是数学。我们有关于太阳、地球或者其他天体的理论，我们知道这些天体的运行轨迹和万有引力相关，但是根本没有人见过万有引力！我们对万有引力的物理基础一无所知，只是发现了它的数学表达而已——万有引力是科学虚构出来的。
OMNI：如此说来，那电和磁是不是也一样？
克莱因：确实。人人都见过电视机，也都知道收音机，但恐怕没人了解电波是啥东西。因为它既没有味道，也没有声音。多亏了19世纪的数学物理学家麦克斯韦尔，我们才有了关于电磁的完美的数学理论。这个理论之所以完美的证据就是我们生活中的收音机和电视机等。因此，我们要么承认数学是有用的，要么就得把收音机或者电视机扔掉。
OMNI：自从确定性消逝之后，数学家们都转而去研究物理问题了吗？
克莱因：不，他们没有。今天的大多数（也许是90%的）数学家所做的工作是徒劳的。这是我自己的观点，也是很多远比我有创造力和知名度的数学权威们的观点。
OMNI：您能举一个说明数学研究是徒劳的例子吗？
克莱因：比如说，数论的一些问题研究就是徒劳的。取一质数对（doubleprimes）。它们是数列中的质数，例如11和13。偶数当然不是质数。这些质数对能有多少组？有三重质数吗？关于这些主题的论文层出不穷。可是，谁在乎呢？
说到论文，我在自己的一本书中建议，在一份受人尊敬的期刊上发表的每一篇论文都应该有作者的前言，里面需要表明作者为什么要发表这篇文章，以及他认为这篇文章有什么价值。我对自己的这个建议并不抱太大希望。
OMNI：您是否觉得那种“不发表就完蛋”的学术体制应该为数学的这种境遇负责呢？
克莱因：从某种程度上来说，是的。如今，很少有哪位卓越的数学家不是在大学里工作的。但以往并非如此。莱布尼茨和笛卡尔就从来没有大学的职位。在“不发表就完蛋”的规则下，现在的很多数学家，比如所有的大学教授，承担很大的压力。既然得发表文章，那么最容易的办法就是在“纯数学”方面找论题，因为“纯数学”不需要他去了解物理学等其他方面的科学知识。结果就是，他的论文所谈的可能是一个非常狭窄的领域，要知道数学的分支有好几百个呢！
如果你当面批评这些人，他们可能会说：“纯数学是充满激情、美感和挑战性的！”但是对于这番言辞，我是不大相信的，我琢磨着他们之中能有百分之十的人真的那么认为就很了不得了。
OMNI：听起来，数学很像下棋或者打牌。激情、美感和挑战性，都能用来形容这三项活动吧。
克莱因：对啊。我很高兴你这么说。的确有人很喜欢下棋，甚至一辈子都在研究棋谱。但无论他把棋谱研究得多么出神入化，他不会带给世界任何改变。现在的很多数学家研究的东西可能比下棋要深入一些，但本质上是一样的。
OMNI：现在还有什么仍需解决的物理问题吗？
克莱因：嗯，好的。我举一个目前还没有解决的而且很可能在不远的将来也无法解决的物理难题——三体问题。简单来说，如何用数学方程去精确地预测由地球、月亮和太阳组成的系统的运动轨迹的问题，现在依然是束手无策。你需要写下一系列描述各个天体运动轨迹的方程组，但这些方程组目前还无法解开。很多最优秀的数学家已经在这个问题上相继钻研了近三个世纪了。
另一个例子是弹性。早在几百年前，伽利略就开始研究这个问题了。弹性，现在是数学的一个分支。我们需要用数学来计算梁和柱的强度——以便了解它们什么时候会断裂，什么时候会倒塌。让我惊讶的是，在我们对弹性如此无知的情况下，工程师们竟然敢建造80层高的大楼。这又是一个涉及微分方程的问题。
OMNI：我们来谈谈数学教育的问题吧。您觉得“不发表就完蛋”的体制是大学的主要问题吗？
克莱因：这肯定是一个很重要的问题。教授和想要成为教授的人，都面临学术论文的压力，而这会占用相当多的时间和精力。有些人甚至为此而耽误了教学的工作：他们备课不充分或者甚至干脆不备课，上课时随心所欲地谈谈他们正在研究的东西，而不去讲上课的材料。此外，大学也一直让部分研究生去给本科生上课，在部分大学里，大课的教学助理经常是研究生来担任。这根本就不算教学。
拿微积分来说，它是一个应用型的领域。微积分本身没有什么美感可言，它就是一个解决科学问题的工具而已。然而很多数学教授对科学领域知之甚少。其结果是，他们害怕选择那种带有很多科学案例的微积分教材，担心万一被学生问倒了就尴尬了。他们害怕尴尬，但也不愿意花时间去了解科学。
OMNI：那么小学——高中的数学教育什么情况呢？
克莱因：我认为，从我们这个国家（美国）在小学开设数学以来，数学教育——尤其是课程安排——非常不合理。值得一说的是，数学过去只在大学里教，即便是算术也是。
我对小学数学教育的主要批评在于，这些课程对学生是没有意义的。老师们只被训练来教授数学技巧，而他们甚至都没有真正理解这些东西。假设一个糖果卖5美分，三个卖多少钱？我认为一个学生必须相信，任何超过解决这种问题的数学技巧都是毫无意义的。有解决问题的意识是很重要的，但问题必须是学生感兴趣的。有些问题，比如挖一条沟，A需要6天时间挖完，B需要8天时间挖完，那么两人一起挖需要多少时间，这种问题究竟有什么意义呢？
讲究这种实用性、价值感，对于高中的学生而言是非常重要的。学生在高中一般会学习代数、几何、三角函数。可是学这些东西有什么用处？我曾问很多高中的老师，问他们这辈子有没有在课堂之外用过二次方程。答案总是没有。
OMNI：“新数学”运动不是改变了这种课程设置吗？
克莱因：“新数学”运动的倡导者们确实做出了一些改变。他们认为数学教育需要改进，这个方向是对的，但却用错了方式。这些倡导者中的许多是大学教授，他们没有中小学教学经验，因此很难以中小学生能够理解的方式来讲授数学。这就是“新数学”运动失败的原因。这也是为什么我在“新数学”运动开始的时候就反对它的原因。现在的教学重点回到了基础课程，但主要是以前的课程设置，时不时地会有一些新的东西，但总体来看意义不大。
OMNI：那是否可以说，数学就是一门复杂的学科呢？
克莱因：数学有可能是最难的学科。我最喜欢的一句话来自伟大的数学家赫尔曼·魏尔。他说，关心数学不是人类的本性，数学如星光一样灿烂、明晰，但却冷峻无情。我认为他说的是对的。当然，有些人或许受了一位非常好的老师的影响，从而把精力投入数学，但他们却不知道为什么要学数学。这些人就是我们所说的“好学生”。然而，如果一个人不加反省地就接受了对他而言没有意义的东西，那他还是好学生吗？大多数学生是反感数学的，一旦完成了必修课，他们巴不得立刻跟数学拜拜。然而，如果在教学中，我们能让数学的价值和它与生活的相关性结合起来，我相信恐怕没有人会讨厌数学的，甚至可能会从此喜欢上数学。
