量子力学是基于2-范数、概率幅是复数的概率论

本书评的内容如题，这个思想我并不仅仅只是在阿伦森这里看到了，在看量子引力的时候，我从斯莫林、Chiribella那里也看到了。我想以这个内容为专题，把不同人的不谋而合集中在这里。这并不是对整本书内容的，而仅仅只是关于书中第九章的。

量子力学是对概率法则的精彩推广：基于2-范数而不是1-范数，基于复数而不是非负实数。它可以完全独立于物理学应用而被研究。

量子力学是当你从概率论出发，然后试着推广它，使得过去称为“概率”的东西可以为负数时，你将不可避免得到的东西。这样的话，这个理论本可以被19世纪的数学家发明，而不需要借助任何实验结果。历史不是如此，但本可以如此。

1-范数是指各分量的绝对值之和。2-范数是指各分量的平方和的平方根。从1-范数切换为2-范数，就不再需要两个和为1的数，而是需要两个平方和为1的数。我们现在需要一个向量（α，β），其中α²＋β²＝1。当然，所有这样向量的集合构成了一个圆。我们刚刚定义的这个2-范数比特有一个名字，叫量子比特。物理学家喜欢用他们所谓的狄拉克符号来表示量子比特，这时，向量（α，β）就变成了α丨0>＋β丨1>。在这里，α是输出为0的概率幅，β是输出为1的概率幅。

量子力学中的概率幅是复数。

《量子物理如何改变世界》P99：

量子物理为经典物理学新添的唯一一个等式：

xp-px=iћ

由于测量p会改变x，所以先测量x再测量p，与先测量p再测x得到的结果不同。顺序会影响结果。先x后p与先p后x 不同。有多不同？这个程度就取决于普朗克常数，也就是量子现象的规模。获得信息的顺序会对结果产生影响。

在狄拉克版本的量子力学中，根本就用不到矩阵，他主张，只使用“不可交换的变量”，也就是满足该等式的变量，就可以获得所有信息。“不可交换”的意思是：如果交换这种变量位置，就会对结果造成影响。狄拉克将这种变量称作“量子数”，也就是由该等式确定的量。更现代化的说法是“算子”。而它们的数学术语自然是“非交换代数”。

我自己的理解：

也就是将我们习惯的概率幅0~100%换成−100%~100%，i²＝−1，也就是将0~1换成i²~1²，在复数平面上从圆的半径换成整个圆。0~1实轴半径之外的圆代表平行宇宙、模态、可能性。用皮尔士的话说，这个形而上学图景讲的就是：可能性超过现实性，这是固有的本性，而并不只是因为人类力量的有限性或自然规律所施加的限制。

《物理学家试图从零开始重建量子理论》 文：Philip Ball / 译：二宗主 来源：原理 017-09-12 ：

更确切地说，它意味着量子理论的核心特征是它固有的概率性。 Chiribella说：“量子理论可被看作是一种广义的概率论，一种可以从物理学应用中分离出来的抽象事物。”这种方法不涉及任何基础物理学，而只是考虑输出与输入的相关性：我们可以根据一个态的准备情况来测量它们，也就是所谓的从实践运作层面来看。 Chiribella说：“物理系统是没有被特指的，在结果也中不起任何作用。” 他补充说，这些广义的概率论是种“纯粹的语法”，它们将态与测量相关联，就像语言中将语法与单词类型相关，而不考虑单词的含义。换句话说，一旦我们将广义概率论从语义中剥开，它们就是物理理论的语法。

那么在量子重建中所有方法的总体思路就是首先将该理论的使用者指定给系统可执行的所有测量的每个可能结果的概率列出来。那么这个列表就是“系统的态”。唯一的其他成分是这些量子态可以相互转化，以及特定的输入能给定输出的概率。法国 CEA Saclay 研究所的物理学家 Alexei Grinbaum 表示，这种重建的操作方法“不会假定时空、或因果关系或任何东西，它只是这两种数据的一种区分。”

为了区分量子理论和广义概率论，我们需要的是对测量的概率和可能的结果加一些特定的约束。但这些约束并不是唯一的。所以很多可能的概率论看起来都像是量子理论。那么我们该如何选择正确的那一个呢？

西班牙巴斯克大学的理论物理学家 Matthias Kleinmann 说：“我们可以寻找与量子理论很类似的概率论，但还需要它在一些具体方面有所不同。如果你能找到具体选择量子力学的假说，就可以抛弃或削弱其中的一些，并从数学上计算出其他的理论会得到的结果是什么”。这种超出对量子力学范畴的探索并不是什么学术涂鸦，因为量子力学本身很有可能就是一个更宏大理论的浅显版本。这种理论可能会在违背现有量子理论过程中浮现出来，就像当初量子物理从经典物理被违背中出现的那样。

点点滴滴

一些研究人员怀疑，量子重建的公理最终将与 信息 有关：在于它能、和不能用来做什么。 其中一个基于信息公理的量子理论的推导是由 Chiribella 在2010年提出的，那时他仍在圆周理论物理研究所工作，和他一起发表这个论文的还有意大利帕维亚大学的 Giacomo Mauro D’Ariano 和 Paolo Perinotti。维也纳大学的理论物理学家 Jacques Pienaar 解释说：“笼统地讲，他们提出的原理阐述的是信息应该在时间和空间被定域化，系统应该能够相互编码信息，而且原则上讲每一个过程都应该是可逆的，所以信息守恒。”（相反，在不可逆过程中，信息通常会出现流失，正如当你删除硬盘驱动器上的文件一样）。

香港大学的物理学家Giulio Chiribella，基于信息理论重建量子理论。

《时间重生》P159：

这些理论物理学家认为，量子力学与现实世界无关，而与我们拥有的关于现实世界的“信息”相关。他们认为量子态不对应于任何物理上的真实状态；相反，它们是系统观测信息的编码。这些物理学家都很聪明，我很享受和他们争辩的过程。但是，我发现他们贱卖了科学。如果量子力学只是一套预测概率的算法，我们能否改进这套算法？