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第十三章 数项级数1

13.1 无穷级数的基本概念1

13.1.1 无穷级数的多种视角1

13.1.2 思考题5

13.2 正项级数6

13.2.1 比较判别法的一般形式6

13.2.2 比较判别法的特殊形式7

13.2.3 其他判别法9

13.2.4 例题13

13.2.5 练习题17

13.3 一般项级数19

13.3.1 一般项级数的敛散性判别法20

13.3.2 一般项级数的基本性质21

13.3.3 例题23

13.3.4 练习题26

13.4 无穷乘积28

13.4.1 基本内容28

13.4.2 例题29

13.4.3 练习题34

13.5 对于教学的建议35

13.5.1 学习要点35

13.5.2 参考题36

第十四章 函数项级数与幂级数40

14.1 一致收敛性及其判别法40

14.1.1 基本内容40

14.1.2 例题43

14.1.3 练习题48

14.2 和函数与极限函数的性质49

14.2.1 三分法与极限顺序交换原理49

14.2.2 例题51

14.2.3 准一致收敛与控制收敛定理53

14.2.4 练习题58

14.3 幂级数的收敛域与和函数58

14.3.1 幂级数的基本理论58

14.3.2 思考题59

14.3.3 例题60

14.3.4 练习题63

14.4 函数的幂级数展开65

14.4.1 Taylor级数与函数的幂级数展开式65

14.4.2 将函数展开为幂级数的基本方法68

14.4.3 例题70

14.4.4 练习题73

14.5 对于教学的建议74

14.5.1 学习要点74

14.5.2 参考题75

第十五章 Fourier级数79

15.1 Fourier系数79

15.1.1 Fourier系数的计算公式79

15.1.2 Fourier系数的渐近性质81

15.1.3 Fourier系数的几何意义82

15.1.4 例题84

15.1.5 练习题85

15.2 Fourier级数的收敛性87

15.2.1 Dirichlet核和点收敛性87

15.2.2 Gibbs现象89

15.2.3 Fourier级数的Cesaro求和91

15.2.4 Fourier级数的平方平均收敛94

15.2.5 Fourier级数的一致收敛性95

15.2.6 例题98

15.2.7 练习题101

15.3 对于教学的建议102

15.3.1 学习要点102

15.3.2 参考题103

第十六章 无穷级数的应用106

16.1 积分计算106

16.1.1 关于逐项积分的补充命题106

16.1.2 例题107

16.1.3 练习题111

16.2 级数求和计算111

16.2.1 级数求和法111

16.2.2 例题112

16.2.3 练习题118

16.3 连续函数的逼近定理119

16.3.1 核函数方法120

16.3.2 Bernstein证明的概率解释123

16.3.3 逼近定理的一个初等证明125

16.3.4 逼近定理的其他证明127

16.3.5 逼近定理的应用举例128

16.3.6 练习题130

16.4 用级数构造函数131

16.4.1 处处连续处处不可微的函数131

16.4.2 填满正方形的连续曲线133

16.5 对于教学的建议134

16.5.1 学习要点134

16.5.2 参考题134

第十七章 高维空间中的点集与基本定理137

17.1 点与点集的定义及其基本性质137

17.1.1 点的分类及其性质137

17.1.2 集合的分类及其性质138

17.1.3 思考题140

17.1.4 练习题141

17.2 Rn中的几个基本定理141

17.2.1 综述141

17.2.2 例题142

17.2.3 练习题144

17.3 对于教学的建议145

17.3.1 学习要点145

17.3.2 参考题146

第十八章 多元函数的极限与连续147

18.1 多元函数的极限147

18.1.1 重极限147

18.1.2 累次极限150

18.1.3 证明函数的重极限不存在的常用方法150

18.1.4 思考题151

18.1.5 关于累次极限换序151

18.1.6 练习题152

18.2 多元函数的连续性153

18.2.1 定义与基本性质153

18.2.2 紧集上多元连续函数的性质158

18.2.3 多元连续函数的介值定理160

18.2.4 向量值函数160

18.2.5 练习题161

18.3 对于教学的建议162

18.3.1 学习要点162

18.3.2 参考题163

第十九章 偏导数与全微分167

19.1 偏导数167

19.1.1 偏导数的定义167

19.1.2 偏导数与连续168

19.1.3 高阶偏导数168

19.2 全微分171

19.2.1 全微分的定义与基本性质171

19.2.2 多元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系172

19.2.3 思考题174

19.2.4 练习题174

19.3 复合函数求导(链式法则）175

19.3.1 复合函数偏导数的链式法则175

19.3.2 例题176

19.3.3 齐次函数180

19.3.4 练习题181

19.4 向量值函数的微分学定理182

19.4.1 无穷小增量公式与拟微分平均值定理182

19.4.2 练习题184

19.5 对于教学的建议184

19.5.1 学习要点184

19.5.2 参考题186

第二十章 隐函数存在定理与隐函数求导188

20.1 一个方程的情形188

20.1.1 隐函数存在定理188

20.1.2 隐函数求导190

20.1.3 思考题191

20.1.4 练习题191

20.2 隐函数组192

20.2.1 存在定理192

20.2.2 思考题193

20.2.3 求已知函数组所确定的隐函数组的导数194

20.2.4 存在定理的证明196

20.2.5 练习题197

20.3 变量代换问题198

20.3.1 仅变换自变量的情形198

20.3.2 自变量与因变量同时变换的情形199

20.3.3 练习题201

20.4 隐函数及隐函数组的整体存在性202

20.5 对于教学的建议203

20.5.1 学习要点203

20.5.2 参考题205

第二十一章 偏导数的应用209

21.1 偏导数在几何上的应用209

21.1.1 曲线的切向量、切线与法平面209

21.1.2 曲面的法向量、法线与切平面210

21.1.3 曲线的夹角、曲面的夹角211

21.1.4 练习题212

21.2 方向导数与梯度212

21.2.1 方向导数212

21.2.2 梯度213

21.2.3 练习题214

21.3 Taylor公式与极值问题215

21.3.1 Taylor公式215

21.3.2 极值问题218

21.3.3 最大最小值问题219

21.3.4 练习题223

21.4 条件极值与条件最值224

21.4.1 条件极值224

21.4.2 条件最值227

21.4.3 隐函数的极值231

21.4.4 练习题232

21.5 高维 Rolle 定理233

21.6 对于教学的建议235

21.6.1 学习要点235

21.6.2 参考题235

第二十二章 重积分239

22.1 二重积分的概念239

22.1.1 二重积分的定义239

22.1.2 可积函数类240

22.1.3 思考题242

22.1.4 练习题242

22.2 二重积分的计算243

22.2.1 矩形区域上的二重积分243

22.2.1 矩形区域上的二重积分243

22.2.2 一般区域上的二重积分245

22.2.3 二重积分的变量替换247

22.2.4 练习题250

22.3 三重积分, n重积分251

22.3.1 三重积分在直角坐标系中的计算251

22.3.2 三重积分的变量替换253

22.3.3 例题254

22.3.4 n重积分256

22.3.5 练习题256

22.4.1 广义重积分的定义258

22.4.2 收敛性判别法259

22.4.3 例题260

22.4.4 练习题261

22.5 重积分的应用举例262

22.5.1 几何应用262

22.5.2 物理应用266

22.5.3 重积分与不等式268

22.5.4 练习题272

22.6 对于教学的建议273

22.6.1 学习要点273

22.6.2 参考题275

第二十三章 含参变量积分279

23.1 含参变量常义积分279

23.1.1 定义与性质279

23.1.2 几种常用的求参变量积分的方法281

23.1.3 练习题285

23.2 含参变量广义积分285

23.2.1 一致收玫性285

23.2.2 例题287

23.2.3 练习题289

23.2.4 主要性质290

23.2.5 例题291

23.2.6 练习题295

23.3 B函数与Gamma函数296

23.3.1 B函数296

23.3.2 Gamma 函数297

23.3.3 例题298

23.3.4 Gamma函数的特征刻画和几个重要公式的证明301

23.3.5 练习题304

23.4 对于教学的建议305

23.4.1 学习要点305

23.4.2 参考题306

第二十四章 曲线积分309

24.1 第一型曲线积分309

24.1.1 第一型曲线积分的定义与计算309

24.1.2 第一型曲线积分的应用311

24.1.3 练习题312

24.2 第二型曲线积分313

24.2.1 第二型曲线积分的定义和计算313

24.2.2 两类曲线积分的关系315

24.2.3 第二型曲线积分的应用316

24.2.4 练习题317

24.3 Green公式318

24.3.1 Green公式318

24.3.2 平面曲线积分与路径无关的条件322

24.3.3 练习题324

24.3.4 等周定理325

24.4 连续向量场的旋转度327

24.5 对于教学的建议331

第二十五章 曲面积分336

25.1 第一型曲面积分336

25.1.1 第一型曲面积分的定义和计算336

25.1.2 第一型曲面积分的应用338

25.1.3 练习题339

25.2 第二型曲面积分340

25.2.1 第二型曲面积分的定义和计算340

25.2.2 两类曲面积分之间的关系344

25.2.3 练习题346

25.3 Gauss公式与Stokes公式347

25.3.1 Gauss公式347

25.3.2 练习题351

25.3.3 Stokes 公式352

25.3.4 练习题354

25.3.5 R3中曲线积分与路径无关的条件355

25.3.6 练习题357

25.4 向量的外积, 微分形式的外微分与一般的Stokes公式357

25.4.1 向量的外积357

25.4.2 微分形式358

25.4.3 微分形式的外积359

25.4.4 微分形式的外微分361

25.4.5 变换与Jacobi行列式362

25.4.6 重积分的变量代换363

25.4.7 一般的 Stokes 公式363

25.5 对于教学的建议364

25.5.1 习题课教案一例364

25.5.2 学习要点368 25.5.3 参考题369

第二十六章 场论初步371

26.1 散度和旋度371

26.1.1 散度371

26.1.2 旋度372

26.1.3 Hamilton 算子374

26.1.4 几种常用的场376

26.1.5 练习题377

26.2 Laplace算子与调和函数377

26.2.1 Laplace算子377

26.2.2 调和函数379

26.2.3 Poisson 积分公式381

26.2.4 练习题382

26.3 对于教学的建议383

26.3.1 学习要点383

26.3.2 参考题384

参考题提示386

参考文献400

中文名词索引402

外文名词索引407