天才如何思考
在我还是个孩子的时候，科学对我的魅力就在于它继承了基于常识的逻辑，却通过逻辑得出了有悖常识，却无可辩驳的结论。在过去的几年中，这种魅力逐渐变成了对抽象思维的热爱。在数学家手里，逻辑变成了积木一样的玩具，它通过各种不可思议的组合，构筑起宏伟的结构。
一元方程何时有求根公式？从这个问题出发，直到推导出可解群的概念，中间有一条长长的逻辑链。首先是对“可解”的界定。它是指经过有限次加、减、乘、除、乘方和开方运算可以表示出方程的根（1）。线性代数中已经有集合对运算封闭的概念，套用这个概念，（1）可以表达为：如果一个集合包含方程的系数，且对加、减、乘、除、乘方和开方封闭，那么求根公式的存在性等价于根在这个集合中的存在性。让人疑惑的是乘方和开方两种运算明显不同于加减乘除。乘方可以看作是乘法的特例，而开方则不同于已知的任何一种运算（这让我产生这么一种设想：如果允许2.3^3.6这样的运算，也就是说把乘方看作一种独立的运算，数学家能不能构造出一种比域更复杂的集合，从而产生全新的抽象代数？），所以在域中被定义的运算只有加减乘除四种，开方通过扩域的方式被加入到求根公式允许的运算方式中。
现在得出了第一个重要的概念：扩域。从包含方程系数的最小的域出发，通过域的扩张逐渐添加元素（2），直到把方程的所有解包含在某个扩域中为止：如果我们能这样做到，方程就是有解的，否则，方程就没有一般的求根公式。
那么什么叫“把方程的解包含在某个扩域中”呢？如果n次方程f(x)=0的n个根是x(1), x(2), ..., x(n)，那么f(x)一定可以分解因式为：
f(x)=[x-x(1)][x-x(2)]...[x-x(n)]
如果我们能够这样彻底地分解因式，那么方程的解就唾手可得了。但往往我们不能，比如
f(x)=x^2+1
初中数学老师告诉我们：这个多项式是不能分解因式的。现在我们要加一句：在实数范围内，它是不能分解的。因为如果允许把虚数单位i作为系数的话，这个式子可以分解成：
f(x)=(x+i)(x-i)
它给了我们这样一种启迪：当域的范围越大，在这个域中进行的因式分解就越彻底，当一个n次多项式可以被分解为n个一次多项式的乘积时，方程的n个解就找出来了。这个域叫做f(x)的分裂域（很形象的名字，哈哈）。
从多项式的系数域到多项式的分裂域——如果能以（2）的方式，通过一系列的扩域把二者连起来，方程就是有解的。但困难在于，域是一种非常难以把握的集合。域定义了四种运算，而且我们研究的大部分域都是无限域（有无限多的元素，比如实数域），要准确地给出系数域可以扩张为分裂域的充分必要条件是非常困难的。有没有一种更简单的集合，它具有更容易研究的结构，可以替代复杂的域呢？
这就是群——这是整个伽罗瓦理论中最天才的闪光。群只定义了一种运算——乘法，这使得数学家能够闭着眼睛说出来，群的每一个阶对应了多少种什么样的结构。在伽罗瓦的原始定义中，群中的元素是根集合的置换。在后来的数学家那里，似乎是为了体现“抽象代数”的名副其实，定义被改成了更晦涩的保持原始域不变的扩张域的自同构。从域到群是一个惊人的飞跃——域的无数种扩张方式顷刻间被归纳为有限阶的群。n阶对称群对应着n次一元方程，当数学家证明了5阶和5阶以上的对称群不是可解群时，他们就等价地证明了五次和五次以上的代数方程没有求根公式——五次方程的求根公式曾是欧拉孜孜以求的目标，然而半个世纪之后，一个 19岁的孩子证明了这种努力是完全徒劳的。如果他能活到欧拉的年龄，不知道代数学里还有多少用他的名字命名的定理，然而他只给我们留下了一个伽罗瓦对应，在他身后的一百七十年中，在少数人心里激起共鸣。
p.s.我以前一直看复旦出版的姚慕生著《抽象代数学》，后来在图书馆偶然找到一本Joseph J. Rotman的《高等近世代数》，看了一个晚上就理解了以前好几个月都无法理解的东西。这里不得不强调一下教材的重要性，还有——我国的基础理论研究和美国比实在差太远了。
一元方程何时有求根公式？从这个问题出发，直到推导出可解群的概念，中间有一条长长的逻辑链。首先是对“可解”的界定。它是指经过有限次加、减、乘、除、乘方和开方运算可以表示出方程的根（1）。线性代数中已经有集合对运算封闭的概念，套用这个概念，（1）可以表达为：如果一个集合包含方程的系数，且对加、减、乘、除、乘方和开方封闭，那么求根公式的存在性等价于根在这个集合中的存在性。让人疑惑的是乘方和开方两种运算明显不同于加减乘除。乘方可以看作是乘法的特例，而开方则不同于已知的任何一种运算（这让我产生这么一种设想：如果允许2.3^3.6这样的运算，也就是说把乘方看作一种独立的运算，数学家能不能构造出一种比域更复杂的集合，从而产生全新的抽象代数？），所以在域中被定义的运算只有加减乘除四种，开方通过扩域的方式被加入到求根公式允许的运算方式中。
现在得出了第一个重要的概念：扩域。从包含方程系数的最小的域出发，通过域的扩张逐渐添加元素（2），直到把方程的所有解包含在某个扩域中为止：如果我们能这样做到，方程就是有解的，否则，方程就没有一般的求根公式。
那么什么叫“把方程的解包含在某个扩域中”呢？如果n次方程f(x)=0的n个根是x(1), x(2), ..., x(n)，那么f(x)一定可以分解因式为：
f(x)=[x-x(1)][x-x(2)]...[x-x(n)]
如果我们能够这样彻底地分解因式，那么方程的解就唾手可得了。但往往我们不能，比如
f(x)=x^2+1
初中数学老师告诉我们：这个多项式是不能分解因式的。现在我们要加一句：在实数范围内，它是不能分解的。因为如果允许把虚数单位i作为系数的话，这个式子可以分解成：
f(x)=(x+i)(x-i)
它给了我们这样一种启迪：当域的范围越大，在这个域中进行的因式分解就越彻底，当一个n次多项式可以被分解为n个一次多项式的乘积时，方程的n个解就找出来了。这个域叫做f(x)的分裂域（很形象的名字，哈哈）。
从多项式的系数域到多项式的分裂域——如果能以（2）的方式，通过一系列的扩域把二者连起来，方程就是有解的。但困难在于，域是一种非常难以把握的集合。域定义了四种运算，而且我们研究的大部分域都是无限域（有无限多的元素，比如实数域），要准确地给出系数域可以扩张为分裂域的充分必要条件是非常困难的。有没有一种更简单的集合，它具有更容易研究的结构，可以替代复杂的域呢？
这就是群——这是整个伽罗瓦理论中最天才的闪光。群只定义了一种运算——乘法，这使得数学家能够闭着眼睛说出来，群的每一个阶对应了多少种什么样的结构。在伽罗瓦的原始定义中，群中的元素是根集合的置换。在后来的数学家那里，似乎是为了体现“抽象代数”的名副其实，定义被改成了更晦涩的保持原始域不变的扩张域的自同构。从域到群是一个惊人的飞跃——域的无数种扩张方式顷刻间被归纳为有限阶的群。n阶对称群对应着n次一元方程，当数学家证明了5阶和5阶以上的对称群不是可解群时，他们就等价地证明了五次和五次以上的代数方程没有求根公式——五次方程的求根公式曾是欧拉孜孜以求的目标，然而半个世纪之后，一个 19岁的孩子证明了这种努力是完全徒劳的。如果他能活到欧拉的年龄，不知道代数学里还有多少用他的名字命名的定理，然而他只给我们留下了一个伽罗瓦对应，在他身后的一百七十年中，在少数人心里激起共鸣。
p.s.我以前一直看复旦出版的姚慕生著《抽象代数学》，后来在图书馆偶然找到一本Joseph J. Rotman的《高等近世代数》，看了一个晚上就理解了以前好几个月都无法理解的东西。这里不得不强调一下教材的重要性，还有——我国的基础理论研究和美国比实在差太远了。
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