读 Lars V. Ahlfors 之《复分析》

Lars V. Ahlfors. 复分析. ISBN: 978-7-111-16793-8

仅从名字上来看，复数是实数的拓展，复分析自然就是实分析的拓展。这么说可以算对，但不完全对。复分析确实以实数的分析为基础，可以视为某种实数域上分析学的拓展，但复分析这门课的内容却和实分析相当不同。

复分析理论确实在复数域上建立了类似实数的极限、级数、微分、积分等结构，但是他们的性质却不完全是比照着来的。例如复数的积分似乎是比微分更为基本的。同时，复分析也不像实分析那样热衷于给“病态函数”定义积分，而是把研究集中于性质相当好的整函数或者亚纯函数。我一开始以为这是因为这些性质很好的函数就足够研究了，人们无意拓展新的研究领域。读了这本书才知道，其实是因为复函数的微积分并不普遍存在，除了这些性质很好的函数以外，很多复函数没有对应的微积分。所以也就很难研究。

具体说回这本书。在前两章这本书从最基础的复数、复数之间的运算以及基本的复函数开始讲起。第3、4、5章建立了复数的极限、级数和微积分理论。第6章继续共形映射的话题。第7章探讨椭圆函数。第8章讨论全局解析函数和解析延拓——网上流转甚广的“自然数之和等于 $-\frac{1}{12}$”的说法就出自对解析延拓的误解。

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